高考数学函数题

1.(2010全国卷I理)函数/(x)的定义域为R,若/(x+1)与/。-1)者B是奇函数，则()

A"(x)是偶函数Bj(x)是奇函数

C./(x)=/(x+2)D./(x+3)是奇函数

答案D

解析•••/(x+1)与/(无一1)都是奇函数，

.­./(-x+l)=-/(x+l),/(-x-l)=-/(x-l),

J.函数/(X)关于点(1,0),及点(一1,0)对称，函数/(x)是周期T=2[l—(―1)]=4的周

期函数x—1+4)=—/(x—1+4),y(-x+3)=-/(x+3),即/(x+3)是奇函

数。故选D

2.(2010浙江理)对于正实数a,记例0为满足下述条件的函数/(x)构成的集合：

\/玉,》2eR且无2>X],有一1(工2—X1)</(》2)-/(芭)<-X]).下列结论中正确的

是()

A.若/(x)wMal，g(X)e"a2，则/(X>g(x)e"as

B.若g(x)eMa2,且g(x)H0,则翌eMai

g(x)阳

c.若/(x)eMai，g(x)eMa2,则/(x)+g(x)e%1+艰

D.若/(x)eMai，g(x)eMa2,且%>42，则/(x)-g(x)e

答案c

解析对于一a(%2-%i)</(x2)-/(xj<a(》2-X]),即有-a</(9)~"")<a,

x2-X]

令/(&)—)(xj=k,有一a<k<a,不妨设/(x)eMai，Ma2,即有

x2-x}

-at<kf<a,,-a2<kg<a2,因此有一«-a2<kf+k/,<«+a2,因此有

f(x)+g(x)eMa\+a2'

3.(2010浙江文)若函数/3)=/+色(。€1?),则下列结论正确的是()

x

A.VaeR,/(x)在(0,+8)上是增函数

B.VaeR,/(x)在(0,+8)上是减函数

C.3aeR,/(x)是偶函数

D.BaeR,/(x)是奇函数

答案C

【命题意图】此题主要考查了全称量词与存在量词的概念和基础知识，通过对量词的考查

结合函数的性质进行了交汇设问.

解析对于a=0时有是一个偶函数

XI-A

4.(2010山东卷理)函数y=-一二的图像大致为().

答案A

解析函数有意义，需使/一6-*。0,其定义域为{xlxHO},排除C,D,又因为

x+e-xe1'+1?

y=e=—A=i+f一,所以当x>0时函数为减函数，故选A.

【命题立意】：本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难

点在于给出的函数比较复杂，需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质.

flog(l—x),x<0

5.(2009山东卷理)定义在R上的函数f(x)满足f(x)=472,

[/(x-l)-/(x-2),x>0

则f(2009)的值为()

A.-lB.OC.lD.2

答案C

解析由已知得/(-I)=log22=1,/(0)=0,/(I)=/(O)-/(-1)=一1,

/⑵=/⑴一/(O)=-1J⑶=/⑵一/⑴=一1一(-1)=0,

/(4)=/(3)-/(2)=0-(-1)=1,/(5)=/(4)-/(3)=1,/(6)=/(5)-/(4)=0,

所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.，所以f(2009)=f(5)=1,故选C.

【命题立意】：本题考查归纳推理以及函数的周期性和对数的运算.

X.—X

6.(2009山东卷文)函数y=1一二的图像大致为().

答案A.

解析函数有意义，需使其定义域为{xlxHO},排除C,D,又因为

x+-xe2

y=Uee='匚=1+.所以当x>0时函数为减函数，故选A.

e2x-le2x-l

【命题立意】：本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点

在于给出的函数比较复杂，需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质.

log(4-x),x<0

7.(2009山东卷文)定义在R上的函数f(x)满足f(x)=<2

f(x-l)-f(x-2),x>0

则f(3)的值为)

A.-lB.-2C.lD.2

答案B

解析由已知得/(-1)=log25,/(O)=log24=2,/(I)=/(O)-/(-I)=2-log25,

/(2)=/(l)—/(0)=—log25,/(3)=/(2)—/(l)=—log25-(2—log25)=—2,故选B.

【命题立意】：本题考查对数函数的运算以及推理过程.

8.(2009山东卷文)已知定义在R上的奇函数/(x),满足/5-4)=一/。),且在区间[0,2]

上是增函数，则().

