人教B版高中数学选择性必修第二册4.2.4　第一课时　离散型随机变量的均值word含答案

随机变量的数字特征第一课时离散型随机变量的均值课后篇巩固提升基础达标练1.已知离散型随机变量X的分布列为X123P331则X的数学期望E(X)等于()A.32C.52解析E(X)=1×35+2×310+3×答案A2.有10件产品,其中3件是次品,从中任取2件,用X表示取到次品的个数,则E(X)等于()A.35 B.C.1415解析X的可能取值为0,1,2,P(X=0)=C7P(X=1)=C7P(X=2)=C3所以E(X)=1×715+2×1答案A3.已知随机变量X的分布列是X4a910Pb若E(X)=,则a等于() 解析因为E(X)=4×++9b+2=,又++b+=1,所以a=7,b=.答案C4.若随机变量X的分布列如下表,则E(X)等于()X012345P2x3x7x2x3xxA.118 B.19 C.209解析由题意,得2x+3x+7x+2x+3x+x=1,解得x=118所以,E(X)=0×2x+1×3x+2×7x+3×2x+4×3x+5×x=40x=40×118答案C5.如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割成125个同样大小的小正方体.经过搅拌后,从中随机取出一个小正方体,记它的涂油漆面数为X,则X的数学期望E(X)等于()A.126125 B.65 C.168125解析根据题意可知X的可能取值为0,1,2,3,且P(X=0)=27125,P(X=1)=54P(X=2)=36125,P(X=3)=8所以E(X)=0×27125+1×54125+2×36125+3答案B6.若从1,2,3,4,5这5个数字中任取不同的两个数,则这两个数的乘积的数学期望是.

解析从1,2,3,4,5中任取不同的两个数,其乘积X的值为2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,取每个值的概率都是110,所以E(X)=110×(2+3+4+5+6+8+10+12+15+20)答案7.已知随机变量X等可能地取1,2,3,…,n,若P(X<4)=,则E(X)等于.

解析根据题意,X取1,2,3,…,n的概率都是1n则P(X<4)=3n=,解得n=则E(X)=1×110+2×110+…+10×1答案8.设离散型随机变量X可能取的值为1,2,3,(X=k)=ak+b(k=1,2,3,4).若X的数学期望E(X)=3,则a+b=.解析由题意可得随机变量X的分布列为X1234Pa+b2a+b3a+b4a+b由分布列的性质得(a+b)+(2a+b)+(3a+b)+(4a+b)=1,即10a+4b=1.又E(X)=3,所以1×(a+b)+2×(2a+b)+3×(3a+b)+4×(4a+b)=3,即30a+10b=3.联立以上两式解得a=110,b=0所以a+b=110答案19.某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动.活动规则如下:消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次,并获得相应金额的返券,假定指针等可能地停在任一位置.若指针停在A区域返券60元;停在B区域返券30元;停在C区域不返券.例如:消费218元,可转动转盘2次,所获得的返券金额是两次金额之和.(1)若某位顾客消费128元,求返券金额不低于30元的概率;(2)若某位顾客恰好消费280元,并按规则参与了活动,他获得返券的金额记为X元.求随机变量X的分布列和数学期望.解设指针落在A,B,C区域分别记为事件A,B,C,则P(A)=16,P(B)=13,P(C)=(1)若返券金额不低于30元,则指针落在A或B区域.所以所求概率为P(A)+P(B)=16+13=12,即消费128(2)由题意得该顾客可转动转盘2次.随机变量X的可能值为0,30,60,90,120.P(X=0)=12P(X=30)=12×13×P(X=60)=12×16×P(X=90)=13×16×P(X=120)=16所以,随机变量X的分布列为X0306090120P11511其数学期望E(X)=0×14+30×13+60×518+90×19+120×10.