平行四边形的证明题

第第#页，-共24页平行四边形的【2】证实题一.解答题(共30小题)1.如图，已知四边形ABCD为平行四边形,AE丄BD于E,CF丄BD于F.求证：BE=DF;若M.N分离为边AD.BC上的点，且DM=BN,试断定四边形MENF的外形(不必解释来由).2.如图所示，AECF的对角线订交于点O,DB经由点0,分离与AE,CF交于B,D.求证：四边形ABCD是平行四边形.3.如图，在四边形ABCD中,AB=CD,BF=DE,AE丄BD,CF丄BD,垂足分离为E,F.

求证：AABE竺ACDF;若AC与BD交于点0,求证：AO=CO.4.已知：如图，在△ABC中,ZBAC=90；DE.DF是厶ABC的中位线，衔接EF.AD.求证：EF=AD.5.如图，已知D是厶ABC的边AB上一点,CE〃AB,DE交AC于点0,且OA=OC,猜想线段CD与线段AE的大小关系和地位关系,并加以证实.6.如图，已知，ABCD中,AE=CF,M.N分离是DE.BF的中点.求证：四边形MFNE是平行四边形.DD7.如图，平行四边形ABCD,E.F两点在对角线BD上，且BE=DF,衔接AE,EC,CF,FA.求证：四边形AECF求证：四边形AECF是平行四边形.8.在ABCD中,分离以AD.BC为边向内作等边厶ADE和等边△BCF,衔接BE.DF.求证：四边形BE.DF.求证：四边形BEDF是平行四边形.19.如图所示,DB〃AC，且DB=^AC,E是AC的中点，求证：BC=DE.10.已知：如图，在梯形ABCD中,AD〃BC,AD=24cm,BC=30cm,点P自点A向D以1cm/s的速度活动，到D点即停滞.点Q自点C向B以2cm/s的速度活动，到B点即停滞，直线PQ截梯形为两个四边形.问当P,Q同时动身,几秒后个中一11.如图：已知D.E.F分离是△ABC各边的中点,求证：AE与DF互相等分.12.已知：如图，在ABCD中,对角线AC交BD于点O,四边形AODE是平行四边形.求证：四边形ABOE.四边形DCOE都是平行四边形.

13.如图，已知四边形ABCD中，点E,F,GH分离是AB.CD.AC.BD的中点，并且点E.F.GH有在统一条直线上.求证：EF求证：EF和GH互相等分.14.如图：口ABCD中,MN〃AC,试解释MQ=NP..V/卫.V/卫D15.已知：如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC,BD订交于点O,EF经由点O并且分离和AB,CD订交于点E,F,点G,H分离为OA,OC的中点•求证：四边形EHFG是平行四边形.形EHFG是平行四边形.16.如图，已知在口ABCD中,E.F是对角线BD上的两点,BE=DF,点G.H分离在BA和DC的延伸线上，且AG=CH,衔接GE.EH.HF.FG.

求证：四边形GEHF是平行四边形；若点G.H分离在线段BA和DC上,其余前提不变，则(1)中的结论是否成立？(不用解释来由)立？(不用解释来由)17.如图，在△ABC中,D是AC的中点,E是线段BC延伸线一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延伸线交于点F,衔接AE.CF.求证：AF=CE;假如AC=EF,且ZACB=135°,试断定四边形AFCE是什么样的四边形，并证18.如图平行四边形ABCD中,ZABC=60°,点E.F分离在CD.BC的延伸线上,AE〃BD,EF丄BF,垂足为点F,DF=2求证：D是EC中点；求FC的长.

E19.如图，已知△ABC是等边三角形，点D.F分离在线段BC.AB上,ZEFB=60；DC=EF.(1)求证：四边形EFCD是平行四边形；⑵若BF=EF,求证：AE=AD.20.如图，四边形ABCD,E.F.GH分离是AB.BC.CD.DA的中点.请断定四边形EFGH的外形？并解释为什么；若使四边形EFGH为正方形，那么四边形ABCD的对角线应具有如何的性质？21.如图‘△ACD.AABE.ABCF均为直线BC同侧的等边三角形.当AB#C时,证实：四边形ADFE为平行四边形；当AB=AC时，按序衔接A.D.F.E四点所组成的图形有哪几类？直接写出组成图形的类型和响应的前提.22.如图，以△ABC的三边为边，在BC的同侧分离作三个等边三角形即△ABD.△BCE.AACF那么,四边形AFED是否为平行四边形？假如是，请证实之,假如不是,请解释来由.a

