2023年三角形公式定理

千里之行，始于脚下。第2页/共2页精品文档推荐2023年三角形公式定理

2023年三角形公式定理第一篇：三角形公式定理第三章三角形公式定理第三章三角形三角形的有关概念和性质

1.1三角形的内角和在同一平面内,由一些不在同一条直线上的线段首位顺次相接所围成的封闭图形叫做多边形.组成多变形的那些线段叫做多边形的边.相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点.多变形相邻两边所夹的角叫做多边形的内角,简称多边形的角.多变形的角的一边与另一边的反向延长线组成的角叫做多边形的外角.三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180在原来图形上添画的线叫做关心线依据三角形内角的特征,对三角形进行分类：三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形；有一个角是直角的三角形叫做直角三角形；

有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形；锐角三角形和钝角三角形统称斜三角形.在直角三角形中,夹直角的两边叫做直角边,直角的对边叫做斜边.推论1直角三角形的两个锐角互余推论2三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和

1.2三角形的有关线段三角形一个角的平分线和对边相交,角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线从三角形的一个顶点向其对边或对边的延长线画垂线,顶点和垂足间的线段叫做三角形的高全等三角形

2.1全等三角形的证明边边边有三边对应相等的两个三角形全等边角边有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等角边角有两角及其

夹边对应相等的两个三角形全等定理有两角及其其中一角的对边对应相等的两个三角形全等

2.2直角三角形全等的判定定理斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等等腰三角形

3.1等腰三角形及其性质三角形的三边,有的三边互不相等,有的有两边相等,有的三边都相等.三边都不相等的三角形叫做不等边三角形,有两边相等的三角形叫做等腰三角形,三边都相等的三角形叫做等边三角形.在等腰三角形中,相等的两边都叫做腰,另一边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角定理等腰三角形的底角相等推论等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边定理有两个角相等的三角形是等腰三角形定理一个三

角形是等腰三角形的充要条件是这个三角形有两个内角相等等边三角形定理1等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60等边三角形定理2三个角都相等的三角形是等边三角形等边三角形定理3有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形

3.2线段的垂直平分线与角平分线定理线段的垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等定理和一条线段两个端点距离相等的点,都在这条线段的垂直平分线上线段的垂直平分线可以看成是全部和线段两段距离相等的点的集合定理点在角平分线上的充要条件是这一点到这个角两边的距离相等角的平分线可以看作是到角的两边距离相等的全部点的集合

3.3轴对称定义假如点A,B在直

线l的两侧,且l是线段AB的垂直平分线,则称点A,B关于直线l相互对称,点A,B互称为关于直线l的对称点,直线l叫做对称轴定义在平面上,假如图形F的全部点关于平面上的直线l成轴对称,直线l叫做对称轴定义在平面上,假如存在一条直线l,图形F的全部点关于直线l的对称点组成的图形,仍是图形F自身,则称图形F为轴对称图形,直线l是它的一条对称轴定理1对称轴上的任凭一点与一对对称点的距离相等2对称点所连线段被对称轴垂直平分推论两个图形假如关于某直线称轴对称,那么这两个图形是全等形

3.4三角形中的不等关系定理三角形的外角大于和它不相邻的任一内角定理三角形任何两边的和大于第三边推论

三角形任何两边的差小于第三边定理在一个三角形中,假如两边不等,那么它们所对的角也不等,大边所对的角较大定理在一个三角形中,假如两个角不等,那么它们所对的边也不等,大角所对的边较大在一个三角形中,一条边大于另一条边的充要条件是,这条边所对的角大于另一条边所对的角4直角三角形