A./(-25)</(II)</(80)B./(80)</(11)</(-25)

C./(11)</(80)</(-25)D./(-25)</(80)</(11)

答案D

解析因为/*)满足/。-4)=一/*),所以/(x—8)=/(x),所以函数是以8为周期的

周期函数，则/(一25)=/(-1),/(80)=/(0),/(11)=/⑶,又因为/(x)在R上是奇函

数，/(0)=0,得f(80)=/(0)=0J(-25)=/(-I)=-/⑴，而由/(x-4)=-7(%)得

/(11)=/(3)=-/(-3)=-/(1-4)=/(I)，又因为/(%)在区间［0,2］上是增函数，所以

/⑴>/(0)=0,所以一/(I)<0,即/(一25)</(80)</(11),故选D.

【命题立意】:本题综合考查了函数的奇偶性、单调性、周期性等性质，运用化归的数学思想

和数形结合的思想解答问题.

9.(2009全国卷n文)函数y=A/与(xWO)的反函数是()

(A)y=x2(x>0)(B)y=-x2(x>0)

(B)y=x2(x<0)(D)y=f2(x<0)

答案B

解析本题考查反函数概念及求法，由原函数xWO可知AC错,原函数y20可知D错.

2—x

10.(2009全国卷n文)函数y=y=log2--的图像()

~2+x

(A)关于原点对称(B)关于主线》=一》对称

(C)关于y轴对称(D)关于直线y=x对称

答案A

解析本题考查对数函数及对称知识，由于定义域为(-2,2)关于原点对称，又f(-x)=-f(x),

故函数为奇函数，图像关于原点对称，选A。

11.(2009全国卷H文)设。=lge,b=(lge)2,c=lgj］则()

(A)a>b>c(B)a>c>b(C)c>a>b(D)c>b>a

答案B

解析本题考查对数函数的增减性，由l>lge>0,知2>0又c=gIge,作商比较知c>b,选B。

12.(2009广东卷理)若函数y=/(x)是函数y=a'(a>0,且。声1)的反函数，其图像

经过点(、/,4),则/(X)=()

,,12

A.log2xB.log〕xC.—D.x

答案B

解析/（x）=log（（X,代入（、石,0）,解得。=,，所以/（x）=log|X，选B.

25

13.（2009广东卷理）已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）

行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为哧和丫乙（如图2所示）.那么对于图中给定的小和，

下列判断中一定正确的是

A.在6时刻，甲车在乙车前面

B.G时刻后，甲车在乙车后面

C.在小时刻，两车的位置相同

D.小时刻后，乙车在甲车前面

答案A

解析由图像可知，曲线叫比v乙在0〜%、0〜。与x轴所围成图形面积大，则在r,

时刻，甲车均在乙车前面，选A.

14.（2009安徽卷理）设aVb,函数y=（x-a）2（x-»的图像可能是（）

答案C

解析y'=（x-a）（3x-2a-b）,山y/=0得尤=白,1=--—，工当工二。时，y取极

大值0,当了=等2时y取极小值且极小值为负。故选C。

或当时yvO,当时，y>0选C

15.（2009安徽卷文）设函数1y=(X-，＞(%-»)的图像可能是()

解析可得x=a,x=b为y=(x-a)2(x-b)=0的两个零解.

当天<a时，贝ijx<b/(x)<0

当a<x<b时，则/(x)<0,当x>/?时，则f(x)>0.选C。

J-Y-3x+4

16.(2009江西卷文)函数y==~=的定义域为()

x

A.[-4,1]B.[-4,0)C.(0,1]D.[-4,0)U(0,1]

答案D

解析由|2得TWx<0或0<xWl,故选D.

-X2-3X+4>0

17.(2009江西卷文)已知函数/(x)是(-8,+8)上的偶函数，若对于x20,都有

/(%+2)=/(%),且当xw[0,2)时，/(x)=log2(x+l),则/(—2008)+/(2009)的

值为()

A.-2B.-1C.1D.2

答案C

解析/(-2008)+/(2009)=/(())+/(l)=log；+log；=1,故选C.

18.(2009江西卷文)如图所示，一质点尸(x,y)在X。)，平面上沿曲线运动,

速度大小不变，其在x轴上的投影点。(x,0)的运动速度丫=V(f)的图象_

大致为()

解析由图可知，当质点P(x,y)在两个封闭曲线上运动时，投影点。(x,0)的速度先

由正到0、到负数，再到0,到正，故A错误；质点P(x,y)在终点的速度是由大到小

接近0,故。错误；质点P(x,y)在开始时沿直线运动，故投影点。(x,O)的速度为常

数，因此C是错误的，故选8.

