全国初中数学竞赛试题及答案

tt中国教育会中学数教学专委员会全国初中学竞赛试一、选择題共5

小题，每小6

分，共30

分Q甲）如实b,C在数轴的位如示么式∖a+∖+^2简（）.

+∖b+c∖(A)2c-a

(B)

2a-2b

(C)-a

(D)a()如果

=+

那么1+

的为

(A)-√2

+—3+(C)2

(D)b甲果正例y=ax（.a0反函y=~

的有交其X一点标一）,么个的为

）.(A)(2,(B)(3,(C)3)(3,2)（）.面角坐系Xoy满等√+y的数点标（个数（）.(A)10(C)5

甲果给实且那与数的值（).2a(A)

+L

(D)-

2a+b,四据平均乙川¾7

边，AC別角，等角ZAz)C=30ADBD=5,

09

长((A)3(C)

(B)4(D)4.5（甲）倩玲都若干值为数元人•对说“你给2元，我数你倍”小对小说'‘你若力，我钱数是你2倍”为

共15

j4j4数力能个是（（A）（B）（C）3（D4（）果北程x-px-q=0（p,

正）根3,么的的个是（

（A）（B）（C）7（D8甲枚质均正骰六上数字别是6.掷骰设其朝的上个之以4

余别0,1,3

概P

，,p,则123Po,PyPf2

中的>(A)PO

(B)

Pl

(C)p2

(D)

3乙板上有

1

共K。个字每作从黑上的中选

数(A)

在上数经过(B)101(D)

操，上的二、填空题共5小题，每题6分共）

甲如图程行，：运'输入个值"果>487?”

Ξ→[×2→[ΞII→[Zpz!-

次如果作四停那取是____________()如果a,b,是，足db+c=1αb+bb+c9b+cc+a+b

IIo/7(甲，形9长√15,E,

F分别是AF£DE,DB别点则那面积________________.乙•如示A

半20

圆0

，OA

一

线形

直

圆

D

点=

线CE、BD的度________________________

D

共15

222222222（）果X

方+ΛX+-A

O

两数别，A,

么F

2__________乙“数且（+3）（∕r+w+3被5

除所"个为（）

八同/〃九年同起象赛赛单循，即有参者好一记规则：每比赛者得

，得

；各

比结束，有的总130

，平不比局数一半则刃值为______________.（）果扛Z

以个形边，那（Z三角数（Gb,C）（为形且纟值_______________bcC10

甲图边9

于OQM是径AD=DC.分长CD,交点为BFIEC,与'的延交于AE=BC=6,则t______）已知"数≤100.若一整（

b）a=b+n立这的"为•三、解答題共4

題，每題15

分，共60

分）11

甲知二函y=X+（∕+）X2,当IVXV3时，恒y<0于X的程x+（w+3x+w+2

两数倒小—求取围10-

-页

11

乙图所，角系XOy

，

y

负上BC

别

正半，=&=AGsinZABC-点D

线AB

，CD

于E,且=^SADE试像B

C、E

点次12

解。甲图，00

直AB,

共15

ttoq点O,于点C为00上点，OC00D,OD>CD.EDC=DE,BE0F,证'BOCs卜DO12

(图，

接形

，別是的对线，的点/是力別心求证妙接切

共15

∙∙∙<x

Aβ+AD=2BD.)已知数Zba-b素且"全

α≥2012

，E

最（乙）给一个整”，”中有少个等于并明理14

甲所有整？?，存整血，X,…吃012足XL2<2012»22—+…+---=n.1X2x2012

（乙）2,3,…n（n>2意分两如可其一组找到b,C（可相，a求”最.

共15

参考解答

共15

12222∙y=12222∙y=1y一、选择题1(甲.C：数

b,

数的可以4∖

a+

^∖+y2

∖b∖>ct+∖b+c∖=-a(a+b)+(c-a)-(b+c)—a.(乙：—2+——3+a

^——=+Σ—1=√2.2+√2÷1l√2

甲D：正函反例函的图及其称性可个关点称，此另个的为（2）.

乙B：设

≤(x-l)+(y-l)为

为，有=

(x-l)'0

=0；

—=1;

()一

2

=i得Xx=l»∫xLy=；.y=2;Iy=

.

xx=兀=X29=1y=0』；上

（y）.

()：设lvlvd+

以个的数位是(乙

1+(a+1)+(a+b+1)+(2a+α2b(α+l)+(α+b+l)+α2b4+α2b3+α2b44'：以边边Z∖M,

接于ACyZACD==ZACE,

共15

112以eq\o\ac(△,)竺衣BD=AE.因=30，ZADE=90°.Rt中，AE=5AD=f是DE=^AE-AD

=以G?==4.()：倩的为X

、所钱y

，

为整•由可x+2=n{y-2)fy+n=2(x-n)f去X

(2

一7)/?=4,15=ι2y-l

Iy-I为M企整所

(Iy-I

值为

以y

值为

Iy-I?值为1X

值为14,

)

C：元方与数关知，根的积为程为正一二函y=x-px一

图，x=3时，所32-3p-q>

3p+∙

于p,

q是正数，以p=l,≤5;或p=1≤^≤2,时厶p'+4q>0.共7(p,合甲次的的数构成有序对共

除以

余别是0,3

有对

，

，

，10

，P£，P

P,=

此

大•

JO30乙C：αb+"+l=αl)(b+l),不

以操和后黑板的每数加后经99

操黑剩数

共15

ττ得

=(l÷l)(l÷l)(l÷l)…(⅛÷i)x+lX二、填空题

)

