《高等代数1》教学大纲

《高等代数1》教学大纲课程编号：10101002英文名称：AdvancedAlgebra(1)学分：5学时：总学时80学时，其中理论80学时先修课程：无课程类别：专业基础课程（必修）授课对象：数学与应用数学(师范)专业学生教学单位：数理信息学院修读学期：第1学期一、课程描述和预期目标本课程是数学与应用数学本科专业最重要的基础课程之一，是数学学科所有专业方向的基础，是数学各专业报考研究生的必考课程之一，也是理论性、应用型很强的数学修养核心课程。本课程总学时共80学时，其中理论课80学时，在教与学的教学活动中，本课程始终坚持“以学生发展为中心，学生学习结果（课程教学目标）为导向，并持续改进(教学反思)学生的学习效果”的教学理念。本课程包含两部分基本理论：多项式代数(包括整除性理论、最大公因式、重因式、有理系数多项式等)和线性代数(包括行列式、矩阵、二次型等)。本课程教学活动结束，学生将达到以下学习效果：初步具备代数学基础和代数思想素质；基本掌握代数中的论证方法，获得较熟练的演算技能和初步应用的技巧；具备辩证思维、逻辑思维、批判性思维和综合解决问题能力。本课程教学活动结束，预期学生将在专业知识学习、能力训练提升、综合素养发展三方面达到以下学习结果：【学生学习结果1】:通过课堂讲授、课堂讨论、课后作业、课堂报告、查阅文献资料等教学活动，学生学会一元多项式及线性代数(行列式、线性方程组、矩阵、二次型)的基础知识和理论，初步熟悉和掌握必要的代数学基础(基本概念，系统的代数理论和抽象的严格的代数方法)，提高抽象思维、逻辑推理、及运算能力，为进一步学习数学专业课打好坚实的基础。【学生学习结果2】：通过“以学生为中心”活泼互动的课堂教学，学生的学习兴趣被刺激；通过学科探索讨论课，学生的学习主动性被激发；通过写专题读书报告，学生的查阅资料和归纳总结的能力被训练；通过难题攻关，学生不仅享受理解和应用数学思想和方法的乐趣，而且学会进行独立思维和解决实际问题，并能够积极创新。【学生学习结果3】：通过开展数学阅读，加强自学指导等教学活动，学生尽早了解代数的一些历史背景(数学家的人文史料、励志故事以及数学发展史中体现出来的数学精神等方面)，并更好地理解离散现象的基本研究方法，具备从不同对象中抽取共同性质并进行演绎推理的能力，能够利用代数法研究几何对象与几何变换，会用高等代数的观点去分析和观察中学代数的问题能力，从而提升个人适应中学数学教育的学科综合素养。本课程对应的专业毕业要求的内涵分解和支撑关系本课程对应的专业毕业要求内涵和指标，以及所支撑毕业要求指标的程度关系如表2-1和表2-2所示。表2-1对应本课程的专业毕业要求内涵分解毕业要求内涵毕业要求指标学会教学（学科素养方面）毕业要求指标3-1:熟悉数学学科发展的基本情况，把握中学数学与高等数学的内在联系，熟悉基础教育发展动态，理解教育学原理，遵循数学教育规律，能培养学生的数学素养和数学审美观。毕业要求指标3-3:掌握代数、几何学的基本知识和思想方法，具有较强的抽象思维、空间想象能力。毕业要求指标3-5:具备一定的物理、计算机及相关人文社科知识，具有运用数学建模和统计调查等相关专业知识和方法来解决实际问题的能力。学会育人（综合育人方面）毕业要求指标6-2:通过课程与实践，掌握数学学科育人中的原理和策略，能发掘数学学科中蕴含的育人方法，有机结合数学教学进行育人活动，将数学思维方法、数学文化融入到教学实践中，提高学生的数学素养。表2-2课程与毕业要求指标对应的支撑程度矩阵关系课程名称毕业要求指标3-1毕业要求指标3-3毕业要求指标3-5毕业要求指标6-2高等代数1M（中支撑）H（高支撑）M（中支撑）M（中支撑）三、教学内容、基本要求与学时分配本课程理论教学共80个学时，包含5章。