新教材2021-2022学年高一数学北师大版必修第一册学案第4章2对数的运算word版含解析

§2对数的运算学习目标核心素养1．掌握对数的运算性质．(重点)2．能灵活使用对数的运算性质和换底公式进行化简、求值．(难点)1．通过对数的运算性质的应用，培养数学运算素养．2．通过对数的运算性质及换底公式的推导，培养逻辑推理素养.1．对数具有哪三条运算性质？适用条件是什么？2．换底公式的内容是什么？1．对数的运算性质若a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN，(2)logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN，(3)logaMb＝blogaM(b∈R)．2．换底公式若c>0且c≠1，则logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1，b>0)．结合对数的换底公式探究logba与logab，loganbm与logab之间有什么关系？[提示]logba＝eq\f(1,logab)，loganbm＝eq\f(m,n)logab.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)积、商的对数可以化为对数的和、差．()(2)loga(xy)＝logax·logay.()(3)log2(－5)2＝2log2(－5)．()(4)由换底公式可得logab＝eq\f(log－2b,log－2a).()(5)logaM＋log3N＝log6(MN)．()(6)log23·log32＝1.()[答案](1)√(2)×(3)×(4)×(5)×(6)√类型1对数运算性质的应用【例1】求下列各式的值：(1)log2(47×25)；(2)lgeq\r(5,100)；(3)lg14－2lgeq\f(7,3)＋lg7－lg18；(4)lg5·lg20＋(lg2)2.[解](1)log2(47×25)＝log247＋log225＝7log24＋5log22＝7×2＋5×1＝19.(2)lgeq\r(5,100)＝lg100＝eq\f(1,5)lg100＝eq\f(1,5)×2＝eq\f(2,5).(3)lg14－2lgeq\f(7,3)＋lg7－lg18＝lg(2×7)－2(lg7－lg3)＋lg7－lg(32×2)＝lg2＋lg7－2lg7＋2lg3＋lg7－2lg3－lg2＝0.(4)法一：原式＝lg5(2lg2＋lg5)＋(lg2)2＝(lg5＋lg2)2＝(lg10)2＝1.法二：原式＝(1－lg2)(1＋lg2)＋(lg2)2＝1－(lg2)2＋(lg2)2＝1.对数式的化简与求值的思路(1)先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简．(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算．eq\a\vs4\al([跟进训练])1．求下列各式的值．(1)24＋log23；(2)eq\f(1,2)log312－log32；(3)lg25＋2lg2－lg22.[解](1)24＋log23＝24×2log23＝16×3＝48.(2)eq\f(1,2)log312－log32＝log3eq\r(12)－log32＝log3eq\f(\r(12),2)＝log3eq\r(3)＝eq\f(1,2).(3)法一：lg25＋2lg2－lg22＝(lg5＋lg2)(lg5－lg2)＋2lg2＝lg10(lg5－lg2)＋2lg2＝(lg5－lg2)＋2lg2＝lg2＋lg5＝lg10＝1.法二：lg25＋2lg2－lg22＝(1－lg2)2＋2lg2－lg22＝1－2lg2＋lg22＋2lg2－lg22＝1.类型2对数换底公式的应用【例2】计算(1)log29·log34；(2)eq\f(log5\r(2)×log79,log5\f(1,3)×log7\r(3,4)).[解](1)由换底公式可得，log29·log34＝eq\f(lg9,lg2)·eq\f(lg4,lg3)＝eq\f(2lg3,lg2)·eq\f(2lg2,lg3)＝4.(2)原式＝eq\f(log5\r(2),log5\f(1,3))×eq\f(log79,log7\r(3,4))＝logeq\f(1,3)eq\r(2)×logeq\r(3,4)9＝eq\f(lg\r(2),lg\f(1,3))×eq\f(lg9,lg4\f(1,3))＝eq\f(\f(1,2)lg2,－lg3)×eq\f(2lg3,\f(2,3)lg2)＝－eq\f(3,2).换底公式的应用技巧(1)换底公式的作用是将不同底数的对数式转化成同底数的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．(2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式进行互化，统一成一种形式．eq\a\vs4\al([跟进训练])2．计算(log43＋log83)×eq\f(lg2,lg3).[解]原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg3,lg4)＋\f(lg3,lg8)))×eq\f(lg2,lg3)＝eq\f(lg3,2lg2)×eq\f(lg2,lg3)＋eq\f(lg3,3lg2)×eq\f(lg2,lg3)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＝eq\f(5,6).类型3对数中的条件求值【例3】已知log189＝a,18b＝5，求log3645.(用a，b表示)[解]因为18b＝5，所以b＝log185.所以log3645＝eq\f(log1845,log1836)＝eq\f(log185×9,log182×18)＝eq\f(log185＋log189,log182＋log1818)＝eq\f(a＋b,1＋log182)＝eq\f(a＋b,1＋log18\f(18,9))＝eq\f(a＋b,2－log189)＝eq\f(a＋b,2－a).1．若18b＝5,18a＝9，如何求log1845(用a，b[解]因为18b＝5,18a＝9，所以log185＝b，log189＝a，所以log1845＝log189＋log185＝a＋b2．若将本例条件“log189＝a,18b＝5”改为“log94＝a,9b＝5[解]因为9b＝5，所以log95＝b.所以log3645＝eq\f(log945,log936)＝eq\f(log95×9,log94×9)＝eq\f(log95＋log99,log94＋log99)＝eq\f(b＋1,a＋1).解对数综合应用问题的三种方法(1)化统一：所求为对数式，条件转为对数式．(2)选底数：针对具体问题，选择恰当的底数．(3)会结合：学会换底公式与对数运算法则结合使用．eq\a\vs4\al([跟进训练])3．已知x，y，z都是大于1的正数，m>0，且logxm＝24，logym＝40，logxyzm＝12，求logzm的值．[解]由logxm＝24得logmx＝eq\f(1,24)，由logym＝40得logmy＝eq\f(1,40)，由logxyzm＝12得logm(xyz)＝eq\f(1,12)，则logmx＋logmy＋logmz＝eq\f(1,12).所以logmz＝eq\f(1,12)－eq\f(1,24)－eq\f(1,40)＝eq\f(1,60)，所以logzm＝60.1．已知lga＝2.31，lgb＝1.31，则eq\f(b,a)等于()A．eq\f(1,100) B．eq\f(1,10)C．10 D．100B[由已知得lgeq\f(b,a)＝lgb－lga＝1.31－2.31＝－1，∴eq\f(b,a)＝10－1＝eq\f(1,10).]2．eq\f(log29,log23)＝()A．eq\f(1,2) B．2C．eq\f(3,2) D．eq\f(9,2)B[原式＝eq\f(log29,log23)＝eq\f(log232,log23)＝2.]3．2log510＋log50.25＝()A．0 B．1C．2 D．4C[原式＝log5102＋log50.25＝log5(102×0.25)＝log525＝2.]4．lgeq\r(5)＋lg