解：前次操的结分3x-2,3(3=93(9χ-8)-2=27Jf-26,3(27Jf-26)-281L80.lIx-80>487.得7<x

已p27χ-易，

，3x-2≤487

取是7<

(乙).7：丄丄两乘以++c=9得a+bb+cc+a9CabCab——-++-------=

+----

=7）8解：连处∖DW,以以AN=-AF.

c+aabb+c正ABCD的边题知ANDN~BF~~NF~~BN~~i'由此AN=2NF,是

Rt^ABF中，为AB=2a,BF所以AF=∖∣AB2+BF2=>j5a,…AB2COSZBAF=.AF是

題知礎厂所ZAED=ZAFB,ZBAF--ZBAF-ZAFB90AM=AECOSZBAF——a,MN=AN-AM=-AF-AM=^-a,

15共15

==fl22BC20222==fl22BC20222MN_4AFI5=8SWD2(2")•(2。)矿以SmFD^为α=√15,所以SKW28

()一：，的为M则丄DE.因为OB=-12“OBOC

以

48OM=--------=——64(EM(DM-BM)=BM-CM=—

36

)——：題关X此

方Δ=A-4(—Z:-3/:+MO,心0,

(≤0.以而方齐3

屯E巧

()1610：(/?

+3tr

+幵+3)=(亍+3尸-n24+5n+9此5∣(所n4l(n»d5),此τ?5k±22012÷5..........2以

数()：局α,

(负数b,

题2π3∕>130,由得O

ab=

W+以2α+2/?=(加+

2).

是0≤130-(m≤43,

共15

22t22t此/M=8或in=9./W=时Z?=4；=时20,α=35,α題=

"十'

)

C题

+b>C(I)>(2)'所以>C~a，代入(2)#

丄—丄，边乘a

abCc-aCIV

£

即巳

简a-3ac+c

边得c-a<0一：

合加C解令-=(1)b>Q-k)c,C3-√5+-、詬-----<k<-------一：2

入2)化筒k2-3k+l<0,得以k<l,综合上迈10

(：，应BD,〃

直BCA=ZBDA=题ZBFC=90°,

边9

接，=ZBAD,以RgBCFSR仏BAD—

共15

2t2tAD为半=CD,以血直应OD//BC,是5δ=I=

此=2CD=2AD,CE=3AD.RAZ∖,DE∙EC=∙BE.因AE=——BE=-BA,2以2AD^AD=--BA,BA=2^2AD故唯吾BC=10（乙）.12：意n=a22=+b∖a-b于"偶，a+ba-b同奇所n是的，n=4kt

1

，4

倍有25

，满中的一正数（d,b）,则k=pk=p?,中是素数因此k只下12个数、、11、、23而这的n三、解答題

12

。H

甲•解为IVXV3，恒y<0,所3（加+）>（7?7+1）2>0,...............（3分）兀=一1

，X

，≤0,

）

+3）+2≤

3（

）+

,得TWW—5................（8分）

共15

方F+M

+3

+（M

+2=0

两数别x由一二次程根系关2x+x（xx=In+2.12i2ELI_.X+x,+9n1为——，-----------------<—Xxxxl212

+

共15

22得或加一2.此11

乙因SinZABC=^^-—,=AB5以AB=股，=>JAB22=6.知9∖此是A）,）,C（-6,0）.点坐（rifSbCOE=SMDESHCDB=SMOB'以∖n∖=i×12（-）=tn

得此力3

中点坐）.

此肋别为，AABC

以标（0,--也直y轴求得过，C

点次的式=

Λ（

X

）

X）.点的标代，解a=—.27OQ经点次的式y=^-x12（）明接为t，ODB=又因DC=DE,以△是等三角（5）BC与OQ于M,如ZOMB=因OB,以

直=IZDOM=IZDBC=2ADBF=FI因ZBOC,ZDOF分是'BOC腰以I（10

）12

乙•证）如根角心的质和弧上角的知ZCID=ZIAD+ZIDA,F.I（15

共15

r222r222ACDI=ACDB+ZBDI=ABAC+ZIDA=ZlAD^ZIDA.以ZeID=ZCDl,CI=CD.理CI=CB.点

的接OA,OC为/是中且tt以

AC,OILCI.刃宓圆(2)，/作IEVADE,OeBDF.=OClBD.t为CBF=IAE,BC=Cl=Al所以RtABCFRtAAIE.BF=AE.t因IHABD所AB+=2AE+BD-BD=2BF=BD.AB+AD=2BD.可勒理ABCD^ADBC=ACBD将ACIBCICD入结AB+AD=2BDo13

甲设a=m（m数=n是自数）因（"b

方以

—/»）—4/?

=/»,—2(2a-m-2n)-m.））当因2a~m^2n与—m~2n都正整，2a—m^2n>2a-m-2n为所2a-m^2n=m,12a-∕n-2n=得

a=

(W71)是

a-m=

(（10

）

+1)

-因是，$

时M）α时w89,=1936,/7时&最为2025.）当”0

，α≥2012b=O,而&小为2017t

素。

共15

上，的

最为……

）

共15

∙2122012∙2122012I∙∙13

乙•解凸n

形有k

角每个角角等,凸n

形n

外为，所以R—=当H=时，30k

有值..................（5

）我论n时的：）w

，，k

值11；）"=

3,4,5,6,7

，k

值为5；）.................................

”=

，k

值为

）上，3凸边最n-2个于；8≤H≤11时凸n边形最有—1

角；当=12

，n

形有12

角150°当n>l2时n形有11

角150。