《现代控制理论》第3版课后习题答案

仅供个人参考《现代控制理论参考答案》第一章答案1-1试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。解：系统的模拟结构图如下：系统的状态方程如下：令(s)y，则yx1所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为1-2有电路如图1-28所示。以电压u(t)为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻R2上的电压作为输出量的输出方程。ix,ix,ux，输出量yRx令1解：由图，122c32211R•xxxu11L11L113L1•RxLxxu11113R2•xxx•有电路原理可知：LxRxx既得2L2L2322223211xx2•xxCx•x3123C1CyRx22写成矢量矩阵形式为：1-4两输入u，u，两输出y，y的系统，其模拟结构图如图1-30所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。1212解：系统的状态空间表达式如下所示：1-5系统的动态特性由下列微分方程描述列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。yx，2.yx，y，则有..解：令x13相应的模拟结构图如下：6(s1)1-6（2）已知系统传递函数W(s)s(s2)(s3)2,试求出系统的约旦标准型的实现，并画出相应的模拟结构图1016(s1)s(s2)(s3)433s3s2s3解：W(s)(s3)221-7给定下列状态空间表达式不得用于商业用途仅供个人参考0xx10011x230x1u2223xx113‘3x1y001x2x3（1）画出其模拟结构图（2）求系统的传递函数解：10s（2）W(s)(sIA)2s3011s31-8求下列矩阵的特征矢量0100（3）A32127610IA3261160解：A的特征方程321276：131,2,3解之得2010pp111111时，p21302p当211276pp31311p11：pp令p21p111得Pp1解得3111121p1311p11（或令p1，得Pp1）11121p131010pp121212时，2p22302p当p32221276p322pp2p,p12p令p2：12得Pp4解得22123212122221p32不得用于商业用途仅供个人参考1p12p1，得Pp2）（或令122221p232010pp2p3p131313当时，3023231276pp33331p13p3p,p3p令p113得Pp3解得：23133313323p3331-9将下列状态空间表达式化成约旦标准型（并联分解）x412x3111x102x27u22x113x533（2）3x1xy1201011y2x234122(1)(3)203IA1解：A的特征方程11412pp11113p3当时，102p12121113pp31311p11解之得p21pp令p1得Pp1311111121p131412pp111113p13当时，102p22121113pp311311p12pp1,pp令p112得Pp0解之得12222232222p032412pp1313p1当时，102p32323113pp3333不得用于商业用途仅供个人参考0pp0,p2p13p1得Pp2解之得令1p33约旦标准型1-10已知两系统的传递函数分别为W(s)和W2(s)1试求两子系统串联联结和并联连接时，系统的传递函数阵，并讨论所得结果解：（1）串联联结（2）并联联结1-11（第3版教材）已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为求系统的闭环传递函数解：1-11（第2版教材）已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为求系统的闭环传递函数解：1-12已知差分方程为试将其用离散状态空间表达式表示，并使驱动函数u的系数b(即控制列阵)为1（1）b1解法1：解法2：11111TB得T1所以T01求T,使得1101所以，状态空间表达式为第二章习题答案2-4用三种方法计算以下矩阵指数函数eAt。11（2）A=41一种方法：令IA0解：第11，即10140。2则4123求解得到，1pp1当3时，特征矢量p1112111p3p13由Ap1p，得411111p21p211不得用于商业用途仅供个人参考即pp3p1，可令112111p4pp3p21211121p1p当时，特征矢量12p2222pp11由App，得p121241222p2222即ppp12，可令122212p4ppp2221222111124则T，T1212214第二种方法，即拉氏反变换法：第三种方法，即凯莱—哈密顿定理3一种方法可知，112由第2-5下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，如果满足，试求与之对应的A阵。