专题01 曲线和方程(精讲篇)-用思维导图突破圆锥曲线压轴题

千里之行，始于脚下。第2页/共2页精品文档推荐专题01曲线和方程(精讲篇)-用思维导图突破圆锥曲线压轴题专题01曲线与方程

解答数学题的“思维导图”：

逛公园顺道看景，好体面驻足留影.把条件翻成图式，关键处深挖搞清.综合法由因导果，分析法执果索因.两办法嫁接联姻，让难题无以遁形.

这里把解题比作逛公园，沿路而行，顺道看景，既有活跃气氛，又有借景喻理之意，即理解题意后把已知条件“翻译”出来，假如能得到结论那是最好，假如不可就要转化，即从已知条件入手推出中间结论（可知），当中间结论能直接证实终于结论时，则解题胜利.当中间结论不能直接证实终于结论时，可把终于结论等价转化为“需知”，再用中间结论证实“需知”从而达到解题目的.有时还要挖掘题目的隐含条件.从某种意义上说，解题就是“找关系”找出已知与未知的联系，不断缩小以至消退二者之间的差距，从而达到解题目的.

这个思维导图不仅是用来解答压轴题，其实，每个层次的同学都有相应的难题。中等以下水平的同学高考基本不用做压轴题的，但他们做中档题会有困难，思维导图一样适用。

专题1曲线的方程

本专题思维导图一个问题两方面几何直观是曲线代数运算很精准读题画图思路现

还有不少试题作为第（1）题要求曲线的方程，或者在知道曲线类型的状况下，求其他基本量（a、b、c、e、p）或其他特定的量.解题过程中要注重基本量思想的运用，即按照条件设出几个变量（基本量），相应地就要按照条件列出几个方程，解出相关变量，达到解题目的.

曲线形象直观，方程精准深刻，二者从不同的角度、以不同的形式反映同一个问题。因此

解题过程需要画出图形以利思量。

思路点拨

如图所示，过点A作渐近线的垂线AP，由∠MAN=60°可得∠PAN=30°,由于OAa=，ANAMb==，所以

3

APb=

，22

2234

OPOAPAab=-=-，

22

32tan3

4

bAPOPabθ==-.

又tanbaθ=，所以2

23234

b

baab

=-，解得223ab=，所以22123113bea=+=+=.

思路点拨

按照抛物线定义，|

|||=4222

ABppp

AFBFyy++

++=?，所以AByyp+=.由于22

22212xyabxpy?-=???=?

，，所以22222

20aypbyab-+=，

所以22

2ABpbyypa+==，2ab=，所以渐近线方程为

2

2yx=±.

例1已知双曲线C：22

221xyab

-=（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，

b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.若∠MAN=60°，

则C的离心率为________.

例2在平面直角坐标系xOy中，双曲线22

221(00)xyabab

-=＞，＞的右

支与焦点为F的抛物线2

2(0)xpyp=＞交于A，B两点，若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为.

思路点拨

以线段12AA为直径的圆是2

2

2

xya+=，直线20bxayab-+=与圆相切，所以圆心到直线的距离22

2abdaab=

=+，收拾为223ab=，即()22222323aacac=-?=，即

2223

ca=，63cea==，故选A.