23.在△ABC中,AB=AC,点P为厶ABC地点平面内一点，过点P分离作PE〃AC交AB于点E,PF〃AB交BC于点D,交AC于点F.若点P在BC边上（如图1），此时PD=0,可得结论：PD+PE+PF=AB.请直策运用上述信息解决下列问题：当点P分离在△ABC内（如图2）‘△ABC外（如图3）时,上述结论是否成立?若成立，请赐与证实;若不成立,PD,PE,PF与AB之间又有如何的数目关系,请写出你的猜想，不须要证实CC24.如图1,P为Rt^ABC地点平面内随意率性一点（不在直线AC上）,ZACB=90；M为AB边中点.操作：以PA.PC为邻边作平行四边形PADC持续PM并延伸到点E,使ME=PM,衔接DE.探讨：（1）请猜想与线段DE有关的三个结论；请你运用图2,图3选择不同地位的点P按上述办法操作；阅历(2)之后，假如你以为你写的结论是准确的，请加以证实；假如你以为你写的结论是错误的,请用图2或图3加以解释；(留意：错误的结论，只要你用反例赐与解释也得分)若将"RtAABC”改为"随意率性△ABC”,其他前提不变，运用图4操作，并写出与线段DE有关的结论(直接写答案).25.在一次数学实践探讨活动中，小强用两条直线把平行四边形ABCD朋分成四个部分，使含有一组对顶角的两个图形全等；依据小强的朋分办法，你以为把平行四边形朋分成知足以上全等关系的直线有很多组；请在图中的三个平行四边形中画出知足小强朋分办法的直线；由上述试验操作进程，你发明所画的两条直线有什么纪律?26.如图，在直角梯形ABCD中,AB〃CD,ZBCD=RtZ,AB=AD=10cm,BC=8cm.点P从点A动身,以每秒3cm的速度沿折线ABCD偏向活动，点Q从点D动身,以每秒2cm的速度沿线段DC偏向向点C活动.已知动点P.Q同时发，当点Q活动到点C时,P.Q活动停滞,设活动时光为t.求CD的长；当四边形PBQD为平行四边形时，求四边形PBQD的周长；在点P.点Q的活动进程中，是否消失某一时刻，使得△BPQ的面积为20cm2?若消失，要求出所有知足前提的t的值;若不消失,请解释来由.BCBC27.已知平行四边形的三个极点的坐标分离为0(0,0).A(2,0).B(1,1)，则第四个极点C的坐标是若干?28.已知平行四边形ABCD的周长为36cm,过D作AB,BC边上的高DE.DF,且呃二山帀cm,DF二5衍込求平行四边形ABCD的面积.29.如图，在平面直角坐标系中，已知0为原点，四边形ABCD为平行四边形,A.B.C的坐标分离是A(-3,叼),B(-2,3'：迈),C(2,3■一迈)，点D在第一象限.求D点的坐标；将平行四边形ABCD先向右平移立个单位长度，再向下平移I已个单位长度所得的四边形A1B1C1D1四个极点的坐标是若干？求平行四边形ABCD与四边形A1B1C1D1重叠部分的面积？/\丁Sc//030.如图所示.ABCD中,AF等分ZBAD交BC于F,DE丄AF交CB于E.求证：BE=CF.Ap1.解答：(1)•.•四边形ABCD是平行四边形,・•・AB=CD,AB〃CD,AZABD=ZCDB,VAE丄BD于E,CF丄BD于F,.•・ZAEB=ZCFD=9O°・・・AABE9ACDF(A.A.S.),・・BE=DF;(2)四边形MENF是平行四边形.证实：有(1)可知：BE=DF,V四边形ABCD为平行四边行，・•・AD〃BC,・ZMDB=MBD,•DM=BN,.•.△DNF9ABNE,?.NE=MF,ZMFD=ZNEB,?.ZMFE=ZNEF,・•・MF〃NE,・•・四边形MENF是平行四边形.2•解答：证实：••四边形AECF是平行四边形.•・OE=OF,OA=OC,AE〃CF・・ZDFO=ZBEO,ZFDO=ZEBO,

.•.△FDO^AEBO,・•・OD=OB,JOA=OC,化四边形ABCD是平行四边形.3.解答：证实：(1)JBF=DE,.BF-EF=DE-EF,即BE=DE,•・•AE丄BD,CF丄BD,?.ZAEB=ZCFD=90°,•.•AB=CD,・・・RtAABE9RtACDF(HL);(2)TAABE9ACDF,・・・ZABE=ZCDF,・・・AB〃CD,•・•AB=CD,・四边形ABCD是平行四边形AO=CO.盘.D4.解答：证实：TDEDF是厶ABC的中位线,・DE〃AB,DF〃AC,・•・四边形AEDF是平行四边形，又•.•ZBAC=90°,・•・平行四边形AEDF是矩形,・EF=AD.5•解答：解：猜想线段CD与线段AE的大小关系和地位关系是：平行且相等.证实：•.•CE〃AB,・・・ZDAO=ZECO,•・•OA=OC,・•・△ADO^AECO,?.AD=CE,化四边形ADCE是平行四边形,?.CD^AE.6.解答：证实：由平行四边形可知,AD=CB,ZDAE=ZFCB,又•・•AE=CF,.・・ADAE9ABCF,・・・DE=BF,ZAED=ZCFB又•・•M.N分离是DE.BF的中点,・•・ME=NF又由AB〃DC,得ZAED=ZEDC・・・ZEDC=ZBFC,・・・ME〃NF・・.四边形MFNE为平行四边形.7•解答：证实：衔接AC交BD于点O,•・•四边形ABCD为平行四边形,・OA=OC,OB=OD.•・•BE=DF・・OE=OF.・四边形AECF为平行四边形.

