高等数学绪论

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恩格斯：“数学是研究现实世界中的数量关系与空间形式的一门科学。”从数学的学科结构看，数学是模型；从数学的过程看，数学是推理与计算；从数学的表现形式看，数学是符号；从数学对人的指导看，数学是方法论；从数学的价值看，数学是工具。一、数学是什么？第一页，共38页。第一页，共38页。1）哲学说2）符号说3）科学说4）工具说5）逻辑说6）创新说7）直觉说8）集合说

★15种“数学的定义”9）结构说（关系说）10）模型说11）活动说12）精神说13）审美说14）艺术说15）万物皆数说

——《数学文化导论》第二页，共38页。第二页，共38页。1、数学是一种哲学亚里士多德：“新的思想家把数学和哲学看作是相同的。”牛顿在《自然哲学之数学原理》的序言中说，他把这本书“作为哲学的数学原理的著作”，“在哲学范围内尽量把数学问题呈现出来”。欧几里得：“点是没有部分的那种东西；线是没有宽度的长度。”

——《几何原本》

★★★————————————————————————————第三页，共38页。第三页，共38页。★伽利略（Galeleo）说：“展现在我们眼前的宇宙像一本用数学语言写成的大书，如不掌握数学符号语言，就像在黑暗的迷宫里游荡，什么也认识不清。”★

1965年获得了Nobel奖的物理学家费格曼（RichardFegnman）曾说：“若是没有数学语言，宇宙似乎是不可描述的。”★

Nobel物理学奖获得者温伯格（StevenWeinberg）说过：“这是不可思议的，当一个物理学家得到一个思想时，然后却发现在他之前数学家已经发现了。”2、数学是一种语言，一切科学的共同语言————————————————————————————第四页，共38页。第四页，共38页。

F.培根说：“知识就是力量”“数学是打开科学大门的钥匙”。★没有Maxwell方程就不可能有电磁波理论，就不会有现代的通讯技术；★没有Riemann几何，不可能产生广义相对论；★没有Navier-Stokes方程，就不会有流体力学的理论基础，也不可能产生航空学；★没有数理逻辑和量子力学，就没有现代的计算机；3、数学是一把钥匙，一把打开科学大门的钥匙———————————————————————————————第五页，共38页。第五页，共38页。★

诺依曼（VonNeumann）认为：“数学处于人类智能的中心领域……数学方法渗透、支配着一切自然科学的理论分支，它已愈来愈成为衡量成就的主要标志。”马克思说：“一门科学只有当它达到能够成功地运用数学时，才算真正发展了。”第六页，共38页。第六页，共38页。★

人体器官的三维图像(一维数学模型)★

数据压缩技术(小波分析)★

数学在工程学、经济学、管理学、心理学、政治科学诸领域也有重要的作用，产生了很多交叉学科，如数理经济学、数理语言学、数学心理学、数学政治科学、对策论等。4、数学是一种工具，一种思维的工具———————————————————————————————第七页，共38页。第七页，共38页。★简洁美★和谐美★对称美★奇异美5、数学是一门艺术，一门创造性艺术———————————————————————————————第八页，共38页。第八页，共38页。两个黑洞的斗争第九页，共38页。第九页，共38页。分形现象第十页，共38页。第十页，共38页。蝴蝶吸引子第十一页，共38页。第十一页，共38页。数学努力的目标是：将杂乱整理为有序，使经验升华为规律，使复杂演变为简单。数学不仅是一种重要的工具和方法，同时是一种思维模式，即“数学思维”；不仅是一种知识，而且是一种素质。结语:第十二页，共38页。第十二页，共38页。二、数学的历史第一阶段：数学萌芽时期（远古时代---公元前5世纪）★形成了数的概念，

产生了数的运算方法。

★几何学有了初步发展。第二阶段：常量数学时期

（公元前6、7世纪---17世纪中叶）★数学形成了一门独立的、演绎的科学★这个时期的基本成果，已构成现在中学数学课本的主要内容。第十三页，共38页。第十三页，共38页。第一个特征：其所研究的对象是不变的量（常量）或孤立不变的规则几何图形；第二个特征：表现在其研究方法上。既不能把几何问题用代数术语陈述出来，也不能通过计算用代数方法来解决几何问题。初等代数与初等几何是互不相关的问题，▲本阶段特征：如：匀速运动；匀加速运动；直边图形；圆弧边图形等第十四页，共38页。第十四页，共38页。第三阶段：变量数学时期

（17世纪中叶---19世纪中叶）★笛卡尔的《几何学》；恩格斯指出：数学中的转折点是笛卡尔的变数，有了变数，运动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数学；有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了……。★牛顿、莱布尼茨创立微积分.★这个时期的基本成果是解析几何、微积分、微分方程等，它们是现今高等院校中的基础课程。第十五页，共38页。第十五页，共38页。第四阶段：现代数学阶段

（19世纪至今）★主要分支：非欧几何、群论、泛函分析、拓扑学、函数逼近论、常微分方程定性理论、数理逻辑等.1、几何、代数、数学分析变得更为抽象。2、与其它学科之间相互交叉和渗透，形成了许多边缘学科和综合性学科。第十六页，共38页。第十六页，共38页。三、高等数学是什么？1、高等数学的涵义●广义——第三阶段的主要成果。包括《微积分》、《解析几何》、《线性代数》和《概率论》等，即大学阶段的数学。●狭义——《高等数学》课程。主要内容：极限和连续、一元函数微分学、一元函数积分学、多元函数微分学、多元函数积分学、级数理论、空间解析几何和简单微分方程等。

