中考数学压轴题归类分析

中考数学压轴题归类分析

从各地的中考数学试题来看，压轴题考查的知识点多，知识面广，综合性强，其创造性思维要求较高，能充分体现考生分析问题解决问题的创新能力。本文以2009年中考数学试题为例，将压轴题进行归类分析，供参考，一、几何问题例1（常德市）如图1，若△ABC和△ADE为等边三角形，M、N分别为EB、CD的中点，易证：CD=BE，△AMN是等边三角形。(1)当把△ADE绕A点旋转到图2的位置时，CD=BE是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由。(2)当△ADE绕A点旋转到图3的位置时，△AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB=2AD时，△ADE与△AMN的面积之比；若不是，请说明理由。图1图2图3解：(1)CD=BE。理由如下：因为△ABC和△ADE为等边三角形，所以AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=60°。因为∠BAE=∠BAC-∠FAC=60°-∠EAC，∠DAC=∠DAE-∠EAC=60°-∠EAC，所以∠BAE=∠DAC，所以△ABE≌△ACD，所以BE=CD。(2)△AMN是等边三角形。理由如下：因为△ABE≌△ACD，M、N分别是BE、CD的中点，所以AM=AN，NC=NB。因为AB=AC，所以△ABM≌△ACN，所以∠MAB=∠NAC，所以∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60°，所以△AMN是等边三角形。设AD=a，则AD=AE=DE=a，AB=BC=AC=2a，易证BE⊥AC，二、函数问题图4三、动态问题例3（吉林省）如图5所示，菱形ABCD的边长为6厘米，∠B=60°，从初始时刻开始，点P、Q同时从A点出发，点P以1厘米／秒的速度沿A→C→B的方向运动，点Q以2厘米／秒的速度沿A→B→C→D的方向运动，当点Q运动到D点时，P、Q两点同时停止运动。设P、Q运动的时间为x秒时，△APQ与△ABC重叠部分的面积为y平方厘米（这里规定：点和线段是面积为0的三角形）。解答下列问题：图5(1)点P、Q从出发到相遇所用时间是______秒；(2)点P、Q从开始运动到停止的过程中，当△APQ是等边三角形时x的值是______秒；(3)求y与x之间的函数关系式。(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式。(2)动点P从点A出发，沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒。过点P作PE⊥AB交AC于点E。图6①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G，当t为何值时，线段EG最长？②连接EQ。在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形？请直接写出相应的t值。观察题中a、b的特征，以及你比较大小的过程，直接写出你发现的一个一般结论。七、坐标几何型例7（深圳市）如图7，在平面直角坐标系中，直线l：y=-2x-8分别与x轴、y轴相交于A、B两点，点P(0，k)是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P。图7(1)连接PA，若PA=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；(2)当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？解：(1)⊙P与x轴相切。理由如下：因为直线y=-2x-8与x轴交于A(-4，0)，与y轴交于B(0，-8)，所以OA=4，OB=8。由题意，OP=-k，所以PB=PA=8+k。在Rt△AOP中，，所以k=-3。所以OP等于⊙P的半径，所以⊙P与x轴相切。图8与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形。八、应用题例8（南宁市）如图9所示，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，上下底相距80米，在两腰中点连线（虚线）处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等，设甬道的宽为x米。图9(1)用含x的式子表示横向甬道的面积；(2)当三条甬道的总面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽；(3)根据设计要求，甬道的宽不能超过6米，如果修建甬道的总费用（万元）与甬道的宽度成正比例关系，比例系数是5.7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用最少？最少费用是多少万元？解：(1)横向甬道的面积为九、探索性问题例9（重庆市）已知：如图10，在平面直角坐标系xoy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=2，OC=3。过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E。图10(1)求过点E、D、C的抛物线的解析式；(2)∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G。如果DF与(1)中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为，那么EF=2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由。(3)对于(2)中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。