三重积分的概念与计算

三重积分的概念与计算第一页，共二十四页，2022年，8月28日一、三重积分的概念类似二重积分解决问题的思想,采用引例:

设在空间有限闭区域内分布着某种不均匀的物质,求分布在内的物质的可得“大化小,常代变,近似和,求极限”解决方法:质量M.密度函数为第二页，共二十四页，2022年，8月28日定义.

设存在,称为体积元素,

若对作任意分割:

任意取点则称此极限为函数在上的三重积分.在直角坐标系下常写作下列“乘积和式”极限记作性质：三重积分的性质与二重积分相似.例如:当时,为立体的体积。又如：中值定理：在有界闭域上连续,V为的体积则存在使得第三页，共二十四页，2022年，8月28日二、三重积分的计算1.利用直角坐标计算三重积分方法1.投影法(“先一后二”)方法2.截面法(“先二后一”)方法3.三次积分法先假设连续函数并将它看作某物体通过计算该物体的质量引出下列各计算最后,推广到一般可积函数的积分计算.的密度函数,方法:第四页，共二十四页，2022年，8月28日方法1.投影法(“先一后二”)记作第五页，共二十四页，2022年，8月28日方法2.截面法(“先二后一”)为底,dz为高的柱形薄片质量为该物体的质量为面密度≈记作第六页，共二十四页，2022年，8月28日投影法方法3.三次积分法设区域利用投影法结果,把二重积分化成二次积分即得:第七页，共二十四页，2022年，8月28日小结:三重积分的计算方法方法1.“先一后二”方法2.“先二后一”方法3.“三次积分”具体计算时应根据三种方法(包含12种形式)各有特点,被积函数及积分域的特点灵活选择.第八页，共二十四页，2022年，8月28日例1.化为三次积分，由曲面及平面围成.解：如图所以第九页，共二十四页，2022年，8月28日其中为三个坐标例3.计算三重积分所围成的闭区域.解:如图，：面及平面为面上轴，轴和围成的等腰直角三角形.所以注：此题亦可尝试用投影法求解三重积分．第十页，共二十四页，2022年，8月28日例4.

计算三重积分，其中是上半椭球体解：则而原式第十一页，共二十四页，2022年，8月28日2.利用柱坐标计算三重积分就称为点M

的柱坐标.直角坐标与柱面坐标的关系:坐标面分别为圆柱面半平面平面第十二页，共二十四页，2022年，8月28日如图所示,在柱面坐标系中体积元素为因此其中适用范围:1)积分域表面用柱面坐标表示时方程简单;2)被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离.第十三页，共二十四页，2022年，8月28日例2.计算,其中由锥面平面围成.用投影法.第十四页，共二十四页，2022年，8月28日例5.计算三重积分解:

在柱面坐标系下所围成.与平面其中由抛物面原式=第十五页，共二十四页，2022年，8月28日3.利用球坐标计算三重积分就称为点M

的球坐标.直角坐标与球面坐标的关系坐标面分别为球面半平面锥面第十六页，共二十四页，2022年，8月28日如图所示,在球面坐标系中体积元素为因此有其中适用范围:1)积分域表面用球面坐标表示时方程简单;2)被积函数用球面坐标表示时变量互相分离.第十七页，共二十四页，2022年，8月28日例6.

如图，求立体的体积，为在轴的交点.上曲面球心在,半径为,下锥面半顶角为.

解：边界曲面方程为在球坐标系下方程为可表示为所以则第十八页，共二十四页，2022年，8月28日例7.计算三重积分解:

在球面坐标系下所围立体.其中与球面第十九页，共二十四页，2022年，8月28日内容小结积分区域多由坐标面被积函数形式简洁,或坐标系体积元素适用情况直角坐标系柱面坐标系球面坐标系*说明:三重积分也有类似二重积分的换元积分公式:对应雅可比行列式为变量可分离.围成;第二十页，共二十四页，2022年，8月28日1.

将用三次积分表示,其中由所提示:思考与练习六个平面围成,第二十一页，共二十四页，2022年，8月28日2.设计算提示:利用对称性原式=奇函数第二十二页，共二十四页，