思路点拨

（1）由椭圆的离心率为

2

2

可得，又圆C'的半径为2，，解出

a，

b．

（2）若M，N为上下或左右顶点，则直线PM，PN与圆C'相切。普通情形设直线PM的方程为ykxm=+，代入椭圆方程可得

222(12)4260kxkmxm+++-=．

再设1(Mx，1)y，2(Px，2)y利用OPMN⊥及韦达定理求出m和k的关系，然后计算圆心到直线的距离，并比较此距离与半径的大小．

本题思维导图：

满分解答

例4设椭圆22

22:1(0)xyCabab

+=>>的左右顶点为1A，2A，上下顶点为1B，2B，

菱形1122ABAB的内切圆C'的半径为2，椭圆的离心率为2

2

．

（1）求椭圆C的方程；（2）设M，N是椭圆上关于原点对称的两点，椭圆上一点P满足||||PMPN=，试推断直线PM，PN与圆C'的位置关系，并证实你的结论．

由题意知，。

设圆C'的半径为r，则22

rabab+=g，即2232bb=g，解得3b=，所以6a=，

所以，椭圆C的方程为22

163

xy+=．

（2）由于M，N关于原点对称，O为原点，由||||PMPN=知．

设1(Mx，1)y，2(Px，2)y,当直线PM的斜率存在时，设直线PM的方程为ykxm=+．

代入椭圆方程收拾得222

(12)4260kxkmxm+++-=。

因为1(OMx=uuuur

，1)y，2(OPx=uuur，2)y，且，所以

1212121222

121222

2

22()()(1)()264(1)2121

OMOPxxyyxxkxmkxmkxxkmxxmmkmkkmmkk=+=+++=++++--=+++++uuuuruuurggg

222

3(22)021

mkk--==+，于是2222mk=+。又圆C'的圆心O到直线PM的距离为

2

21

rk==+，所以直线PM与圆C'相切．

当直线PM的斜率不存在时，依题意得1(Nx-，1)y-，1(Px，1)y-．由||||PMPN=得

11|2||2|xy=，所以221

1

xy=，结合2211163

xy+=得2

12x=，

所以直线PM到原点O的距离都是2，即直线PM与圆C'也相切．

同理可得，直线PN与圆C'也相切．综合上述，直线PM、PN与圆C'相切

思路点拨

第(1)题列出关于a，c的方程，解出a，c即可.第（2）题需要表示出B、D的坐标，可以用椭圆的参数方程设出B的坐标，也可以设PA的方程为x=my+1，再与椭圆方程联立求出B的坐标，再求直线BQ的方程，从而求出D的坐标.满分解答

（1）设F的坐标为

(),0c-.依题意，

2a=，2a=，2ac-=，解得1a=，2

c=，2p=，于是22234

ba

c=-=

.故椭圆的方程为2

2

413

yx+=，抛物线的方程为24yx=.例5设椭圆22

221xyab

+=(0ab>>)的左焦点为F，右顶点为A，离心率为12．已知A是抛物线2

2ypx=(0p>)的焦点，F到抛物线的准线l的距离为12

．(1)求椭圆的方程和抛物线的方程；

(2)设l上两点,PQ关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B(B异于点A)，直线BQ与x轴相交于点D，若APD?的面积为62

，求直线AP的方程．

(2)解1如图，考虑到图形的对称性，先计算

B点纵坐标为正实数的情形．

设

cos,2Bθθ??????

，()1,Pm-.

解2设直线

AP的方程为()10xmym=+≠，与直线l的方程1x=-联立，可得点

2(1,)pm--

，故2

(1,)Qm

-.把1xmy=+与22413

yx+=联立，消去x，收拾得()22

3460mymy++=，解得0y=，或2634m

ym-=+.

由点B异于点A，可得点22

2346(,)3434

mm

Bmm-+-++.由2

(1,)Qm-，可得直线BQ的方程为

()2

22

62342

(

)1(1)()03434mmxymmmm

--+-+-+-=++.令0y=，解得222332mxm-=+，故2223(0)32mDm-+，，22

22236||13232

mmADmm-=-=++.

又由于APD?

的面积为2

故22

162232mmm??=+，收拾得2

320mm-+=，

解得3m=

，所以3

m=±.所以，直线

AP

的方程为330x+-=

或330x-=.直线OP的方程为

yx=，直线ON的方程为2

2

yyxx=

.由题知11(,)Axx，12

12

(,

)xyBxx，联立方程组212ykxyx

?

=+?

?

?=?

得：221(1)04kxkx+-+=，所以2

121kxxk-+=

，122

1

4xxk

=.212112111222

1()12222xkxxxxyykxkxxxx+++=++=+，

由2121kxxk-+=，122

14xxk=，上式得211112

1

122(1)22124kkkxkxkxxkx-+=+-?=?，故A为线段BM的中点.

故A为线段BM的中点.

思路点拨

第（

1）题按照已知可得关于a、c的二次齐次式，从而求出e.第(2)题把四边形PQNM的面积转化为FPMFQNPQNM

SSS??=-四边形，因此要求出PQ、的坐标.按照条件需要设出直线

FP的方程为(0)xmycm=->.

满分解答

（1）设椭圆的离心率为e．由已知，可得2

1()22

bcac+=．

又由2

2

2

ba

c=-，可得2

2

20caca+-=，即2

210ee+-=．又由于0e1，则直线FP的斜率为1m

．由（1）知2ac=，可得直线AE的方程为

12xy

cc

+=，即220xyc+-=，与直线FP的方程联立，可解得(22)2mcxm-=

+，32cym=+，即点Q的坐标为(22)3(22

mcc

mm-++，）．由已知3||2cFQ=，有222

(22)33[]()()222

mccccmm-++=++，收拾得

2340mm-=，所以43m=，即直线FP的斜率为3

4