8•解答：证实：•・•四边形ABCD是平行四边形，・•・CD=AB,AD=CB,ZDAB=ZBCD.又•△ADE和△CBF都是等边三角形,.•・DE=BF,AE=CF.ZDAE=ZBCF=60°.•ZDCF=ZBCD-ZBCF,ZBAE=ZDAB-ZDAE,••・ZDCF=ZBAE.・・・ADCF9ABAE(SAS).・・・DF=BE.・・・四边形BEDF是平行四边形.解答：证实：TE是AC的中点,・EC气AC,又•DB兮AC,・•・DB=EC.又•DB〃EC,・•・四边形DBCE是平行四边形.化BC=DE.解答：解：设P,Q同时动身t秒后四边形PDCQ或四边形APQB是平行四边形，依据已知得到AP=t,PD=24-t,CQ=2t,BQ=30-2t.若四边形PDCQ是平行四边形，则PD=CQ,・•・24-t=2t?.t=8?.8秒后四边形PDCQ是平行四边形；若四边形APQB是平行四边形，则AP=BQ,・t=30-2tAt=10A10秒后四边形APQB是平行四边形解答：证实：TDEF分离是△ABC各边的中点,依据中位线定理知：DE〃AC,DE=AF,EF〃AB,EF=AD,・•・四边形ADEF为平行四边形.故AE与DF互相等分.解答：证实：•ABCD中,对角线AC交BD于点O,・OB=OD,又••四边形AODE是平行四边形,・AE〃OD且AE=OD,・AE〃OB且AE=OB,・•・四边形ABOE是平行四边形，同理可证,四边形DCOE也是平行四边形.13.解答：证实：衔接EG.GF.FH.HE,点E.F.GH分离是AB.CD.AC.BD的中点.在厶ABC中,EG冷BC;在厶DBC中,HF=^BC,••・EG=HF.同理EH=GF.・•・四边形EGFH为平行四边形EF与GH互相等分.解答：证实：•・•四边形ABCD是平行四边形,・AM〃QC,AP〃NC.又•・•MN〃AC,・•・四边形AMQC为平行四边形，四边形APNC为平行四边形.・•・AC=MQAC=NP.・MQ=NP.解答：证实：如答图所示，•点O为平行四边形ABCD对角线AC,BD的交点,.•.OA=OC,OB=OD.G,H分离为OA,OC的中点,・•・0G令OA,OH=goC,AOG=OH.又VAB#CD,AZ1=Z2.在AOEB和△OFD中，Z1=Z2,OB=OD,Z3=Z4,.•.△OEB9AOFD,・•・OE=OF.・四边形EHFG为平行四边形.16、解答：（1）证实：••四边形ABCD是平行四边形,17、・・・AB=CD,AB〃CD,・・・ZGBE=ZHDF.又•.•AG=CH,・・・BG=DH.又•.•BE=DF,・・・AGBE9AHDF.・・・GE=HF,ZGEB=ZHFD,・・・ZGEF=ZHFE,.•・GE〃HF,・・・四边形GEHF是平行四边形.(2)解：仍成立.(证法同上)17.解答：(1)证实：•.•AF〃EC,・・・ZDFA=ZDEC,ZDAF=ZDCE,VD是AC的中点,・・.DA=DC,・・・ADAF9ADCE,・・・AF=CE;(2)解：四边形AFCE是正方形.来由如下：•AF〃EC,AF=CE,・四边形AFCE是平行四边形，又•AC=EF・・平行四边形AFCE是矩形,.・・ZFCE=ZCFA=90°,而ZACB=135°,・ZFCA=135°-90°=45°,AZFAC=45°,AFC=FA,・•・矩形AFCE是正方形.18.解答：（1）证实：在平行四边形ABCD中,AB〃CD,且AB=CD,又•AE〃BD,・•・四边形ABDE是平行四边形,?.AB=DE,?.CD=DE,即D是EC的中点；（2）解：衔接EF,VEF丄BF—EFC是直角三角形，又•D是EC的中点,・•・DF=CD=DE=2,在平行四边形ABCD中,AB〃CD,•.•ZABC=6O°,・・・ZECF=ZABC=6O°,・・・ACDF是等边三角形,・FC=DF=2.19.解答：证实：（"•△ABC是等边三角形,・•・/ABC=60°,•.•ZEFB=60°,・・・ZABC=ZEFB,・・・EF〃DC（内错角相等，两直线平行），•.•DC=EF,・・・四边形EFCD是平行四边形；(2)衔接BE•・•BF=EF,ZEFB=60°,.•.△EFB是等边三角形,Z.EB=EF,ZEBF=60°•.•DC=EF,.・.EB=DC,•.•△ABC是等边三角形,・・・ZACB=60°,AB=AC,・・・ZEBF=ZACB,・•・△AEB^△ADC,・•・AE=AD.20.解答：解：(1)如图,四边形EFGH是平行四边形.衔接AC,•/E.F分离是AB.BC的中点,・•・EF〃AC,EF誌AC同理HG〃AC,AC•:EF〃HG,EF=HG・•・EFGH是平行四边形;(2)四边形ABCD的对角线垂直且相等.••假若四边形EFGH为正方形,.••它的每一组邻边互相垂直且相等，・•・依据中位线定理得到四边形ABCD的对角线应当互相垂直且相等.21、解答：(1)证实：•••△ABE.ABCF为等边三角形,・•・AB=BE=AE,BC=CF=FB,ZABE=ZCBF=60°.AZCBA=ZFBE..•.△ABC9AEBF.・・・EF=AC.又•△ADC为等边三角形,・•・CD=AD=AC.・EF=AD.同理可得AE=DF.・四边形AEFD是平行四边形.（2）解：组成的图形有两类，一类是菱形，一类是线段.当图形为菱形时,ZBACh60°（或A与F不重合.AABC不为正三角形）当图形为线段时,ZBAC=60。（或A与F重合.AABC为正三角形）.解答：解：四边形AFED是平行四边形.证实如下：在ABED与厶BCA中,BE=BC,BD=BA（均为统一等边三角形的边）ZDBE=ZABC=60°-ZEBA.•.△BED9ABCA（SAS）・：DE=AC又•.•AC=AF.・.DE=AF在厶cba与acef中,cb=ce,ca=cfZACB=ZFCE=60°+Zace.•.△CBA^ACEF（SAS）ABA=EF又vba=da,ada=ef故四边形afed为平行四边形（两组对边分离相等的四边形是平行四边形）.解答：解：图2结论：PD+PE+PF=AB.证实：过点P作MN〃BC分离交AB,AC于M,N两点，由题意得PE+PF=AM.•・•四边形BDPM是平行四边形,・・・MB=PD.・・・PD+PE+PF=MB+AM=AB,即pd+pe+pf=ab.图3结论：PE+PF-PD=AB.24.解答：解：（1）DE〃BC,DE=BC,DE丄AC.

