2020-2021数学人教版2-1课时作业17 空间向量的正交分解及其坐标表示含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2020-2021学年数学人教A版选修2-1课时作业17空间向量的正交分解及其坐标表示含解析课时作业17空间向量的正交分解及其坐标表示[基础巩固］一、选择题1．设命题p：a，b，c是三个非零向量,命题q：｛a，b，c｝为空间的一个基底，则命题p是命题q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．若O，A，B,C为空间四点，且向量eq\o（OA,\s\up6(→）），eq\o（OB,\s\up6（→)),eq\o（OC，\s\up6（→）)不能构成空间的一个基底，则（）A.eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB，\s\up6(→)），eq\o（OC,\s\up6（→))共线B.eq\o（OA,\s\up6(→)），eq\o(OB，\s\up6(→）)共线C.eq\o(OB,\s\up6（→)），eq\o(OC，\s\up6(→）)共线D．O，A，B,C四点共面3．如图所示,在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，若eq\o(A1B1,\s\up6(→))＝a,eq\o（A1D1，\s\up6(→）)＝b,eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，则下列向量中与eq\o(A1C，\s\up6(→))相等的向量是(）A．－a＋b＋cB．a－b＋cC．a＋b＋cD．a＋b－c4．已知平行六面体OABC－O′A′B′C′,eq\o（OA,\s\up6（→))＝a，eq\o（OC,\s\up6（→）)＝c，eq\o（OO′,\s\up6（→）)＝b，D是四边行OABC的对角线的交点,则（)A。eq\o（O′D,\s\up6(→))＝－a＋b＋cB。eq\o(O′D，\s\up6（→））＝－b－eq\f(1,2）a－eq\f（1,2)cC.eq\o(O′D,\s\up6(→)）＝eq\f（1，2）a－b－eq\f(1,2）cD。eq\o(O′D,\s\up6（→））＝eq\f(1,2)a－b＋eq\f（1，2)c5．设OABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，OG＝3GG1，若eq\o（OG，\s\up6(→))＝xeq\o(OA，\s\up6(→))＋yeq\o(OB，\s\up6（→）)＋zeq\o（OC,\s\up6(→）)，则（x,y,z)为（)A。eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1，4），\f(1，4)，\f（1,4）))B。eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（3，4），\f(3,4），\f(3，4)))C.eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1，3)，\f（1,3)，\f（1,3）))D。eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（2，3),\f（2，3），\f（2，3）））二、填空题6．若向量a，b,c为空间向量的正交基底,则向量a，b，c的位置关系是________．7．若向量i，j,k为空间直角坐标系上对应x轴，y轴，z轴正方向的单位向量，且设a＝2i－j＋3k,则向量a的坐标为________________________．8．在空间四边形ABCD中,AC和BD为对角线,G为△ABC的重心,E是BD上的一点，BE＝3ED,以{eq\o（AB，\s\up6（→))，eq\o(AC，\s\up6（→)）,eq\o（AD,\s\up6（→))｝为基底,则eq\o(GE,\s\up6（→）)＝________________。三、解答题9．若｛a，b，c｝是空间一个基底，试判断｛a＋b,b＋c,c＋a}能否作为该空间的一个基底．10．如图,在空间直角坐标系中，有长方体OABC－O′A′B′C′，且OA＝6，OC＝8，OO′＝5.(1）写出点B′的坐标,给出eq\o（OB′,\s\up6（→）)关于i，j,k的分解式;(2）求eq\o(OC′，\s\up6（→）)的坐标．[能力提升］11．