人教版八年级上册几何压轴题专项训练解析版

人教版八年级上册几何压轴题专项训练1．已知，如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q．（1）求证：BE＝AD；（2）求∠BPQ的度数；（3）若PQ＝3，PE＝1，求AD的长．2．如图，已知在△ABC中，∠BAC为直角，AB＝AC，D为AC上一点，CE⊥BD于E，交BA的延长线于F．（1）求证：△ABD≌△ACF；（2）若BD平分∠ABC，求证：CE＝BD；（3）若D为AC上一动点，∠AED如何变化，若变化，求它的变化范围；若不变，直接写出它的度数．3．如图1，△ABE是等腰三角形，AB＝AE，∠BAE＝45°，过点B作BC⊥AE于点C，在BC上截取CD＝CE，连接AD、DE，并延长AD交BE于点P；（1）求证：AD＝BE；（2）试说明AD⊥BE；（3）如图2，将△CDE绕着点C旋转一定的角度，那么AD与BE的位置关系是否发生变化，说明理由．4．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝10厘米，∠ABC＝∠ACB，BC＝8厘米，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动，设点P运动的时间为t．（1）用含有t的代数式表示线段PC的长度；（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；（3）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？5．以点A为顶点作等腰Rt△ABC，等腰Rt△ADE，其中∠BAC＝∠DAE＝90°，如图1所示放置，使得一直角边重合，连接BD、CE．（1）试判断BD、CE的数量关系，并说明理由；（2）延长BD交CE于点F，试求∠BFC的度数；（3）把两个等腰直角三角形按如图2放置，（1）、（2）中的结论是否仍成立？请说明理由．6．如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上一点（不与点B，C重合），以AD为边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．设∠BAC＝α，∠BCE＝β．（1）求证：△CAE≌△BAD；（2）探究：当点D在BC边上移动时，α、β之间有怎样的数量关系？请说明理由；（3）如图2，若∠BAC＝90°，CE与BA的延长线交于点F．求证：EF＝DC．7．如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．（1）求证：△ABC≌△ADE；（2）求∠FAE的度数；（3）求证：CD＝2BF+DE．8．如图，在平面直角坐标系中，OA＝OB，AC＝CD，已知两点A（4，0），C（0，7），点D在第一象限内，∠DCA＝90°，点B在线段OC上，AB的延长线与DC的延长线交于点M，AC与BD交于点N．（1）点B的坐标为：；（2）求点D的坐标；（3）求证：CM＝CN．9．已知：如图1所示，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线MN经过点A，BD⊥MN于点D，CE⊥MN于点E．（1）求证：△BAD≌△ACE；（2）试判断线段DE，BD，CE之间的数量关系，并说明理由；（3）当直线MN运动到如图2所示位置时，其余条件不变，判断线段DE，BD，CE之间的数量关系．10．如图，已知△ABC和△CDE均为等边三角形，且点B、C、D在同一条直线上，连接AD、BE，交CE和AC分别于G、H点，连接GH．（1）请说出AD＝BE的理由；（2）试说出△BCH≌△ACG的理由；（3）试猜想：△CGH是什么特殊的三角形，并加以说明．11．（1）如图1，△ABC和△DCE都是等边三角形，且B，C，D三点在一条直线上，连接AD，BE相交于点P，求证：BE＝AD．（2）如图2，在△BCD中，若∠BCD＜120°，分别以BC，CD和BD为边在△BCD外部作等边△ABC，等边△CDE，等边△BDF，连接AD、BE、CF恰交于点P．①求证：AD＝BE＝CF；②如图2，在（2）的条件下，试猜想PB，PC，PD与BE存在怎样的数量关系，并说明理由．12．已知：在等边△ABC中，点D、E、F分别为边AB、BC、AC的中点，点G为直线BC上一动点，当点G在CB延长线上时，有结论“在直线EF上存在一点H，使得△DGH是等边三角形”成立（如图①），且当点G与点B、E、C重合时，该结论也一定成立．