1e1eeet3tt3te2t22e2t2eett241（3）t（4）tete2t2e2tetete3tee3tt210解：（3）因为0I，所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件0110（4）因为0I，所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件012-6求下列状态空间表达式的解：1初始状态x0，输入ut时单位阶跃函数。101解：A000utIt因为B，12-9有系统如图2.2所示，试求离散化的状态空间表达式。设采样周期分别为T=0.1s和1s，而u和u为分段常数。12图2.2系统结构图不得用于商业用途仅供个人参考解：将此图化成模拟结构图列出状态方程则离散时间状态空间表达式为由GTeAt和HTTeAtdtB得：010e10kuke1xk11e11xk当T=1时1ke1k1e0e0.100.1当T=0.1时xk1xkuk0.11e0.11ke0.90.1第三章习题3-1判断下列系统的状态能控性和能观测性。系统中a,b,c,d的取值对能控性和能观性是否有关，若有关，其取值条件如何？（1）系统如图3.16所示：解：由图可得：状态空间表达式为：x、x•、x•与u无关，•因而状态不能完全能控，为不能控系统。由于y只与x有关，因而系统为不完全2433由于能观的，为不能观系统。（3）系统如下式：解：如状态方程与输出方程所示，A为约旦标准形。要使系统能控，控制矩阵b中相对于约旦块的最后一行a0,b0。C中对元素不能为0，故有要使系统能观，则应于约旦块的第一列元素不全为0，故有c0,d0。3-2时不变系统试用两种方法判别其能控性和能观性。解：方法一：方法二：将系统化为约旦标准形。111122T，T-1111-122T-1B中有全为零的行，系统不可控。CT中没有全为0的列，系统可观。完全能控和状态完全能观的待定常数和3-3确定使下列系统为状态ii不得用于商业用途仅供个人参考解：构造能控阵：，即1012要使系统完全能控，则112构造能观阵：12要使系统完全能观，则1，即10213-4设系统的传递函数是（1）当（2）当a取上述值时，求使系统的完全能控的状态空间表达式（3）当a取上述值时，求使系统的完全能观的状态空间表达式sau(s)(s1)(s3)(s6)a取何值时，系统将是不完全能控或不完全能观的？。。解：(1)方法1：W(s)y(s)系统能控且能观的条件为W(s)没有零极点对消。因此当a=1,或a=3或a=6时，系统为不能控或不能观。方法2：系统能控且能观的条件为矩阵C不存在全为0的列。因此当a=1,或a=3或a=6时，系统为不能控或不能观。（2）当a=1,a=3或a=6时，系统可化为能控标准I型（3）根据对偶原理，当a=1,a=2或a=4时，系统的能观标准II型为y6y11y.6y6u..3-6已知系统的微分方程为：试写出其对偶系统的状态空间表达式及其传递函数。解：a6，a11，a6，a3，b601230系统的状态空间表达式为传递函数为其对偶系统的状态空间表达式为：6传递函数为W(s)s36s211s63-9已知系统的传递函数为试求其能控标准型和能观标准型。解：W(s)s26s812s5s24s3s24s3系统的能控标准I型为能观标准II型为3-10给定下列状态空间方程，试判别其是否变换为能控和能观标准型。不得用于商业用途仅供个人参考0100A230，b1，C001解：11233-11试将下列系统按能控性进行分解12101（1）A010,b0,C111430解：014MbAbAb000rankM=2<3，系统不是完全能控的。2139010，其中R是任意的，只要满足R满秩。构造奇异变换阵R：cRb0，RAb0，R11233c130010301R1001即R001得c010130c3-12试将下列系统按能观性进行结构分解1210bCA（1）010,0,11114301210C111b0,A解：由已知得010,1430111C则有NCA232474CA2rankN=2<3，该系统不能观111构造非奇异变换矩阵R1，有R123200001311210001则R0不得用于商业用途

仅供个人参考3-13试将下列系统按能控性和能观性进行结构分解10012（1）A223,b2,C112201111AAbAb22122620解：由已知得M2rankM=3，则系统能控rankN=3，则系统能观所以此系统为能控并且能观系统17374411113取21226，则Tc2T1c22220153440021，ccTc271323则105，ABTb01c201403-14求下列传递函数阵的最小实现。11s1111（1）ws1110解：1，B，A011100c101100B，C，D000111ccc系统能控不能观1111，则R010取R10101011ˆ，BˆR1B01所以ARAR100100c1000CˆCR，Dˆ1000c0不得用于商业用途仅供个人参考100ˆD00ˆˆˆC所以最小实现为mA1，B11，，1mmmˆ11s1111ˆ验证：ˆCsIA1Bwsmmm3-15设和是两个能控且能观的系统12（1）试分析由和所组成的串联系统的能控性和能观性，并写出其传递函数；12（2）试分析由和所组成的并联系统的能控性和能观性，并写出其传递函数。