如图,已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC,M,N分别是OA，CB的中点，点G在线段MN上，且MG＝3GN，用向量eq\o(OA,\s\up6(→））,eq\o（OB，\s\up6（→)），eq\o(OC，\s\up6(→)）表示向量eq\o（OG，\s\up6（→））,则(）A.eq\o（OG,\s\up6(→）)＝eq\f(3，8)eq\o(OA，\s\up6（→)）＋eq\f（1,8）eq\o(OB，\s\up6（→）)＋eq\f（3,8)eq\o（OC，\s\up6(→))B。eq\o(OG,\s\up6(→））＝eq\f（7,8)eq\o（OA，\s\up6(→)）＋eq\f(3,8）eq\o（OB，\s\up6(→)）＋eq\f（3,8)eq\o（OC,\s\up6（→）)C.eq\o（OG,\s\up6（→））＝eq\o(OA,\s\up6（→)）＋eq\f（2，3)eq\o（OB,\s\up6（→）)＋eq\f(2，3）eq\o(OC，\s\up6(→））D。eq\o(OG，\s\up6（→))＝eq\f（1，8)eq\o（OA,\s\up6（→))＋eq\f(3,8）eq\o（OB，\s\up6（→）)＋eq\f（3，8）eq\o（OC，\s\up6（→））12．如图在平行六面体ABCD－A1B1C1D中,M为AC和BD的交点,若eq\o(AB，\s\up6(→)）＝a,eq\o（AD，\s\up6(→））＝b，eq\o(AA1，\s\up6(→））＝c，则eq\o(B1M,\s\up6（→)）＝________.13．如图所示，在正六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1（1）化简eq\o（A1F1,\s\up6(→)）－eq\o（EF，\s\up6（→)）－eq\o（BA，\s\up6(→))＋eq\o（FF1,\s\up6(→)）＋eq\o(CD,\s\up6（→))＋eq\o（F1A1,\s\up6（→))，并在图中标出化简结果的向量；（2)化简eq\o（DE,\s\up6（→）)＋eq\o(E1F1，\s\up6(→）)＋eq\o(FD，\s\up6（→)）＋eq\o（BB1,\s\up6（→）)＋eq\o（A1E1，\s\up6(→））,并在图中标出化简结果的向量．14．在直三棱柱ABO－A1B1O1中，∠AOB＝eq\f(π，2)，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D为A1B1的中点．在如图所示的空间直角坐标系中,求eq\o(DO，\s\up6(→)），eq\o(A1B，\s\up6（→))的坐标．课时作业17空间向量的正交分解及其坐标表示1．解析:当三个非零向量a，b，c共面时,a,b，c不能构成空间的一个基底；当{a，b,c｝为空间的一个基底时，必有a，b，c都是非零向量．故命题p是命题q的必要不充分条件．答案：B2．解析：由eq\o（OA，\s\up14（→）)，eq\o（OB,\s\up14（→）)，eq\o(OC,\s\up14（→））不能构成基底,知eq\o(OA，\s\up14(→）)，eq\o(OB,\s\up14（→)），eq\o（OC，\s\up14（→)）三向量共面，所以O，A，B，C四点共面．答案：D3．解析:eq\o（A1C,\s\up14（→)）＝eq\o（A1C1，\s\up14(→））＋eq\o(C1C，\s\up14(→)）＝eq\o(A1B1,\s\up14（→)）＋eq\o（A1D1,\s\up14(→))＋eq\o（C1C，\s\up14(→））＝eq\o(A1B1,\s\up14（→））＋eq\o(A1D1，\s\up14(→））－eq\o(AA1，\s\up14（→))＝a＋b－c.故选D。答案:D4．解析：eq\o（O′D,\s\up14（→)）＝eq\o（O′O，\s\up14(→）)＋eq\o（OD，\s\up14(→)）＝－eq\o（OO′，\s\up14（→))＋eq\f(1，2）（eq\o（OA，\s\up14(→））＋eq\o(OC,\s\up14(→））)＝eq\f（1,2）eq\o(OA,\s\up14（→））－eq\o（OO′,\s\up14(→）)＋eq\f(1,2）eq\o(OC，\s\up14(→）)＝eq\f（1，2）a－b＋eq\f(1,2）c。故选D。答案：D5．解析：如图，由已知eq\o(OG,\s\up14(→））＝eq\f(3，4）eq\o(OG1,\s\up14（→))＝eq\f（3,4）(eq\o(OA，\s\up14(→）)＋eq\o（AG1,\s\up14(→)）)＝eq\f(3，4)eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1(\o(OA，\s\up14（→))＋\f(1,3)\o(AB，\s\up14(→））＋\o(AC，\s\up14（→）)））＝eq\f（3，4)eq\o（OA，\s\up14(→)）＋eq\f(1,4)[(eq\o(OB,\s\up14（→）)－eq\o(OA,\s\up14（→））)＋（eq\o(OC，\s\up14(→）)－eq\o(OA,\s\up14（→）))］＝eq\f（1，4)eq\o(OA，\s\up14（→）)＋eq\f（1，4)eq\o(OB,\s\up14（→）)＋eq\f（1,4）eq\o(OC，\s\up14（→）)，从而x＝y＝z＝eq\f(1,4).