19.(2009江西卷理)函数y=-/」n(x+l)..的定义域为()

yj-x2-3x+4

A.(-4,-1)B.(-4,1)C.(-1,1)D.(-1,1]

答案C

fx+1>0fx>-l

解析由<,=>5=>一l<xvl.故选C

-x-3x+4>0[-4<x<1

20.(2009江西卷理)设函数/(x)=Jax2+bx+c(a<0)的定义域为。，若所有点

(s,/Q))(s,fe。)构成一个正方形区域，则。的值为()

A.-2B.—4C.—8D.不能确定

答案B

解析।玉一%21=/皿(％)，J匚,|。|=25/工，。=-4,选B

*C

21.(2009天津卷文)设函数/(x)="-4"+6，'20则不等式/。)>/1)的解集是()

x+6,x<0

A.(-3,l)u(3,+oo)B.(-3,l)U(2,+oo)

C.(-l,l)U(3,+~)D.(-8,-3)51,3)

答案A

解析由已知，函数先增后减再增

当xNO,/(x)22/⑴=3令/(x)=3,

解得x=l,x=3。

当x<0,x+6=3,x=-3

故/(x)>/⑴=3,解得—3<x<l或x〉3

【考点定位】本试题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解。

22.(2009天津卷文)设函数f(x)在R上的导函数为f'(x),且2f(x)+xf,(x)>x2,x下面的不等式

在R内恒成立的是()

A./(X)>0B./(x)<0C.f(x)>xD./(x)<x

答案A

解析由已知，首先令x=0,排除B,Do然后结合已知条件排除C,得到A

【考点定位】本试题考察了导数来解决函数单调性的运用。通过分析解析式的特点，考查

了分析问题和解决问题的能力。

23.(2009湖北卷理)设a为非零实数，函数丫=匕竺(xeR,月/。-工)的反函数是()

1+QXa

l-ax,门口1、1+aX/人口1、

A、y-----(xwR,且xW——)B、y=------(XER且了，——)

l+axa1-axa

C、y=--(xe/?,Ax1)D>y=~―R,一旦工。一1)

a(l-x)a(l+x)

答案D

解析由原函数是丁=上”(xeR,且xW-L),从中解得

\+axa

x=1-V(yeR,且y，-l)即原函数的反函数是》=上)一(ye凡月少。一1),故选

«d+y)'«(i+y)-

择D

24..(2009湖北卷理)设球的半径为时间r的函数R(f)。若球的体积以均匀速度c增长，则球

的表面积的增长速度与球半径()

A.成正比，比例系数为CB.成正比，比例系数为2c

C.成反比，比例系数为CD.成反比，比例系数为2c

答案D

解析由题意可知球的体积为V(f)=g乃叱⑺，则，=丫'。)=4%巾«/々)，由此可

R⑴R()=4%RQ),而球的表面积为SQ)=4万/?2“),

所以v表=S'(f)=4兀R2(t)=8兀R(t)R<t),

r\r\

即p表=8%R«)R(r)=2x4;rRQ)R'0)=———R(t)=——,故选

R⑴R«)RQ)

25.(2009四川卷文)已知函数/(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意

实数x都有

V(x+l)=(l+x)/(x),则/§)的值是()

15

A.0B.-C.ID.-

22

答案A

]+X1

解析若xWO,则有/(x+l)=----/(X),取》=一一，则有：

x2

1-1

/(^)=f(-+1)=—r(：/(x)是偶函数，则

~2

/(-5=/(；))由此得/(；)=0于是

1+3]+,

年)=宿+1)=?/(|)=汐|)=汐91)/彳]可)=5吗)=0

22

b

26.(2009福建卷理)函数/(%)=G+法+。(〃。0)的图象关于直线工=——对称。据此

2a

可推测，对任意的非零实数a,b,c,m,n,p,关于x的方程加+对'(尤)+p=0

的解集都不可能是()

A.{1,2}B{1,4}C{1,2,3,4}D{1,4,16,64]

答案D

解析本题用特例法解决简洁快速，时方程〃?"(x)]2+,矿(x)+P=0中m,n,p分别

赋值求出/(x)代入/(x)=O求出检验即得.

27.(2009辽宁卷文)已知偶函数/(x)在区间[0,+8)单调增加，则满足〃2x—

的x取值范围是)

(A)0|)B.[1,|)2

C.(一，2)D.)