4.1勾股定理逆定理勾股定理逆定理假如三角形的三边长a,b,c满足条件a+b=c,那么c所对的角是直角

4.2含30角的直角三角形的性质定理在直角三角形中,假如一个瑞角等于30,那么它所对的直角边等于斜边的一半

4.3直角三角形斜边上中线的性质定理在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半基本作图

5.1基本作图

5.1作三角形

5.3轨迹与反证法我们把物体按某种规律运动的路途叫做物体运动的轨迹我们就把一个点在空间按某种规律运动的路途,叫做这个点运动的轨迹,这个点就叫做动点定义具有性质a的全部点构成的集合,叫做具有性质a的点的轨迹轨迹具有纯粹性和完备性基本轨迹1与两个已知点距离相等的点的轨迹是连结这两点的线段的垂直平分线基本轨迹2与已知角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线圆几何公式：101圆是定点的距离等于定长的点的集合102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合104同圆或等圆的半径相等105到定点的

距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线109定理不在同始终线上的三个点确定一条直线110垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧111推论1平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧112推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等113

圆是以圆心为对称中心的中心对称图形114定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等115推论在同圆或等圆中，假如两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等116定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半117推论1同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等118推论2半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90的圆周角所对的弦是直径119推论3假如三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形120定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于

它的内对角121直线L和O相交dr直线L和O相切d=r直线L和O相离dr122切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线123切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径124推论1经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点125推论2经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心126切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角127圆的外切四边形的两组对边的和相等128弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角129推论假如两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等130相交弦定理圆内的两条相交弦，

被交点分成的两条线段长的积相等131推论假如弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项132切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项133推论从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等134假如两个圆相切，那么切点确定在连心线上135两圆外离dR+r两圆外切d=R+r两圆相交R-rdR+r(Rr)两圆内切d=R-r(Rr)两圆内含dR-r(Rr)136定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦137定理把圆分成n(n3):依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内

接正n边形经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形138定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆139正n边形的每个内角都等于(n-2)180/n140定理正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形141正n边形的面积Sn=pnrn/2p表示正n边形的周长142正三角形面积3a/4a表示边长143假如在一个顶点四周有k个正n边形的角，由于这些角的和应为360，因此k(n-2)180/n=360化为(n-2)(k-2)=4144弧长计算公式：L=nR/180145扇形面积公式：S扇形=nR/360=LR/

2146内公切线长=d-(R-r)外公切线长=d-(R+r)其次篇：三角形公式在直角三角形中，假如一个锐角等于30那么它所对的直角边等于斜边的一半2直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半3勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a+b=c4勾股定理的逆定理假如三角形的三边长a、b、c有关系a+b=c，那么这个三角形是直角三角形5定理四边形的内角和等于3606多边形内角和定理:n边形的内角的和等于(n-2)1807平行四边形性质定理1平行四边形的对角相等8平行四边形性质定理2平行四边形的对边相等9推论夹在两条平行线间的平行线段相等10

平行四边形性质定理3平行四边形的对角线相互平分11平行四边形判定定理1两组对角分别相等的四边形是平行四边形12平行四边形判定定理2两组对边分别相等的四边形是平行四边形13平行四边形判定定理3对角线相互平分的四边形是平行四边形14平行四边形判定定理4一组对边平行相等的四边形是平行四边形15矩形性质定理1矩形的四个角都是直角16矩形性质定理2矩形的对角线相等17矩形判定定理1有三个角是直角的四边形是矩形18矩形判定定理2对角线相等的平行四边形是矩形19菱形性质定理1菱形的四条边都相等20菱形性质定理2菱形的对角线相互垂直，并且每一条对角线平分一组对角21菱形面积=对角线乘积的

一半，即S=(ab)222菱形判定定理1四边都相等的四边形是菱形23菱形判定定理2对角线相互垂直的平行四边形是菱形24正方形性质定理1正方形的四个角都是直角，四条边都相等25正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且相互垂直平分，每条对角线平分一组对角26定理1关于中心对称的两个图形是全等的27定理2关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分28逆定理假如两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称29等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等30等腰梯形的两条对角线相等76等腰梯形判定定理在同一底上的两

