平面向量教案3篇

平面向量教案3篇平面向量教案1一、教学目标：

1.理解平面向量的定义及相关术语；

2.掌握平面向量的基础运算和性质，如向量的加、减、数乘、模长等；

3.能够利用向量解决几何、三角学以及力学等问题。

二、教学重难点：

教学重点：向量的基础运算和性质；

教学难点：向量问题的解答。

三、教学方法：

讲述法、举例法、实验法。

四、教学过程：

1.前置知识概括

为了有利于学生对本次课程的学习，首先需要对平面向量有一定的了解。向量是运用在三角学以及计算机科学中的一个概念，它表示一个方向和一个大小。在二维空间中，向量通常用一个有序数对(x,y)表示，其中x和y分别表示向量在x轴和y轴上的分量。然而，在本课程中，我们将会介绍另一种同样重要的表现向量的方式：平面向量。

2.讲解平面向量的定义及相关术语

平面向量即为有向线段，表示为$\vec{a}$，具有大小和方向。平面向量有以下几个重要的术语：

（1）起点：向量$\vec{a}$的起点是线段的始点，表示为$A$。

（2）终点：向量$\vec{a}$的终点是线段的末点，表示为$B$。

（3）长度：向量$\vec{a}$的长度等于线段$AB$的长度，可以用$|\vec{a}|$表示。

（4）方向角：向量$\vec{a}$的方向角是向量与$x$轴正方向的夹角，通常用$\theta$表示。

（5）方向余弦：向量$\vec{a}$的方向余弦分别是向量在$x$和$y$轴上的投影与向量长度的比值，分别用$\cos\alpha$和$\cos\beta$表示。

（6）坐标表示：用有序数对$(a_x,a_y)$表示向量$\vec{a}$，其中$a_x$和$a_y$分别表示向量在$x$轴和$y$轴上的分量。

3.讲解向量的基本运算及性质

（1）向量的加法：设$\vec{a}$和$\vec{b}$为两个向量，它们的和记为$\vec{a}+\vec{b}$，可通过作一平行四边形得到。

（2）向量的减法：设$\vec{a}$和$\vec{b}$为两个向量，$\vec{a}-\vec{b}$表示由向量$\vec{b}$到达向量$\vec{a}$的有向线段，其大小等于线段$AB$。

（3）向量的数乘：设$\vec{a}$为一个向量，$k$为一个实数，则向量$k\vec{a}$的长度是$\left|k\right|$倍的$\left|\vec{a}\right|$，而其方向与$\vec{a}$方向相同时$k$为正数，方向相反时$k$为负数。

（4）向量的模：向量$\vec{a}$的模长为$\left|\vec{a}\right|$，表示该向量的长度。

（5）向量的单位向量：向量$\vec{a}$的单位向量为$\frac{\vec{a}}{\left|\vec{a}\right|}$。

（6）向量的线性运算性质：设$\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$为三个向量，$k_1$、$k_2$为实数，则有：

$\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$（加法交换律）；

$\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})=(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}$（加法结合律）；

$k_1(k_2\vec{a})=(k_1k_2)\vec{a}$（数乘结合律）；

$(k_1+k_2)\vec{a}=k_1\vec{a}+k_2\vec{a}$（数乘分配律）；

$\vec{a}+\vec{0}=\vec{a}$（存在零元素）；

$\vec{a}+\left(-\vec{a}\right)=\vec{0}$（存在负元素）。

4.例题演示

练习1：已知$\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(3,-1)$，求$\vec{a}+\vec{b}$、$\vec{a}-\vec{b}$和$2\vec{a}-3\vec{b}$。

解：$\vec{a}+\vec{b}=(1+3,2-1)=(4,1)$；

$\vec{a}-\vec{b}=(1-3,2+1)=(-2,3)$；

$2\vec{a}-3\vec{b}=2(1,2)-3(3,-1)=(2-9,4+3)=(-7,7)$。

练习2：已知四边形$ABCD$中，$\vec{AB}=(2,3)$，$\vec{BC}=(-3,-1)$，$\vec{CD}=(-1,2)$，求$\vec{AD}$。

解：$\vec{AD}=\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CD}=(2,3)+(-3,-1)+(-1,2)=(-2,4)$。

五、课堂小结

本节课我们学习了平面向量的定义、相关术语及基本运算和性质，例如向量的加、减、数乘，以及模长和单位向量等。最后我们还通过练习题来巩固学习。下一节课我们将介绍平面向量的数量积和向量积，敬请期待。平面向量教案2一、教学目标

1.了解平面向量的定义和性质；

2.掌握向量的加减法，向量数乘及其运算法则；

3.能应用向量进行简单的几何问题求解。

二、教学重点

1.向量的定义和性质；

2.向量加减法及其运算法则；

3.平面向量的数乘。

三、教学难点

1.向量加减法及其运算法则；

2.向量在几何问题中的应用。

四、教学内容及教学方法

1.向量的定义和性质

（1）向量的定义

将有向线段AB叫做向量，记作$\overrightarrow{AB}$，其中A称为向量的起点，B称为向量的终点。简称向量。

（2）向量的性质

①向量与有向线段没有区别，只是把一个有向线段看作一个对象，来表示方向和大小。

②向量具有大小和方向，起点与终点固定，但不受平移的影响。

③向量的大小等于有向线段的长度，记作∥$\overrightarrow{AB}$∥或$|\overrightarrow{AB}|$。

④向量的方向与其起点不相关，只与其终点相连的有向线段方向有关。因此，不妨规定由A点指向B点的有向线段$\overrightarrow{AB}$的方向为$\overrightarrow{BA}$的反方向。即$\overrightarrow{BA}$=$-$$\overrightarrow{AB}$。