233

答案A

解析由于f(x)是偶函数，故f(x)=f(lxl)

...得f(l2x-ll)<f(-),再根据f(x)的单调性

3

112

得I2x-ll〈一解得-<x<-

333

28.(2009宁夏海南卷理)用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值()

设f(x)=min{,x+2,10-x}(x>0),则f(x)的最大值为

(A)4(B)5(C)6(D)7

答案C

29.(2009陕西卷文)函数/(X)=67=Z(X24)的反函数为()

(A)=+4(x20)B.7-'(X)=1X2+4(X>2)

(C)/-'(X)=1X2+2(X>0)(D)/-'(X)=1X2+2(X>2)

答案D

解析令原式y=f(x)=y/2x-4(x>2)贝y=2x-4,即x=Lt^=2-+2

22

故/T(X)=；X2+2(X22)故选D.

30.(2009陕西卷文)定义在R上的偶函数/(x)满足：对任意的士,》2€[0,+8)(玉Ox?)，

有山上也2<0则()

9一/

(A)/(3)</(-2)</(I)B./(l)</(-2)</(3)

C./(-2)</(I)</(3)D./(3)</(I)</(-2)

答案A

解析由)(/(%)—/(*))>0等价，于"士)一/(三)〉0则/(幻在

玉/26(-8,()](玉。々)上单调递增，又/(x)是偶函数，故/(x)在

事,X2€(0,+8](玉。々)单调递减•且满足〃€N*时，/(-2)=/⑵，3>2>1>0,得

/(3)</(-2)</(1)，故选A.

31.(2009陕西卷理)定义在R上的偶函数/(x)满足：对任意

的%,马€(-8,0](再HZ)，有的2Tl)(/(%)-/(%))>0・

则当〃eN*时，有()

(A)/(—〃)</(«-1)</(〃+1)B./(«-1)</(-«)</(〃+1)

C.C./(n+l)</(-n)</(«-1)

答案c

解析：xvx2e(-00,0](%(^x2)=>(x2-%1)(/(x2)-/(%]))>0

ax2〉阳时，/(x2)>/(XJQ/(》)在(-8,0]为增函数

/(x)为偶函数=>/(x)在(0，+8]为减函数

而n+l>n>nT>0,/./(n+1)</(〃)</(n-1)n/(n+1)<f(-〃)</(n-1)

32.（2009四川卷文）已知函数/（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意

实数天都有犷。+1）=（1+刈/3，则/（5）的值是（）

15

A.0B.-C.1D.-

22

答案A

1+x1

解析若XW0,则有/*+1）=--/（X）,取犬=——，则有：

x2

1-1

/（1）=/（-1+1）=—p/（-1）==-/（1）（；/（幻是偶函数，则

~2

3）=吗））

由此得/（；）=0于是，

31

吗）=〃/）=♦/（|）亨（+D=中中吗）=5/（1）=0

22

33.（2009湖北卷文）函|数丫=泊!（》€凡且X*-；）的反函数是（）

A1+2X.“口1、1-?y1

A.y=-------(xeR,且xW—)B.y=F-*eR,且"-R

1-2x2l+2x2

]+X

C.y=--------(xGR,目JV*1)D.y=~~—(xeR,且x*-I)

2(1-x)2(1+x)

答案D

可反解得故/—且可得原函数中、所以

解析X=-1-1T(x)-l-xyGRy=-l

2(1+j)2(l+x)

/T(x)l-x且xGR、xW-1选D

2(1+x)

x

34.（2009湖南卷理）如图1,当参数4=%时，连续函数丁=——（x>0）的图像分别对应

1+ZX

曲线G和Q,则)

AO<4<2BO<4<4

C4<4<。Dz,<<o

答案B

解析解析由条件中的函数是分式无理型函数，先由函

数在(0,+8)是连续的，可知参数4>0,4>0,即排除c,D项，又取x=l,知对应函

数值y山图可知y<为，所以4>4,即选B项。

Ji+4Ji+4

35.(2009湖南卷理)设函数y=/(x)在(-8,+8)内有定义。对于给定的正数K,定义函

数)

f(x),f(x)<K

/(》)=<

KJ(x)〉K

取函数/(x)=2—x-eT。若对任意的xe(+8,—8),恒有4(x)=/(x),则()

A.K的最大值为2B.K的最小值为2

C.K的最大值为1D.K的最小值为1

答案D

解析由尸(x)=l-e-*=0,知x=0,所以xe(-«>,0)时,/'(x)>0,当xe(0,+8)