为创建国家级文明城市,某城市号召出租车司机在高考期间至少参加一次“爱心送考”.该城市某出租车公司共200名司机,他们参加“爱心送考”的次数统计如图所示.(1)求该出租车公司的司机参加“爱心送考”的人均次数;(2)从这200名司机中任选两人,设这两人参加送考次数之差的绝对值为随机变量X,求X的分布列及数学期望.解由题图可知,参加送考次数为1次、2次、3次的司机人数分别为20,100,80.(1)该出租车公司司机参加送考的人均次数为1×20+2(2)从该公司任选两名司机,记“这两人中一人参加1次,另一人参加2次送考”为事件A,“这两人中一人参加2次,另一人参加3次送考”为事件B,“这两人中一人参加1次,另一人参加3次送考”为事件C,“这两人参加次数相同”为事件D.则P(X=1)=P(A)+P(B)=C201C1001C2002+C1001C801C2002=100199,P所以随机变量X的分布列为X012P8310016其数学期望E(X)=0×83199+1×100199+2×能力提升练1.(2022黑龙江鹤岗一中高二期末)已知离散型随机变量ξ的概率分布如表所示,则其数学期望E(ξ)等于()ξ135Pm 解析∵分布列中出现的所有的概率之和等于1,∴+m+=1,∴m=,∴随机变量的数学期望E(ξ)=1×+3×+5×=.故选D.答案D2.(2022浙江高三期末)已知0<a<23,随机变量ξ的分布列如图,则当a增大时,ξ的期望E(ξ)变化情况是(ξ-101P1ab(ξ)增大 (ξ)减小(ξ)先增后减 (ξ)先减后增解析由题意可知E即E(ξ)=-13+23-a=13-a,所以当a增大时,ξ的期望E(ξ)答案B3.(2022天津模拟)某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].从样本成绩不低于80分的学生中随机选取2人,记这2人成绩在90分以上(含90分)的人数为ξ,则ξ的数学期望为()A.13 B.12 C.23解析由频率分布直方图知,3××10+×10+×10+10x=1,解得x=,所以成绩不低于80分的学生有+×10×50=12人,成绩在90分以上(含90分)的学生有×10×50=3人.ξ的可能取值为0,1,2,P(ξ=0)=C92C122=611,P(ξ=1)=C3所以ξ的分布列为ξ012P691所以E(ξ)=0×611+1×922+2×122=答案B4.(多选)(2022山东高三月考)某市有A,B,C,D四个景点,一位游客来该市游览,已知该游客游览A的概率为23,游览B,C和D的概率都是12,且该游客是否游览这四个景点相互独立.用随机变量X表示该游客游览的景点的个数,则下列选项正确的是(A.游客至多游览一个景点的概率为1(X=2)=3(X=4)=1(X)=13解析记该游客游览i个景点为事件Ai,i=0,1,则P(A0)=1-231-121-121-12=124,P(A1)=23×1-123+1-23所以游客至多游览一个景点的概率为P(A0)+P(A1)=124+524=随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4,P(X=0)=P(A0)=124P(X=1)=P(A1)=524P(X=2)=23×C31×12×1-122+1-23×C32×1P(X=3)=23×C32×122×1-12+1-23P(X=4)=23×123=112,故数学期望为E(X)=0×124+1×524+2×924+3×724+4×224故选ABD.答案ABD5.(2022山东淄川中学高二期中)随机变量X~B10,12,变量Y=20+4X,则E(Y)=.解析因为X~B10,12,所以E(X)=10×12因为Y=20+4X,所以E(Y)=20+4E(X)=20+20=40.答案406.(2022浙江高三专题练习)一个不透明袋中放有大小、形状均相同的小球,其中红球3个、黑球2个,现随机等可能取出小球.当有放回依次取出两个小球时,记取出的红球数为ξ1,则E(ξ1)=;若第一次取出一个小球后,放入一个红球和一个黑球,再第二次随机取出一个小球.记取出的红球总数为ξ2,则E(ξ2)=.