⑤向量可以相加，向量相加形成的新向量称为合成向量。

（3）平面向量表示法

向量既然是一个有向线段，所以它的表示方法有很多种。常用有以下几种：

①位置向量表示法：以一个定点O为终点，以任一向量的起点为起点作一个有向线段，这个有向线段叫做该向量的位置向量。例如，在平面直角坐标系中，规定原点O(0,0)所在直线为x轴，OX轴的正向为x轴正方向，OY轴的正向为y轴正方向。任意一个有坐标(x,y)的点A，它的位置向量为$\overrightarrow{OA}$($\overrightarrow{OA}=x\vec{i}+y\vec{j}$)。

②坐标表示法：在平面直角坐标系中，通过点A与原点O之间的坐标差$\overrightarrow{OA}$=($x_2$−$x_1$)$\vec{i}$+($y_2$−$y_1$)$\vec{j}$来表示向量。

③符号表示法：在向量的上端上加一个箭头，在向量两端的任一端加一个任意字母，例如$\overrightarrow{AB}$或$\overrightarrow{a}$，叫做向量的符号表示法。同一个向量，选择不同的定点作起点，表示为不同的有向线段。但当处理加减运算时，该向量即需要使用相同的固定起点。

2.向量的加减法及其运算法则

向量的加减法与有向线段的加减法相同。设$\overrightarrow{a}$的起点为A，终点为B，$\overrightarrow{b}$的起点为B，终点为C，则：

（1）加法

$$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AC}$$

（2）减法

$$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$$

（3）运算法则

①交换律：$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$$\neq$$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$。

②结合律：$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}+(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$，$(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})-\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}-(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$。

③分配律：$k(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=k\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}$，$(k_1+k_2)\overrightarrow{a}=k_1\overrightarrow{a}+k_2\overrightarrow{a}$。

3.平面向量的数乘

（1）数乘的定义

如果k是一个常数，$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$是两个向量，则“用k乘$\overrightarrow{a}$”或“将$\overrightarrow{a}$乘以$k$”表示“以$\overrightarrow{a}$为边并且长度为原来的$k$倍的向量”所表示的有向线段。用$k$乘上$\overrightarrow{a}$后得到的向量叫做$\overrightarrow{a}$的$k$倍，记作$k\overrightarrow{a}$。

（2）运算法则

①0$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{0}$，即零向量。

②$(-1)\overrightarrow{a}$=$-\overrightarrow{a}$。

③$k(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})$=$k\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}$。

④$(k_1+k_2)\overrightarrow{a}=k_1\overrightarrow{a}+k_2\overrightarrow{a}$。

（3）平面向量的数乘常用的几何意义

当$k\gt0$时，表示向量$\overrightarrow{OA}$的长度被放大了$k$倍，在原向量的右侧产生了长度为原向量$k$倍的新向量$\overrightarrow{AB}$；

当$-\infty\ltk\lt0$时，表示将向量$\overrightarrow{OA}$绕着起点$O$旋转180°之后，再将长度缩小$k$倍得到。缩小时得到的向量$-k\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OA}$的夹角为180°，并将其平移至原点左侧；

当$k=0$时，表示向量$\overrightarrow{OA}$的长度为$0$，即零向量；

当$k\lt-1$时，表示向量$\overrightarrow{OA}$的长度被放大了$-k$倍（此时要取绝对值），在原向量的左侧产生了长度为原向量$-k$倍的新向量$-\overrightarrow{AB}$。

四、教学实例

例：已知$\overrightarrow{a}=\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}$，$\overrightarrow{b}=\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}$,求$\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{a}$。

解：$\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{a}$=$3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}=\begin{pmatrix}3*2\\3*(-3)\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2*4\\2*1\end{pmatrix}$=$\begin{pmatrix}-2\\-11\end{pmatrix}$。

例：已知三角形ABC的顶点坐标分别为$A(-1,4),B(3,-4),C(7,3)$，求

（1）$\vec{CA}$和$\vec{CB}$的大小和方向；

（2）以$\vec{CA平面向量教案3一、教学目标

1.了解平面向量的概念和性质。

2.掌握平面向量的加减法和数乘法。

3.掌握平面向量的共线、垂直和平行等基本概念。

4.运用平面向量解决几何问题。

二、教学重点和难点

1.教学重点：平面向量的加减法和数乘法、平面向量的共线、垂直和平行等基本概念。

2.教学难点：平面向量的加减法和数乘法、应用平面向量解决几何问题。

三、教学内容和教学方法

1.平面向量的概念和性质

概念：平面向量是具有大小和方向的有向线段。

性质：向量的大小为其所代表线段的长度，并用|v|表示；向量的方向由其所代表线段的指向确定。

教学方法：通过例题和图示让学生理解向量概念和性质。

2.平面向量的加减法和数乘法

加减法：向量相加减的本质是向量所代表的线段相叠加、重合或夹角的关系。向量相加减的结果是一个新向量，其大小为两个向量大小的和（差），方向与两个向量夹角的平分线相同。

数乘法：数乘是指将向量的大小与一个实数相乘，结果仍是一个向量，其方向与原向量相同（正数）或相反（负数），大小为原向量大小与实数的积。

教学方法：通过例题和实物展示让学生掌握向量的加减法和数乘法。

3.平面向量的共