时,f'(x)<0，所以/(x)max=/(0)=1,即/(x)的值域是(­,1],而要使£(x)=/(x)

在R匕恒成立，结合条件分别取不同的K值，可得D符合，此时人(x)=/(x)。故选D

项。

A*2+4xxN0

36.(2009天津卷理)已知函数/(*)=<'一若八2—。2)>/5),则实数。

4x-x,x<0

的取值范围是()

A(-00,-1)u(2,+oo)B(-1,2)C(-2,1)D(-oo,-2)u(l,+oo)

【考点定位】本小题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解。

解析：由题知/(x)在R上是增函数，由题得2-，>“，解得一故选择C。

37.(2009四川卷理)-知函数/(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意

实数X都有犷(x+l)=(l+x)/(x),则/(/(|))的值是()

15

A.OB.—C.1D.一

22

【考点定位】本小题考查求抽象函数的函数值之赋值法，综合题。(同文12)

答案A

x+1

由xf(x+l)=(1+x)/(x)得f(x+l)=-----/(x),所以

X

53

/(|)=|/(1)=|/(|)=1|/(1)=0=>/(/(|))=/(0)=0,故选择A。

22

与函数y=J=

38.(2009福建卷文)下列函数中,有相同定义域的是)

\/X

A.f(x)=InxB./(x)=-C.f(x)=1xIDj(x)=e"

x

答案A

一】可得定义域是x>0./(x)=Inx的定义域x>0；/(x)=’的定

解析解析由y=

yJxx

义域是x#0；/(x)=lxl的定义域是XER;f(x)=e'定义域是XER。故选A.

39.(2009福建卷文)定义在R上的偶函数/(x)的部分图像如右图所示，则在(-2,0)上,

下列函数中与/(1)的单调性不同的是

()

A.y=x2+1

B.y=1x1+1

2x+l,x>0

C.y=<

尤3+1,1<0

y=<

答案C

解析解析根据偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反，故可知求在(-2,0)上单调

递减，注意到要与/(x)的单调性不同，故所求的函数在(-2,0)上应单调递增。而函数

y+1在上递减；函数y=|x|+l在(-oo,0］时单调递减；函数

y=\,在(一8,0］上单调递减，理由如下y，=3x2>0(X<0),故函数单调递增，

-V+IXYO

e'x20

显然符合题意；而函数y=4‘一，有y'=-eT<0(x<0),故其在(一8,0］上单调递减,

dYO

不符合题意，综上选C。

40.(2009重庆卷文)把函数/。)=/一3》的图像G向右平移〃个单位长度，再向下平移

v个单位长度后得到图像若对任意的〃>0,曲线G与G至多只有一个交点，则-

的最小值为()

A.2B.4C.6D.8

答案B

3

解析根据题意曲线C的解析式为y=(X-M)-3(X-H)-V,则方程

(x-w)3-3(x-w)-v=x3-3x,即-3“+v)<0,即V2-L1+3W对任意

4

壮恒成立，于是的最大值，令g(〃)=+3”(〃>0),则

44

2

■cg((“)=一一M+3=一一(〃-2)(“+2)由此知函数g(〃)在(0,2)上为增函数，

44

在(2,+8)上为减函数，所以当“=2时，函数g(〃)取最大值，即为4,于是丫24。

41.(2009重庆卷理)若/(为二一1—十。是奇函数，则。=

2V-1

答案-

2

12r

解析解法1/(-%)=+a=――+〃,/(—%)=-/(x)

2-11-2

2,11V1

n-------\-a=—(--------Fa)n2〃=------------=］故。=—

1-2V2A-11-2X1-2A2

42(2009上海卷文)函数f(x)=x3+1的反函数『(x)=.

答案4T

解析由y=x3+l,得x=V户，将y改成x,x改成y可得答案。

f3A%<1

44(2009北京文)已知函数/(x)=〈‘若/(x)=2,则》=___________.

I-x,x>1,

答案log32

解析本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求x的值.属于基础知识、基本运算的

考查.

X<1fx>1

由《=>x=log32,1-无解，故应填logs2.

3*=2\-x-2=>x=-2

尤<0

45.(2009北京理)若函数/(X)={X则不等式I/(x)的解集为

x>0

答案[-3,1]

解析本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法.属于基础知识、基本运算

的考查.

x<0

(1)由l〃x)W=>

<11=>—3<x<0.

x3

x>0fx>0

(2)由.仕丫1=>0<x<l.