问题：当点G在直线BC的其它位置时，该结论是否仍然成立？请你在下面的备用图②③④中，画出相应图形并证明相关结论．如图，在△ABC中，AB＝BC＝AC＝20cm．动点P，Q分别从A，B两点同时出发，沿三角形的边匀速运动．已知点P，点Q的速度都是2cm/s，当点P第一次到达B点时，P，Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（s）．（1）∠A＝度；（2）当0＜t＜10，且△APQ为直角三角形时，求t的值；（3）当△APQ为等边三角形时，直接写出t的值．14．如图，在三角形ABC中，AB＝8，BC＝16，AC＝12．点P从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿A→＞B→C→A的方向运动，点Q从点B沿B→C→A的方向与点P同时出发；当点P第一次回到A点时，点P，Q同时停止运动；用t（秒）表示运动时间．（1）当t＝秒时，P是AB的中点．（2）若点Q的运动速度是个单位长度/秒，是否存在t的值，使得BP＝2BQ．（3）若点Q的运动速度是a个单位长度/秒，当点P，Q是AC边上的三等分点时，求a的值．15．如图，等边△ABC的边长为15cm，现有两点M，N分别从点A，点B同时出发，沿三角形的边顺时针运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M，N同时停止运动（1）点M、N运动几秒后，M，N两点重合？（2）点M、N运动几秒后，△AMN为等边三角形？（3）当点M，N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M，N运动的时间．16．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？参考答案1．（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝CA，∠BAE＝∠C＝60°，在△AEB与△CDA中，，∴△AEB≌△CDA（SAS），∴BE＝AD；（2）解：由（1）知，△AEB≌△CDA，则∠ABE＝∠CAD，∴∠BAD+∠ABD＝∠BAD+∠CAD＝∠BAC＝60°，∴∠BPQ＝∠BAD+∠ABD＝60°；（3）解：如图，由（2）知∠BPQ＝60°．∵BQ⊥AD，∴∠PBQ＝30°，∴PQ＝BP＝3，∴BP＝6∴BE＝BP+PE＝7，即AD＝7．2．解：（1）∵∠BAC是直角，CE⊥BD，∴∠BAC＝∠CAF＝∠BEC＝90°，∴∠CDE+∠DCE＝90°，∠ABD+∠ADB＝90°，∵∠ADB＝∠CDE，∴∠ABD＝∠ACF，在△ABD和△ACF中，，∴△ABD≌△ACF（ASA）；（2）由（1）知，△ABD≌ACF，∴BD＝CF，∵BD⊥CE，BD平分∠ABC，∴BC＝BF，∵BD⊥CE，∴CE＝EF，∴CE＝CF＝BD；（3）∠AED不变化理由：如图，过点A作AG⊥⊥CF于G，作AH⊥BD于H，由（1）证得△BAD≌△CAF（ASA），∴S△BAD＝S△CAF，BD＝CF，∴BD•AH＝CF•AG，而BD＝CF，∴AH＝AG，∵AH⊥EB，AG⊥EG，∴EA平分∠BEF，∴∠BEA＝∠BEG＝45°，即：∠AED不变化．3．解：（1）∵BC⊥AE，∠BAE＝45°，∴∠CBA＝∠CAB，∴BC＝CA，在△BCE和△ACD中，，∴△BCE≌△ACD（SAS），∴AD＝BE．（2）∵△BCE≌△ACD，∴∠EBC＝∠DAC，∵∠BDP＝∠ADC，∴∠BPD＝∠DCA＝90°，∴AD⊥BE．（3）AD⊥BE不发生变化．理由：如图（2），∵△BCE≌△ACD，∴∠EBC＝∠DAC，∵∠BFP＝∠AFC，∴∠BPF＝∠ACF＝90°，∴AD⊥BE．4．解：（1）由运动知，BP＝3t，∵BC＝8，∴PC＝BC﹣BP＝8﹣3t；（2）全等，理由：当t＝1时，BP＝3，CP＝5，CQ＝3，∴BP＝CQ，∵点D是AB的中点，∴BD＝AB＝5，∴CP＝BD，在△BPD和△CQP中，，∴△BPD≌△CQP（SAS）；（3）∵BP＝3t，CP＝8﹣3t，设点Q的运动速度为xcm/s，∴CQ＝xt，当△BPD≌△CQP时，∴BP＝CQ，∴3t＝xt，∴x＝3（不符合题意），当△BPD≌△CPQ时，∴BP＝CP，BD＝CQ，∴3t＝8﹣3t，5＝xt，∴t＝，x＝，∴点Q的运动速度为cm/s时，能够使△BPD与△CQP全等．