解析ξ1可取值为0,1,2,P(ξ1=0)=C2P(ξ1=1)=C3P(ξ1=2)=C3所以E(ξ1)=1×1225+2×9ξ2可取值为0,1,2,P(ξ2=0)=C2P(ξ2=1)=C3P(ξ2=2)=C3所以E(ξ2)=1×1730+2×9答案67.(2022山东淄川中学高三开学考试)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查.(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.①用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X的分布列与数学期望;②设A为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件A发生的概率.解(1)由已知,甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2,由于采用分层抽样的方法从中抽取7人,因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人,2人,2人.(2)①随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X=k)=C4k·C所以随机变量X的分布列为X0123P112184随机变量X的数学期望E(X)=0×135+1×1235+2×1835+3②设事件B为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有1人,睡眠不足的员工有2人”;事件C为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有2人,睡眠不足的员工有1人”,则A=B∪C,且B与C互斥.由①知,P(B)=P(X=2),P(C)=P(X=1),故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=67所以事件A发生的概率为678.(2022天津高三月考)某学校为了学生的健康,对课间操活动做了如下规定:课间操时间若有雾霾则停止课间操,若无雾霾则组织课间操.预报得知,在未来一周从周一到周五的课间操时间出现雾霾的概率是:前3天均为12,后2天均为34,(1)求未来5天至少一天停止课间操的概率;(2)求未来5天组织课间操的天数X的分布列和数学期望.解(1)由题意,可知未来5天每天都组织课间操的概率为P1=123142=所以未来5天至少一天停止课间操的概率:P=1-P1=1-1128(2)未来5天组织课间操的天数X的可能取值为0,1,2,3,4,5,P(X=0)=123342=P(X=1)=123C213414+C31P(X=2)=C3212212342+C3112×12P(X=3)=C3112122142+C3212212P(X=4)=C3212212142+12P(X=5)=123142=所以X的分布列为X012345P933463091数学期望E(X)=0×9128+1×33128+2×46128+3×30128+4×9128+5素养培优练1.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a,得2分的概率为b,不得分的概率为c(a,b,c∈(0,1)),已知他投篮一次得分的数学期望是2,则2a+13bA.163 B.283 C.143解析由题意得3a+2b+0×c=2,所以3a+2b=2,2a+13b=2a+13b3a+2b2=126+2答案A2.(2022北京高三期末)2022年6月,国内的5G运营牌照开始发放.从2G到5G,我们国家的移动通信业务用了不到20年的时间,完成了技术上的飞跃,跻身世界先进水平.为了解高校学生对5G的消费意愿,2022年8月,从某地在校大学生中随机抽取了1000人进行调查,样本中各类用户分布情况如下:用户分类预计升级到5G的时段人数早期体验用户2022年8月至2022年12月270人中期跟随用户2022年1月至2022年12月530人后期用户2022年1月及以后200人我们将大学生升级5G时间的早晚与大学生愿意为5G套餐支付更多的费用作比较,可得出下图的关系(例如早期体验用户中愿意为5G套餐多支付5元的人数占所有早期体验用户的40%).(1)从该地高校大学生中随机抽取1人,估计该学生愿意在2022年或2022年之前升级到5G的概率;(2)从样本的早期体验用户和中期跟随用户中各随机抽取1人,以X表示这2人中愿意为升级5G多支付10元或10元以上的人数,求X的分布列和数学期望;(3)2022年底,从这1000人的样本中随机抽取3人,这三位学生都已签约5G套餐,能否认为样本中早期体验用户的人数有变化?说明理由.解(1)由题意可知,从高校大学生中随机抽取1人,该学生在2022年或2022年之前升级到5G的概率估计为样本中早期体验用户和中期跟随用户的频率,即270+5301(2)由题意可知,X的所有可能值为0,1,2,记事件A为“从早期体验用户中随机抽取1人,该学生愿意为升级5G多支付10元或10元以上”,事件B为“从中期跟随用户中随机抽取1人,该学生愿意为升级5G多支付10元或10元以上”,由题意可知,事件A,B相互独立,且P(A