3

不等式\f(x)1>|的解集为{xI-3KXK1},.•.应填[-3,1].

J5-1

46.(2009江苏卷)已知。=—-—,函数/(x)=a”,若实数机、〃满足了("Z)>/(〃)，

则加、n的大小关系为.

解析考查指数函数的单调性。

J5-1,

a=-------e(0,1),函数/(x)=就在R上递减。由/(加)>/(〃)得：m<n

47.(2009山东卷理)已知定义在R上的奇函数/(外,满足/(X-4)=-/(x),且在区间[0,2]

上是增函数，若方程f(x)=m(m＞0)在区间［-8,8］上有四个不同的根占,X2,X3,%，则

斗+尤2+/+/=.

答案-8

解析因为定义在R上的奇函数，满足/。-4)=-/a),所以/(x—4)=/(—x),所以,

由/(x)为奇函数，所以函数图象关于直线x=2对称且/(0)=0,由/(x-4)=-/(x)知

/(X-8)=/(x),所以函数是以8为周期的周期函数,又因为/(x)在区间［0,2］上是增函数,

所以/(x)在区间［-2,0］上也是增函数.如图所示，那么方程f(x)=m(m＞0)在区间［-8,8］上有

四个不同的根%,工2，工3，》4,不妨设X］＜工2＜》3＜工4由对称性知X］+X2=-12/+=4

所以X1+4+X3+X4=-12+4=—8

【命题立意】：本题综合考查了函数的奇偶性，单调性,

对称性，周期性,以及由函数图象解答方程问题，

运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题.

14.(2009四川卷文)设V是已知平血M上所有向量的集合，对于映射V,

记a的象为/(a)。若映射满足：对所有a、beV及任意实数4/都有

/(助+〃b)=2f(a)+〃/S),则/称为平面加上的线性变换。现有下列命题：

①设/是平面M上的线性变换，a、beV,则/(a+b)=/(“)+73)

②若e是平面M上的单位向量，对aeV,设了(a)=a+e,则/是平面M上的线性变

换；

③对aeV,设/•(a)=-a,则/是平面M上的线性变换；

④设/是平面M上的线性变换，aeV,则对任意实数人均有/(ka)=QXa)。

其中的真命题是(写出所有真命题的编号)

答案①③④

解析①：令4=4=1,则f(a+b)=/(a)+f(b)故①是真命题

同理，④：令；1=4,〃=0,则/(履)=4Aa)故④是真命题

③：/(a)=-a,则有f(b)=-b

/(九i+阚=一(九z+Rb)=A-(-a)+〃•(一/?)=歹(a)+是线性变换，故③是

真命题

②：由/(a)=a+e,则有/(/?)=8+e

f(Aa+阚-(Aa+jub)+e-%-(a+e)+//-(b+e)-e=勾'(a)+用(b)-e

是单位向量，eWO,故②是假命题

【备考提示】本小题主要考查函数，对应及高等数学线性变换的相关知识，试题立意新

颖，突出创新能力和数学阅读能力，具有选拔性质。

48.(2009年广东卷文)(本小题满分14分)

已知二次函数y=g(x)的导函数的图像与直线y=2x平行，且y=g(x)在x=­l处取

得最小值m—l(mHO).设函数/(x)=迎也

X

⑴若曲线＞'=/(x)上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为行，求m的值

(2)k(kGR)如何取值时，函数y=/(x)-丘存在零点，并求出零点.

解(1)设+c,则g'(x)=2QX+Z?；

又g'(x)的图像与直线y=2x平行.・.2〃=2a=l

b

又g(x)在尤二-1取极小值，一万二一1，b=2

/.g(—l)=^—/?+c=l—2+c=m—l,c=m；

/(x)=以2=x+%+2，设尸

XX

/\22___

则|PQ|=莅+(丁0-2)=x；+x0H=H—h+222J2m-+2

\xoJxo

2d21n2+2=4m=±^-；

2

(2)由y=/(x)—爪=(1一氏)x+—+2=0,

得(X-k^X1+2%4-7?7=0(*)

177/I7

当女=1时，方程(*)有一解工二一,，函数y=/(%)一质有一零点工二一,；

当女W1时，方程(*)有二解=A=4-4〃?(l-k)>0,若机>0,k>l-—,

m

函数y=〃x)—kx有两个零点“二型-4。皿=1土J匕m(四.若机<(),

2(l-k)k-\

k<\--,函数y=/(x)—丘有两个零点、=斗三叵=%亘亘L

m