5．解：（1）CE＝BD，理由如下：∵等腰Rt△ABC，等腰Rt△ADE，∴AE＝AD，AC＝AB，在△EAC与△DAB中，，∴△EAC≌△DAB（SAS），∴CE＝BD；（2）∵△EAC≌△DAB，∴∠ECA＝∠DBA，∴∠ECA+∠CBF＝∠DBA+∠CBF＝45°，∴∠ECA+∠CBF+∠DCB＝45°+45°＝90°，∴∠BFC＝180°﹣90°＝90°；（3）成立，∵等腰Rt△ABC，等腰Rt△ADE，∴AE＝AD，AC＝AB，在△EAC与△DAB中，，∴△EAC≌△DAB（SAS），∴CE＝BD；∵△EAC≌△DAB，∴∠ECA＝∠DBA，∴∠ECA+∠CBF＝∠DBA+∠CBF＝45°，∴∠ECA+∠CBF+∠DCB＝45°+45°＝90°，∴∠BFC＝180°﹣90°＝90°．6．（1）证明：∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE﹣∠DAC＝∠BAC﹣∠DAC，∴∠CAE＝∠BAD．∵AD＝AE，AC＝AB，∴△CAE≌△BAD（SAS）．（2）解：α+β＝180°，理由如下：由△CAE≌△BAD，∴∠ACE＝∠B．∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB．∴∠ACE＝∠B＝∠ACB．∴∠BCE＝β＝2∠B，在△ABC中，∠BAC＝α＝180°﹣2∠B．∴α+β＝180°．（3）证明：由（1）知，△CAE≌△BAD，∴CE＝BD．∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°，由（2）得，∠BCF+∠BAC＝180°．∴∠BCF＝90°．∴∠F＝∠B＝45°，∴CF＝CB．∴CF﹣CE＝CB﹣BD．∴EF＝DC．7．证明：（1）∵∠BAD＝∠CAE＝90°，∴∠BAC+∠CAD＝90°，∠CAD+∠DAE＝90°，∴∠BAC＝∠DAE，在△BAC和△DAE中，，∴△BAC≌△DAE（SAS）；（2）∵∠CAE＝90°，AC＝AE，∴∠E＝45°，由（1）知△BAC≌△DAE，∴∠BCA＝∠E＝45°，∵AF⊥BC，∴∠CFA＝90°，∴∠CAF＝45°，∴∠FAE＝∠FAC+∠CAE＝45°+90°＝135°；（3）延长BF到G，使得FG＝FB，∵AF⊥BG，∴∠AFG＝∠AFB＝90°，在△AFB和△AFG中，，∴△AFB≌△AFG（SAS），∴AB＝AG，∠ABF＝∠G，∵△BAC≌△DAE，∴AB＝AD，∠CBA＝∠EDA，CB＝ED，∴AG＝AD，∠ABF＝∠CDA，∴∠G＝∠CDA，∵∠GCA＝∠DCA＝45°，在△CGA和△CDA中，，∴△CGA≌△CDA（AAS），∴CG＝CD，∵CG＝CB+BF+FG＝CB+2BF＝DE+2BF，∴CD＝2BF+DE．8．解：（1）∵A（4，0），∴OA＝OB＝4，∴B（0，4），故答案为：（0，4）．（2）∵C（0，7），∴OC＝7，过点D作DE⊥y轴，垂足为E，∴∠DEC＝∠AOC＝90°，∵∠DCA＝90°，∴∠ECD+∠BCA＝∠ECD+∠EDC＝90°∴∠BCA＝∠EDC，∴△DEC≌△COA（AAS），∴DE＝OC＝7，EC＝OA＝4，∴OE＝OC+EC＝11，∴D（7，11）；（3）证明：∵BE＝OE﹣OB＝11﹣4＝7∴BE＝DE，∴△DBE是等腰直角三角形，∴∠DBE＝45°，∵OA＝OB，∴∠OBA＝45°，∴∠DBA＝90°，∴∠BAN+∠ANB＝90°，∵∠DCA＝90°，∴∠CDN+∠DNC＝90°，∵∠DNC＝∠ANB，∴∠CDN＝∠BAN，∵∠DCA＝90°，∴∠ACM＝∠DCN＝90°，∴△DCN≌△ACM（ASA），∴CM＝CN．9．（1）证明：∵BD⊥MN，CE⊥MN，∴∠BDA＝∠AEC＝90°，∴∠BAD+∠ABD＝90°，又∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°，∴∠ABD＝∠CAE，在△BAD和△ACE中，，∴△BAD≌△ACE（AAS），（2）解：DE＝BD+CE．理由如下：由（1）得：△BAD≌△ACE，∴BD＝AE，AD＝CE，又DE＝AE+AD，∴DE＝BD+CE，（3）DE＝CE﹣BD，同（1）可得：△BAD≌△ACE，故BD＝AE，AD＝CE，又DE＝AD﹣AE，∴DE＝CE﹣BD．