表3-1教学内容、基本要求与学时分配教学章节基本要求支撑的学习结果建议学时第一章多项式§1数域§2一元多项式§3整除的概念§4最大公因式§5因式分解定理§6重因式§7多项式函数§8复系数与实系数多项式的因式分解§9有理系数多项式了解数域的概念；理解一元多项式的基本概念和性质，掌握多项式的运算及运算性质；正确理解整除的定义，熟练掌握带余除法及整除的性质，能用辗转相除法求两个多项式的最大公因式；掌握不可约多项式的性质，了解唯一分解定理；掌握多项式有重因式的条件；理解代数基本定理。熟练掌握复（实）系数多项式分解定理及标准分解；深刻理解有理系数多项式的分解与整系数多项式分解的关系；掌握本原多项式的定义、高斯引理、整系数多项式的有理根的性质、Eisenstein判别法。学习结果1学习结果318第二章行列式§1引言§2排列§3n级行列式§4n级行列式的性质§5行列式的计算§6行列式按一行（列）展开§7克莱姆（Cramer）法则深刻理解和掌握n级行列式的定义，能用定义计算一些特殊行列式；正确理解行列式的若干性质，并运用性质进行行列式计算；正确理解元素的余子式、代数余子式等概念。熟练掌握行列式按一行（列）展开的公式。掌握“化三角形法”，“递推降阶法”，“数学归纳法”等计算行列式的技巧；理解并掌握求解线性方程组的克莱姆法则。学习结果1学习结果2学习结果316第三章线性方程组§1消元法§2n维向量空间§3线性相关性§4矩阵的秩§5线性方程组有解判别定理§6线性方程组解的结构正确理解一般线性方程组，方程组的解，增广矩阵，线性方程组的初等变换等概念及性质；掌握阶梯形方程组的特征及作用。会求解线性方程组的一般解；正确理解线性组合、线性相关、线性无关的定义及性质。掌握两个向量组等价的定义及等价性质定理。深刻理解向量组的极大无关组、秩的定义，会求解向量组的一个极大无关组；了解矩阵行秩与列秩的相等，秩与行列式的关系，掌握求矩阵的秩的方法，掌握齐次线性方程组有解的判定条件；正确理解线性方程组的结构定理。会求一般线性方程组有解时的全部解。学习结果1学习结果2学习结果316第四章矩阵§1矩阵概念的一些背景§2矩阵的运算§3矩阵乘积的行列式与秩§4矩阵的逆§5矩阵的分块§6初等矩阵§7分块乘法的初等变换及应用举例了解矩阵概念产生的背景；掌握矩阵的加法、数乘、乘法、转置等运算规律及其计算；掌握矩阵乘积的行列式定理，矩阵乘积的秩与它的因子的秩的关系；正确理解和掌握可逆矩阵、逆矩阵、伴随矩阵等概念，掌握一个n阶方阵可逆的充要条件和用公式法求一个矩阵的逆矩阵；理解分块矩阵的意义，掌握分块矩阵的加法、乘法的运算及性质；正确理解和掌握初等矩阵、初等变换等概念及其它们之间的关系，熟练掌握一个矩阵的等价标准形和矩阵可逆的充要条件；会用初等变换的方法求一个方阵的逆矩阵；理解分块乘法的初等变换和广义初等矩阵的关系，会求分块矩阵的逆。学习结果1学习结果2学习结果316第五章二次型§1二次型及其矩阵表示§2标准形§3唯一性§4正定二次型正确理解二次形和非退化线性替换的概念；掌握二次型的矩阵表示及二次型与对称矩阵的一一对应关系；掌握矩阵的合同概念及性质；理解二次型的标准形，掌握化二次型为标准形的方法（主要是配方法、初等变换法）；正确理解复数域和实数域上二次型的规范形的唯一性；掌握惯性定理；正确理解正定、半正定、负定二次型及正定、半正定矩阵等概念；熟练掌握正定二次型及半正定二次型的等价条件。学习结果1学习结果214总计80第页四、学生毕业目标的达成途径本课程采用课堂讲授、分组讨论、课外学习（课程小论文、课程报告等）的教学方法，以达到符合毕业要求指标点的教学目的。