12解：（1）和串联12当的输出y是的输入u时，x2x2xx122331210100，y001xx340x1u2210则rankM=2<3，所以系统不完全能控。当得输出y是的输入u时22110110，y210xx341x0u2001001因为016MbAbA2b124rankM=3则系统能控210cN因为cA321cA6542rankN=2<3则系统不能观（2）和并联120100，y211xx340x1u2001不得用于商业用途仅供个人参考因为rankM=3，所以系统完全能控因为rankN=3，所以系统完全能观现代控制理论第四章习题答案4-1判断下列二次型函数的符号性质：（1）Q(x)x23x211x22xxxx2xx123122313（2）v(x)x24x2x22xx6xx2xx123122313解：（1）由已知得11110，111320，1310712412311112因此Q(x)是负定的（2）由已知得11110，114130，143160123131因此Q(x)不是正定的4-2已知二阶系统的状态方程：试确定系统在平衡状态处大范围渐进稳定的条件。解：方法（1）：要使系统在平衡状态处大范围渐进稳定，则要求满足A的特征值均具有负实部。即：有解，且解具有负实部。aa0且aaaa21即：1122112212方法（2）：系统的原点平衡状态x0为大范围渐近稳定，等价于APPAQ。TePP12取QI，令P，则带入ATPPAQ，得到11PP12222a2a01121aaa4(aa)(aaaa21112211221221)0，则此方程组有唯一解。即若a12012不得用于商业用途11222a2a22仅供个人参考其中detAAaaaa11221221要求正定，则要求P因此aa0，且detA011224-3试用lyapunov第二法确定下列系统原点的稳定性。11（1）xx2311（2）xx11解：（1）系统唯一的平衡状态是x0。选取Lyapunov函数为V(x)x2x20，则12V•(x)是负定的。x，有V(x)。即系统（2）系统平衡状态是x0。选取Lyapunov函数为V(x)x2x20，则V•(x)是负定的。x，有V(x)。即系统4-6设非线性系统e在原点处大范围渐近稳定。唯一的e12在原点处大范围渐近稳定。状态方程为：试确定平衡状态的稳定性。解：若采用克拉索夫斯基法，则依题意有：取PI很明显，Q(x)的符号无法确定，故改用李雅普诺夫第二法。选取Lyapunov函数为V(x)x2x20，则12V•(x)是负定的。x，有V(x)。即系统在原点处大范围渐近稳定。4-9设非线性方程：试用克拉索夫斯基法确定系统原点的稳定性。解：（1）采用克拉索夫斯基法，依题意有：x，有V(x)。取PI则Q(x)，根据希尔维斯特判据，有：013x2113x22103x210，（3x21）20，的符号无法判断。Q(x)1113x22121不得用于商业用途仅供个人参考343x（2）李雅普诺夫方法：选取Lyapunov函数为()0，则x22Vx412V•(x)是负定的。x，有V(x)。即系统在原点处大范围渐近稳定。4-12试用变量梯度法构造下列系统的李雅普诺夫函数解：假设V(x)的梯度为：计算V(x)的导数为：选择参数，试选aa1,aa0，于是得：11221221Vxxx2V，显然满足旋度方程V12,即0，表明上述选择的参数是允许的。则有：11xxxxx22121如果12xx0或xx11xx•V(x)是负定的，因此，是的约束条件。xx2121和2，则21212计算得到V(x)为：V(x)是正定的，因此在12xx0即xx1xe0范围内，是渐进稳定的。21212现代控制理论第五章习题答案5-1已知系统状态方程为：试设计一状态反馈阵使闭环系统极点配置为-1，-2，-3。解：依题意有：011MbAbA2b012112rankM3，系统能控。系统(A,b,C)的特征多项式为：00100则将系统写能成控标准I型，则有x001x0u。1231x(AbK)xbu，其中K为13矩阵，设Kkkk，则系统012引入状态反馈后，系统的状态方程为：(A,bK,C)的特征多项式为：K根据给定的极点值，得到期望特征多项式为：比较f()与f*()各对应项系数，可解得：k5k9k9，则有：K-5-9-9。012不得用于商业用途仅供个人参考5-3有系统：（1）画出模拟结构图。（2）若动态性能不满足要求，可否任意配置极点？（3）若指定极点为-3，-3，求状态反馈阵。解（1）系统模拟结构图如下：（2）系统采用状态反馈任意配置极点的充要条件是系统(A,b,C)完全能控。0对于系统(A,b,C)有：001MbAbrankM2，系统能控，故若系统动态性能不满足要求，可任意配置极点。11（3）系统(A,b,C)的特征多项式为：0010写成能控标准I型，则有x23x(AbK)xbu，设Kkk，则系统(A,bK,C)的特征多xu。1则将系统引入状态反馈后，系统的状态方程为：01K项式为：根据给定的极点值，得到期望特征多项式为：73。7k3，K数，可解得：比较f()与f*()各对应项系k015-4设系统传递函数为试问能否利用状态反馈将传递函数变成若有可能，试求出状态反馈K，并画出系统结构图。(s1)(s2)s2s2Ws解：()(s1)(s2)(s3)s32s25s6由于传递函数无零极点对消，因此系统为能控且能观。能控标准I型为令Kkkk为