10．解：（1）∵△ABC和△CDE均为等边三角形∴AC＝BC，EC＝DC∠ACB＝∠ECD＝60°∴∠ACD＝∠ECB∴△ACD≌△BCE∴AD＝BE；（2）∵△ACD≌△BCE∴∠CBH＝∠CAG∵∠ACB＝∠ECD＝60°，点B、C、D在同一条直线上∴∠ACB＝∠ECD＝∠ACG＝60°又∵AC＝BC∴△ACG≌△BCH；（3）△CGH是等边三角形，理由如下：∵△ACG≌△BCH∴CG＝CH（全等三角形的对应边相等）又∵∠ACG＝60°∴△CGH是等边三角形（有一内角为60度的等腰三角形为等边三角形）；11．（1）证明：∵△ABC和△DCE都是等边三角形，∴BC＝AC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ABC+∠ACE＝∠DCE+∠ACE，即∠BCE＝∠ACD，∴∠BCE≌△ACD（SAS），∴BE＝AD；（2）①证明：∵△ABC和△CDE是等边三角形，∴AB＝BC，CD＝BE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，即∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，同理：△ABD≌△CBF（SAS），∴AD＝CF，即AD＝BE＝CF；②解：结论：PB+PC+PD＝BE，理由：如图2，AD与BC的交点记作点Q，则∠AQC＝∠BQP，由①知，△ACD≌△BCE，∴∠CAD＝∠CBE，在△ACQ中，∠CAD+∠AQC＝180°﹣∠ACB＝120°，∴∠CBE+∠BQP＝120°，在△BPQ中，∠APB＝180°﹣（∠CBE+∠BQP）＝60°，∴∠DPE＝60°，同理：∠APC＝60°，∴∠CPD＝120°，在PE上取一点M，使PM＝PC，∴△CPM是等边三角形，∴CP＝CM，∠PCM＝∠CMP＝60°，∴∠CME＝120°＝∠CPD，∵△CDE是等边三角形，∴CD＝CE，∠DCE＝60°＝∠PCM，∴∠PCD＝∠MCE，∴△PCD≌△MCE（SAS），∴PD＝ME，∴BE＝PB+PM+ME＝PB+PC+PD．12．证明：连接DE、EF、DF．（1）当点G在线段BE上时，如图①，在EF上截取EH使EH＝BG．∵D、E、F是等边△ABC三边中点，∴△DEF、△DBE也是等边三角形且DE＝AB＝BD．在△DBG和△DEH中，，∴△DBG≌△DEH（SAS），∴DG＝DH．∴∠BDG＝∠EDH．∵∠BDE＝∠GDE+∠BDG＝60°，∴∠GDH＝∠GDE+∠EDH＝60°∴在直线EF上存在点H使得△DGH是等边三角形．（2）当点G在射线EC上时，如图②，在EF上截取EH使EH＝BG．由（1）可证△DBG≌△DEH．∴DG＝DH，∠BDG＝∠EDH．∵∠BDE＝∠BDG﹣∠EDG＝60°，∴∠GDH＝∠EDH﹣∠EDG＝60°．∴在直线EF上存在点H使得△DGH是等边三角形．（3）当点G在BC延长线上时，如图③，与（2）同理可证，结论成立．综上所述，点G在直线BC上的任意位置时，该结论成立．13．解：（1）∵AB＝BC＝AC，∴△ABC为等边三角形，∴∠A＝60°，故答案为：60．（2）∵∠A＝60°，当∠APQ＝90°时，∠AQP＝90°﹣60°＝30°．∴QA＝2PA．即20﹣2t＝2t×2．解得．当∠AQP＝90°时，∠APQ＝90°﹣60°＝30°．∴PA＝2QA．即2（20﹣2t）＝2t．解得．∴当0＜t＜10，且△APQ为直角三角形时，t的值为．（3）①由题意得：AP＝2t，AQ＝20﹣2t，∵∠A＝60°，∴当AQ＝AP时，△APQ为等边三角形，∴2t＝20﹣2t，解得t＝5，②当P于B重合，Q与C重合，则所用时间为：4÷2＝20，综上，当△APQ为等边三角形时，t＝5或20．14．解：（1）∵AB＝8，点P的运动速度为2个单位长度/秒，∴当P为AB中点时，即4÷2＝2（秒）；故答案为：2．（2）由题意可得：当BP＝2BQ时，P，Q分别在AB，BC上，∵点Q的运动速度为个单位长度/秒，∴点Q只能在BC上运动，当点P在AB上，∴BP＝8﹣2t，BQ＝t，则8﹣2t＝2×t，解得t＝，当点P在BC上时，BP＝2t﹣8，BQ＝，∴2t﹣8＝2×t，解得t＝12．当点P运动到AC上时，不存在BP＝2BQ；故t＝12或，使得BP＝2BQ．（3）当点P为靠近点A的三等分点时，如图1，AB+BC+CP＝8+16+8＝32，此时t＝32÷2＝16，∵BC+CQ＝1