表4-1课程毕业要求和达成途径毕业要求指标目标达成途径毕业要求指标3-1教师活动：教学上，突出传授数学思想和数学方法，让学生尽早地更多地掌握数学的思想和方法。突出高等代数中等价分类的思想，分解结构的思想，同构对应的思想，揭示课程内部的本质的有机联系。同时，做好课后答疑讨论环节，注重师生沟通。学生活动：完成一定数量的课后习题作业，强化解题训练，巩固学科新知；积极主动参与线上的一些学习讨论，并经常与教师地沟通，反馈学习情况。毕业要求指标目标达成途径毕业要求指标3-3毕业要求指标3-5教师活动：精心进行教学设计，课件体现学科前沿性，如行列式、矩阵计算、线性方程组等知识的现代应用；抛出一些探索性问题，比如行列式在中学数学、经典组合数学中的一些应用举例，矩阵变换在图像加密中的应用等等。学生活动：写开放课题小论文，条件允许下，也可参与数学实验课。学生从发现问题、分析问题、解决问题过程中，加深对学科知识的理解与吸收。从而，学生的科学思维、创新意识和创新能力得到综合训练。毕业要求指标6-2教师活动：鼓励学生开展课外阅读，引导学生学习学科文化知识有计划、有目的、有组织地学生探索高等代数的数学知识、数学思想和数学方法与中学阶段所学的几何、代数知识之间的联系。学生活动：开展课外阅读、写专题报告，自主学习对一些数学概念、数学思想追根溯源，学习一些数学历史和数学人物，有趣的数学励志故事，了解一些以数学家命名的经典定理的产生过程，主动探索中学数学知识和大学数学知识的共性与差异。注:毕业要求指标下内涵和具体内容参考表2-1学业评价和课程考核考核方式：本课程采用过程性考核和结果性考核相结合的方式。表5-1：学业考核评价标准考核依据建议分值考核/评价细则对应学生学习结果平时成绩50%过程考核10%过程考核包括出勤情况和课堂表现、教学上互动和学习反馈、课堂讨论参与情况等等。修课学生基础分80分，若发生迟到、无故旷课、学习态度差(课堂玩手机、多言好睡等)现象一次，则扣1-5分，扣完为止；积极参与回答问题或有效提问者，酌情加分2-5分，上限20分。学期末该分值×10%核定分值计入总评成绩。学生学习结果1学生学习结果3作业考核20%平时作业（包括课后作业、开放课题小论文、课堂报告等等形式）批改以百分制登记，教师批阅给分，不交作业记为零分，最后作业成绩按平均分值计算。学期末平均分值×20%核定分值计入总评成绩。学生学习结果1学生学习结果2中期考核20%修课学生参加期中考试,教师批阅试卷，成绩以百分制登记，学期末该分值×20%核定分值计入总评成绩。学生学习结果1学生学习结果2学生学习结果3期末考核50%修课学生参加期末考试，教师批阅试卷，成绩以百分制登记，学期末以该分值×50%核定分值计入总评成绩。学生学习结果1学生学习结果2学生学习结果3注：1.作业包括：课后习题作业（小作业）、开放课题小论文(大作业)、课堂报告（大作业）等形式；2．过程考核包括：出勤率和课堂表现，教学上互动和学习反馈，线上讨论参与情况等；3.学生综合总评成绩=作业考核(100分制)×10%+过程考核(100分制)×20%+中期考核(100分制)×20%+期末成绩(100分制)×50%。表5-2：作业考核评价方法评分标准作业形式评分细则课后习题作业（小作业）1.字迹工整，态度认真正确率90%以上；2.正确率在60%-90%之间；3.正确率低于60%的，字迹工整且体现清晰解题思想的；4.其他情况。参考以上细则，教师对作业酌情记分（升档间隔分5分）或确定等级A（90分）,B（80分）,C（70分）,D（60分及以下）,每个等级可用上标“+”升档5分，即A+（95分）,B+（85分），A++（100分）。