个角相等的梯形是等腰梯形77对角线相等的梯形是等腰梯形31平行线等分线段定理假如一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等32推论1经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰推论2经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半L=(a+b)2第三篇：中学数学常用公式定理汇总2023年高考数学资料整理中学数学常用公式定理汇总集合类：AB=AABAB=BAB规律关系类：对数类：logaM+logaN=logaMN

logMaM-logaN=logaNlogaMN=NlogaMlogabMN=NblogaMloga1=0logaa=1loga1=-1alogaba=blogaab=blogab=alogba=1a三角函数类：sin,一二正co，s一四正tan，一三正sin(-a)=-sin(a)cos(-a)=cosatan(-a)=-tanasin2+cos2=1sinp2-a=cosasinp+a=cosa2cosp-a=sinacos2p2+a=-sinaa-1asinA=bsinB=csinC=2Ra+b+csinA+sin

B+sinCrrvra*b=a*b*cosq=rra*bcosq=a*bxx+yya=b+c-2bccosAcosA=+-2bcxx221+*yyx+yx+y流程图类：Int

2.5=

2.5=2取不大于

2.5的最大整数mod(10,3)=1平面几何类：取10除以3的余数圆标方程(x-a)圆心：(a,b)+(y-b)=r函数类：斜率：k=yxy(x-x-圆一般方程x+y+Dx+Ey+F=0x)(D+E-4F0)点斜式：y-yy-=k(x-x-x)y两点式：y-y=x-xDE

圆心：,-;半径：-22+-4F点点距离：PP截距式：xa+yb=1=0ba=x2-x1)y2-y1+一般式：Ax+By+C韦达定理：x+x=-l1/l2k1=k2点线距离：dcxx=aA=x+By+CA+BAx+By+C1=0与A2x+B2y+C2=0平行：AB垂直：AA=+ABBB椭圆：ab-yb=1(ab0)==0a-c焦点：(c,0),(-c,0)c平行：A1x+B1y+C3=0垂直：B1x-A1y+C3=0平面对量类：rrab=vra/b离心率：e=准线：x=ac

双曲线：a-yb=1(a,b0)b=c-a(xx,2yy)焦点：(c,0),(-c,0)离心率：e=acxy-xy=0准线：x=渐近线：y=cbax抛物线：y=2px(p0)p焦点：F,02(x)=2x2,11=-2xx,(xa),=axa-1离心率：e=ca准线：x=-p2数列类：等差：an=a1+(n-1)dan=am+(n-m)dS1+n)n=n(2=na+n(n-1)2dm+n=p+qam+an=ap+aq等比：an-1n=a1qan=an-mm

qSa11-nq=a1-anqn=1-q1-q(q1)m+n=p+qaman=apaq线性规划类：nnxnniyi-xiyii=1(b=i=1i=1*)n2nx2ni-xii=1i=1a=y-bxnxiyi-nxy(xi-x)(yi-y)(*)b=i=1n=nx2x2i-n(xi-x)i=1i=1a=y-bx导数类：(kx+b),=kC,=0C为常数x,=1(ax),=axlna(a0,且a1)(ex),=ex(logax),=1exloga=1xlna(a0,且a1)(l

nx),=(sinx),x=cosx(cosx),=-sinxf(x)g(x),=f,(x)g,(x)Cf(x),=Cf,(x)(C为常数)f(x)g(x),=f,(x)g(x)+f(x)g,(x)f(x),f,(x)g(x)+f(x)g,(x)g(x)=g2(x)(g(x)0)复数：i=-1a+bi=c+dia=c,b=d(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)ix2+y=(x+yi)(x-yi)Z-a=r,以(a,0)为圆心，r

为半径的圆Z-(a+b)i=r,以(a,b)为圆心，r为半径的圆w=13-2+2i=1(1i)2=2i1+w+w2=0ax+bx+c=0,(b2-4ac0)x=-b4ac-b2求根公式：i2a向量与向量模关系：Z1-Z2Z1-Z2Z1+Z2Z1,Z2是二次方程的根，那么即Z1=a+bi,Z2=a+(-b)iZ1,Z2共轭。