理论基础：极限理论。第十七页，共38页。第十七页，共38页。《高等数学》课程的重要性

高等数学其它数学课程物理学、天文学、工程技术、管理学、经济学、信息科学……↓↓支持推动第十八页，共38页。第十八页，共38页。“一尺之棰，日截其半，万世不竭”例：趣味数学题(1)割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽(2)截丈问题：第十九页，共38页。第十九页，共38页。(3)

s等于多少悖论：设则：(1)(2)(3)s=1-s

解得s=1/2

认为答案为1/2.主要是当时还没有级数收敛的概念.这个问题据说曾令众多大师为难,莱布尼茨都第二十页，共38页。第二十页，共38页。“飞矢不动”

(4)芝诺悖论：

“矢”指的是弓箭中的箭。如果我们截取“飞矢”的静止的，所以，“飞矢”是“不动”的。每一个瞬间，它在空中都是“静止”的。既然每一个瞬间都是静止的，所有的瞬间加起来也应该是“芝诺悖论”的错误就在于，他将无穷小彻底等同于零。第二十一页，共38页。第二十一页，共38页。离可以无限地缩小，但永远追不上乌龟。

芝诺讲：阿基里斯在赛跑中不可能追上起步稍微领先于他的乌龟，因为当他要到达乌龟出发的那一点，乌龟又向前爬动了。阿基里斯和乌龟的距“阿基里斯追不上乌龟”

阿基里斯（Achilles）是希腊神话中善跑的英雄。(4)芝诺悖论：

第二十二页，共38页。第二十二页，共38页。2、微积分的涵义●微积分学是微分学和积分学的总称。●它是一种数学思想：无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，如：子弹飞出枪膛的瞬间速度就是微分的概念，“无限细分”就是微分，“无限求和”就是积分。它是用一种运动的思想看待问题。子弹每个瞬间所飞行的路程之和就是积分的概念第二十三页，共38页。第二十三页，共38页。求曲线的长度、区域的面积、物体的体积等；微积分是从四个方面的问题来的：

求曲线的切线；

求运动物体的速度；

求一些问题的极大、极小值。

例：图中阴影的面积、曲线的长度、阴影绕坐标轴的旋转的立体的体积及表面积。第二十四页，共38页。第二十四页，共38页。例.不规则图形面积第二十五页，共38页。第二十五页，共38页。第二十六页，共38页。第二十六页，共38页。解决问题的思想和方法：分割化整为零求和积零为整取极限精确值求近似取极限微分积分第二十七页，共38页。第二十七页，共38页。3、《高等数学》课程的作用

Ⅰ.为其他后续数学课程奠定良好的数学基础。《线性代数》、《概率论与数理统计》、《复变函数与积分变换》、《数值分析》等Ⅱ.为同学们学习相关基础课程及本专业的专业课程奠定数学基础。《大学物理》、《计算机理论基础》、《控制理论基础》等第二十八页，共38页。第二十八页，共38页。Ⅲ.逐步培养学生应该具有的能力与素质：①抽象概括问题的能力；例:(七桥问题)

科尼斯堡有条布勒格尔河上有七座桥，“能否在一次散步中每座桥都走一次，而且只走一次最后又回到出发点？”第二十九页，共38页。第二十九页，共38页。第三十页，共38页。第三十页，共38页。②逻辑推理能力；例：某外企招考员工的一道题：有三个筐，一个筐里装着橘子，一个筐里装着苹果，一个筐里混装着橘子和苹果，装完后封好。然后做“橘子”、“苹果”、“混装”三个标签，分别贴到上述三个筐上。由于马虎，结果全贴错了。请想一个办法，只许从某一个筐里拿出一个水果，就能够纠正所有的标签。

——《数学文化》顾沛著，高等教育出版社。

第三十一页，共38页。第三十一页，共38页。例：微软公司招考员工的一道面试题：一个屋子里有50个人，每个人领着一条狗，而这些狗中有一部分病狗。假定有如下条件：a.狗的病不会传染，也不会不治而愈；b.狗的主人不能直接看出自己的狗是否有病，只能看别人的狗，从而推理发现自己的狗是否有病；c.一旦主人发现自己的狗是一只病狗，就会在当天开枪打死这条狗；d.狗只能由它的主人开枪打死。结果，第一天没有枪声，第二天没有枪声，……，第十天发出了一片枪声，问有几条狗被打死？——《数学文化》，顾沛著，高等教育出版社。

第三十二页，共38页。第三十二页，共38页。③空间想象能力；④自学能力；⑤比较熟练的运算能力；⑥综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力；例：证明：①在凸凹不平的地面上，将四条腿桌子旋转调整几次，一定可以使其放稳。②金属环加热过程中，环上必存在具有相同温度的关于圆心对称的两点.第三十三页，共38页。第三十三页，共38页。⑦具有处理数据和图形的能力，重点是加强应用意识和数学建模的能力；⑧具有进行逻辑推理和选择计算方法的能力；⑨具有判断计算和推理结果正确性的能力；例：某公司的一个岗位三年聘期，提供了两种薪酬支付方式，A：月薪1000，每月加薪100；B：季薪6000，每季度加薪300，若你在这个岗位上，请问你选择哪种支付方式？第三十四页，共38页。第三十四页，共38页。四、如何学习高等数学？听懂、练会、考好、用活1.培养兴趣。兴趣是最好的老师！没有兴趣的学习是痛苦的折磨。2.多加练习。听数学不如读“数学”，读数学不如做“数学”第三十五页，共38页。第三十五页，共38页。3.掌握规律

复习----学习新知识----练习----总结

学习中要抓住三个问题：基本概念，基本原理，典型范例。要求：基本概念要准确；基本理论要清楚；基本运算技能要熟练。第三十六