开放课题小论文（大作业）1.从选题(20分)、问题陈述(20分)、内容与信息(20分)、创新新或提出新见解(20分)、表达与结构(20分)共5个方面进行评分，单项不超过20分，满分100分（等级A++）；2.只要语言表达清晰流畅，论述完整，逻辑性强，且论题的信息与数据正确，没有不确定性、猜测性内容，记80分（等级B）以上，参考以上细则，教师对作业酌情记分（或等级）。其他可能形式：比如读书报告、课堂报告或小组讨论探究性问题教师给出报告或讨论主题，学生自由分组，通过查阅文献资料准备课堂报告。基本要求：每个报告时间为5-8分钟，讨论5分钟；视小组学习态度、PPT完成质量(清楚、美观、科学、创新，趣味性)，完成效率等进行记分，小组报告人记分酌情增加。表5-3：过程考核评分标准考核类型分值比重考核子课题考核内容说明过程考核10%线上学习参与情况可从理论知识、习题解答、作业递交、问题反馈、完成结果以及数学素养等几个方面进行评分课堂研讨拓展学习课堂专题研讨参与、课外拓展学习情况平时表现平时出勤、学习态度、回答问题等本课程学生学习结果评价依据和评价方法见表5-4所示。表5-4学生学习结果评价因子及达成度评价值的符号对照表符号符号解释学生学习结果的达成度评价值,这里为学生学习结果指标分类情况。设支撑学生学习结果的考核方式共有种，表示支持学生学习结果的第种考核方式学生平均得分值，即支撑学生学习结果的考核方式共有种，表示支持学生学习结果的第种考核方式平均设定分数值，即。第种考核方式设定分值在综合总评成绩中的占比，具体参照表5-1。学生学习结果的达成度的期望值与课程性质、各环节考核的综合难易程度有关取值范围为0.7~1.0，由教师确定命题大纲时确定具体值，作为后续持续改进评价参考因子之一。对，学生学习结果的达成度评价值采用计算公式:。评价依据和评价方法说明：学生学习结果的达成标准：本课程学生学习结果达成值的期望值与课程的学习结果、各环节考核的综合难易程度有关，故本课程任课教师对学生学习结果的期望值设置为0.7⁓1.0，本课程各学习结果达成值的期望值设定为。学生学习结果指标达成情况的主要评判依据：（1）当学生学习结果达成评价值聚集1附近时，学生学习结果达成分布正常合理，达成情况比较理想；（2）参照《绍兴文理学院学士学位授予工作细则》（绍学院发〔2016〕126号），获得学士学位需要“综合学业平均学分绩点不小于2”，转换成百分制即对应课程的各学习结果考核平均成绩≥70分，满分对应为100分。因此，本课程的各学习结果达成值最小值设定为70/(0.8*100)=0.875，小于0.875认定为“未达到要求”；（3）当学生的某学习结果考核成绩≥90分（此学习结果设定分为100分），对应的学习结果达成值为90/(0.8*100)=1.125，一般意义下,该评价值为尖优学生的正常值或正态分布的异常值。这时，需要结合全体学生的达成值数据分布情况，并考虑课程考核方式之一（平时作业、测验、期中考核、期末考核等）是否存在不合理之处，是否需要进一步规范改进。因此，大于1.125认定为“超预期要求”。对于学习结果1：主要评价学生对于高等代数的基础理论(多项式理论、行列式和线性方程组理论、矩阵理论的核心思想与方法)有一个深刻了解，从而为进一步学习专业课打下良好的基础。因测验、期中、期末考核卷面成绩都比较容易反映学生对这些知识点的掌握程度，故期中、期末的试题命题支撑对学生学习结果1权重应相对大些。对于学习结果2：主要评价训练学生代数学的逻辑推理和思维方法，培养学生独立思维能力和解决实际问题能力。因作业答疑讨论课，使学生之间有更多的机会深入探讨和交流，