函数解析式的确定方法

函数解析式的确定方法1.直接变换法(配凑法)如果已知复合函数f（g(x))的表达式，要求f(x)的解析式，若f（g(x))表达式右边易配成g(x)的运算形式，则可用直接变换法(配凑法).例1已知f=+，求f(x).思路分析：利用配凑法将函数右边+配凑成含“”的形式.解：∵f=+=-+=-=-+1，∴-x+1(x≠1).点评：函数的解析式y=f(x)是由自变量x确定y值的关系式，其实质是对应关系f：x→y.因此这类问题的关键是弄清对“x”而言，“f”是怎样的对应关系.整体替换后，不要忽视新“元”的取值范围.2.换元法换元法又称变量替换法，即根据所要求解的式子的结构特征，巧妙地设置新的变量来替代原来表达式中的某些式子或变量，对新的变量求出结果后，返回去再求出原变量的结果.例2已知f(+1)=x+2，求f(x).思路分析：采用整体思想，可把f(+1)中的“+1”看作一个整体，然后采用另一参数替代.解：令t=+1，则(t≥1).代入原式有-1.∴-1(x≥1).点评：将接受对象“+1”换作另一个元(字母)“t”，然后从中解出x与t的关系，代入原式中便可求出关于“t”的函数关系，此即为函数解析式，但在利用这种方法时应注意自变量的取值范围的变化情况，否则就得不到正确的表达式.此法是求函数解析式的常用方法.3.待定系数法待定系数法是数学中的一种重要方法.当某个恒等式中出现某些尚待确定的系数时，我们利用恒等式的性质求出这些尚待确定的系数的方法，就叫做“待定系数法”.当已知函数为一次函数、二次函数、反比例函数等形式时，一般的方法是设出函数的解析式，然后根据题设条件求待定系数.例3如果f(f(x))=2x-1，则一次函数f(x)=.思路分析：由于f(x)是一次式，故可设为f(x)=ax+b(a≠0)的形式，然后只需将a,b确定下来即可.解：∵f(x)为一次函数，设f(x)=ax+b(a≠0).则x+ab+b，则由⇔解得或∴f(x)=x+1-，或f(x)=-x+1+.点评：已知所求函数为一次函数，故可设为f(x)=ax+b(a≠0)，a≠0的条件不要遗漏，此时目标明确：只需用待定系数法求出a,b即可.4.消去法利用方程思想，采用解方程的方法消去不需要的函数式子，从而得到f(x)的表达式，此种方法称为消去法，也称为解方程法.消去法的重要措施是：利用相应的未知数去代换不需要的函数式子中的未知数，以达到消去不需要的函数式子，求出函数表达式的目的.例4设f(x)是定义在(1,+∞)上的一个函数，且有f(x)=2f-1，求f(x).思路分析：欲求f(x)，必须消去已知中的f，不难想到再寻找一个方程.可由x与的倒数关系，用去替换已知式中的x便可得到另一个方程.然后联立解之可得.解：f(x)=2f-1，①用代换x，得f=2f(x)√()-1，②将②代入①消去f，得f(x)=4f(x)-2-1，f(x)=+.又∵x∈(1,+∞)，∴f(x)=+，x∈(1,+∞).点评：本题利用方程思想，采用解方程(组)的方法消去不需要的函数式子，从而得到f(x)的表达式.此类问题的解题关键是用“活”已知表达式，由于它对于一切有意义的x恒成立，因此x可以用代换，以便问题的解决.例5已知=bx，其中a≠1，n为奇数，求f(x).思路分析：n为奇数给我们一个启示：，所以用-x代换x联立方程组进行求解.解：∵a≠1且n为奇数，∴在原式中用-x代换x，得=-bx，于是得：联立①②，消去得=，而a≠1，n为奇数，∴f(x)=.点评：在求解时，要抓住条件中的每一个细节，而这些细节往往就是解题的切入口.5.赋值法用常规方法直接求解比较困难或不必要直接求解，若根据条件中所提供的信息，选择某些特殊情况进行分析，或选择某些特殊值进行计算，或将字母参数换成具体数值代入，或以变量换变量，把一般形式变为特殊形式，然后通过解方程组求出f(x)的解析式.例6设f(x)是R上的函数，且满足f(0)=1，并且对任意实数x,y都有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)，求f(x)的表达式.思路分析：联系问题，对条件中一个变量进行赋值处理，以消去表达式中的一个变量.解法一：由f(0)=1，f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)，得f(0)=f(x-x)=f(x)-x(2x-x+1)=1，∴+x+1.解法二：令x=0，得f(0-y)=f(0)-y(-y+1)，又f(0)=1.∴f(-y)=1-y(-y+1)，又令-y=x，∴f(x)=1+x(x+1)，即+x+1.点评：（1)所给函数方程含有两个变量时，可对这两个变量交替用特殊值代入，或者这两个变量相等代入，再用已知条件，可求出未知的函数，至于取什么特殊值，根据题目特征而定；（2)通过取某些特殊值代入题设中的某式，可使问题具体化、简单化，从而顺利地找出规律，求出函数的解析式.6.实际问题确定目标函数法根据实际问题求函数解析式，是应用函数知识解决实际问题的基础，在设定或选定自变量后去寻求等量关系，以求得表达式，要注意函数定义域应由实际问题确定.例7如图,等腰梯形ABCD的两底分别为AD=2a，BC=a，∠BAD=45°，作直线MN⊥AD交AD于M，交折线ABCD于N，设AM=x，试将梯形ABCD位于直线MN左侧的面积y表示为x的函数，并写出函数的定义域.思路分析：对于应用型问题，若要求函数y=f(x)的表达式，这样就需准确揭示x,y之间的变化关系，建立正确的目标函数.依题意，可知随着直线MN的移动，点N分别落在梯形ABCD的AB、BC及CD边上，有三种情况，所以需要分类解答.解：作BH⊥AD，H为垂足，CG⊥AD，G为垂足，依题意，有AH=,AG=a，如图所示.(1)当M位于点H的左侧时，N∈AB，由于AM=x，∠A=45°，∴MN=x，∴=,考察可知x满足0≤x≤.(2)当M位于HG之间时，由于AM=x，MN=，BN=x-.∴=·［x+.(3)当M位于点G的右侧时，由于AM=x，MN=2a-x.∴=·(2a+a)-=-=-+2ax-,考察可知x满足a<x≤2a.综上可知，y=点评：求函数解析式时，若不同情形下的表达式不同，则要分段写出.但要注意，分段函数是一个函数，而不是几个函数，由实际问题确定的函数，不仅要确定函数的解析表达式，同时要求出函数的定义域(一般情况下都要受实际问题的约束).7.求分段函数的解析式此类问题往往给出在某给定区间上函数表达式，求另一区间上的函数表达式.解题的策略是，要充分挖掘已知条件，利用函数的奇偶性、对称性、单调性，采用范围转化法、相关点法、平移法等方法进行求解.问题的解题关键是要对函数解析式进行分区间分类解析.例8设函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称.若当x≤1时，+1，求x>1时f(x)的解析式.思路分析：(1)可以直接从条件出发，采用转化范围法，由x>1⇒2-x<1，利用已知解析式+1进行求解；(2)相关点法，设x>1时函数图象上的任一点(x,y)，利用其图象关于直线x=1的对称关系，则其对称点满足+1.解法一：设x>1，则2-x<1.由已知条件得-4x+5.∵函数y=f(x)关于直线x=1对称，∴f(1-x)=f(1+x).∴f［1-(1-x)］=f［1+(1-x)］，即f(x)=f(2-x).∴当x>