等式与不等式：a+b=(a+b)a-ab+b()(a+c)22a(+b)a+ab+bb3b=a+24(a+b+c)23a+b+c()a+b2ab,a+b2ab,a=b时取“=a+b2aba+

b+cab+bc+ac222平面几何类：内心：三条角平分线的交点到交边距离相等，为内切圆圆心外心：三条中垂线的交点外接圆的圆心垂心：三条高线的交点重心：三条中线的交点S三角形=1pp-ap-bp-c注：p=(a+b+c)2角平分线：中AD=ABAC=BDDC：线2AB长+AC-BC12aS扇形=pr=rl弧长2p2立体几何类：S直棱柱侧=chch,V柱体=V长方体=abc=ShV球=pRS正棱锥侧=S正棱台侧=1212，V椎体=V台体=1313ShSS,S球=4pR+S,(c+c)hhS+()公理1：假如一条直线上的两点

在一个平面内，那么这条直线上全部的点都在这个平面内。

公理2：假如两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线。

公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。

公理4：平行于同一条直线的两条直线相互平行。

推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。

定理1：假如一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。

定理2：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线。

点、线、平面垂直：过一点有且只

有一条直线与已知平面垂直，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直。

直线与平面平行的判定定理：假如平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

直线与平面平行的性质定理：假如一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。

直线与平面垂直的判定定理：假如一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

直线与平面垂直的性质定理：假如两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。

两个平面平行的判定定理：假如一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

两个平面平行的性质定理：假如两个平行平面同时

和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行。

两个平面垂直的判定定理：假如一个平面经过；另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直。

两个平面垂直的性质定理：假如两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于他们交线的直线垂直于另一个平面。

第四篇：三角形垂心定理三角形的三条高所在直线交于一点，该点叫做三角形的垂心。

垂心的性质：

1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。

2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OGGH=12。

此直线称为三角形的欧拉线Eulerline

3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。

4、垂心分每条高线的两部分乘积相等

。

定理证明已知：ABC中，AD、BE是两条高，AD、BE交于点O，连接CO并延长交AB于点F，求证：CFAB证明：连接DEADB=AEB=90度

D、

B、D、E四点共圆ADE=ABEEAO=DACAEO=ADCAEOADCAE/AO=AD/ACEADOACACF=ADE=ABE又ABE+BAC=90度ACF+BAC=90度CFAB第五篇：三角形射影定理几何证明射影就是正投影，从一点到过顶点垂线垂线的垂足，叫做这点在这条直线上的正投影。

一条线段的两个端点在一条直线上的正投影之间的线段，叫做这条线段在这直线上的正投影，即射影定理。

直角三角形射影定理直角三角形射

影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

公式如图，RtABC中，BAC=90，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：1AD=BDDC，2AB=BDBC，3AC=CDBC。

证明：在BAD与ACD中，B+C=90，DAC+C=90，B=DAC，又BDA=ADC=90，BADACD相像，AD/BDCD/AD，即AD2=BDDC。其余类似可证。

注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。

由公式2+3得：AB+AC=BDBC+CDBC=BD+CD)BC=BC即AB+AC=BC。***2任凭三角形

射影定理任凭三角形射影定理又称“第一余弦定理：设ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是

D、

B、C，则有abcosCccosB，bccosAacosC，cacosBbcosA。

注：以“abcosCccosB为例，b、c在a上的射影分别为bcos

C、ccosB，故名射影定理。

证明1：设点A在直线BC上的射影为点D，则A

B、AC在直线BC上的射影分别为BD、CD，且BD=ccosB，CD=bcosC，a=BD+CD=bcosCccosB.同理可证其余。

1.圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

2.圆周角定理的推论：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆

周角所对的弧也相等.弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半.2弦切角定理推论：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径进一步指出：由于过已知点有且只有一条直线与已知直线垂直，所以经过圆心垂直于切线的直线确定过切点；反过来，过切点垂直于切线的直线确定经过圆心，因此可以得到两个推论：推论1经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点推论2经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心引导同学分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系，总结出如下结论：假如一条直线具备以下三个条件中的任凭两个，就可推出第三个

(1)垂直于切线；

(2)过切点；

(3)过圆心相交

弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等几何语言：若弦A

B、CD交于点P则PAPB=PCPD相交弦定理推论：假如弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC=PAPB相交弦定理推论割线定理：割线定理：从圆外一点引圆的两条割线则有这点到