(2)如图4,如图5.(3)办法一：(2)如图4,如图5.(3)办法一：DA如图6,衔接BE,•・•PM=ME,AM=MB,ZPMA=ZEMB,AAPMA^AEMB.•・•PA=BE,ZMPA=ZMEB,PA〃BE.•・•平行四边形PADC,・・・PA〃DC,PA=DC.・・・BE〃DC,BE=DC,・•・四边形DEBC是平行四边形•••・DE〃BC,DE=BC.•?ZACB=90°・•・BC丄AC,/.DE丄AC.C办法二:如图7,衔接BE,PB,AE,•・•PM=ME,AM=MB,・•・四边形PAEB是平行四边形.:卫AllBE,PA=BE,余下部分同办法一：

办法三：如图&衔接PD,交AC于N,衔接MN,•・•平行四边形PADC,・：AN=NC,PN=ND.•・•AM=BM,AN=NC,MN〃BC,MN誌BC.又•・•PN=ND,PM=ME,・•・MN〃DE,MN^DE.ADE〃BC,DE=BC.•.•ZACB=90°・・・BC丄AC.・DE丄AC.C(4)如图9,DE〃BC,DE=BC.25.解答：解：(1)很多；作图的时刻要起首找到对角线的交点,只要过对角线的交点，任画一条直线即可.如图有：AE=BE=DF=CF,AM=CN.这两条直线过平行四边形的对称中间(或对角线的交点).

CBWCBWC26.解答：解：(1)过点A作AM丄CD于M,依据勾股定理,AD=10,AM=BC=8,・・・DM=.；：肓匚孕=6,・・・CD=16;(2)当四边形PBQD为平行四边形时，点P在AB上，点Q在DC上,如图，由题知：BP=10-3t,DQ=2t・.10-3t=2t，解得t=2此时,BP=DQ=4,CQ=12・・・BQ=-,