故选A。答案：A6．解析：由正交基底的定义知,只有当向量a，b,c两两垂直时，才能成为空间向量的正交基底,故向量a,b,c的位置关系是两两垂直．答案：两两垂直7．解析:由向量的单位正交基底表示已知向量a的坐标为（2，－1，3)．答案：(2,－1,3）8．解析：设AC的中点为F，则eq\o(GE，\s\up14(→))＝eq\o(GB,\s\up14(→)）＋eq\o（BE,\s\up14（→）)＝eq\f(2,3)eq\o(FB,\s\up14（→))＋eq\f(3,4）eq\o（BD,\s\up14（→)）＝－eq\f(2，3)×eq\f（1，2)（eq\o（BC，\s\up14（→))＋eq\o（BA,\s\up14（→)））＋eq\f（3，4）eq\o（BD,\s\up14(→））＝－eq\f(1，3）(eq\o（AC，\s\up14（→)）－2eq\o(AB,\s\up14(→)）)＋eq\f(3,4)(eq\o（AD,\s\up14(→))－eq\o(AB，\s\up14（→）))＝－eq\f(1，3)eq\o(AC,\s\up14(→)）－eq\f（1，12)eq\o（AB,\s\up14（→）)＋eq\f(3,4)eq\o（AD，\s\up14(→））。答案：－eq\f(1，3)eq\o(AC,\s\up14（→))－eq\f(1，12)eq\o（AB，\s\up14（→))＋eq\f（3，4）eq\o(AD，\s\up14(→))9．解析:假设a＋b，b＋c，c＋a共面，则存在实数λ，μ使得a＋b＝λ(b＋c）＋μ（c＋a），所以a＋b＝λb＋μa＋（λ＋μ）c。因为｛a,b，c｝为基底,所以a，b,c不共面．所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝μ，，1＝λ，,0＝λ＋μ，））此方程组无解．所以a＋b，b＋c,c＋a不共面，所以{a＋b，b＋c，c＋a｝可以作为空间的一个基底．10．解析：（1)因为OA＝6，OC＝8,OO′＝5，所以点B′的坐标为（6，8，5)，从而eq\o（OB′,\s\up14（→）)＝（6,8,5)＝6i＋8j＋5k。(2)因为点C′的坐标是(0，8,5),所以eq\o(OC′,\s\up14(→）)＝(0,8,5）．11．解析：由题意得eq\o(OG，\s\up14(→))＝eq\o（OM,\s\up14（→））＋eq\o（MG,\s\up14（→))＝eq\f(1，2）eq\o(OA，\s\up14(→）)＋eq\f（3，4)eq\o(MN,\s\up14（→))＝eq\f（1，2）eq\o（OA,\s\up14（→）)＋eq\f(3，4）(eq\o(ON，\s\up14(→））－eq\o（OM，\s\up14（→）))＝eq\f(1，2)eq\o(OA,\s\up14(→)）＋eq\f（3，4)(eq\f(\o（OB，\s\up14（→）)＋\o（OC，\s\up14（→))，2)－eq\f（1，2）eq\o（OA，\s\up14（→))）＝eq\f（1，8)eq\o(OA,\s\up14（→）)＋eq\f(3,8)eq\o（OB，\s\up14(→))＋eq\f(3，8）eq\o（OC,\s\up14(→)）。答案:D12．解析：eq\o(B1M，\s\up14(→）)＝eq\o(AM,\s\up14（→)）－eq\o(AB1，\s\up14(→））＝eq\f(1,2）（eq\o(AB，\s\up14(→))＋Aeq\o(D,\s\up14(→））)－（eq\o（AB，\s\up14(→））＋eq\o（AA1,\s\up14(→)）)＝－eq\f（1,2)eq\o(AB,\s\up14(→））＋eq\f(1,2)eq\o（AD,\s\up14（→））－eq\o（AA1,\s\up14(→)）＝－eq\f(1，2）a＋eq\f(1，2)b－c。答案：－eq\f（1，2)a＋eq\f(1,2）b－c13．解析：（1）eq\o（A1F1，\s\up14（→))－eq\o(EF，\s\up14(→）)－eq\o（BA,\s\up14(→））＋eq\o（FF1，\s\up14(→)）＋eq\o(CD,\s\up14(→))＋eq\o（F1A1,\s\up14(→))＝eq\o(AF,\s\up14（→）)＋eq\o(FE，\s\up14（→））＋eq\o(AB，\s\up14（→))＋eq\o(BB1,\s\up14(→））＋eq\o(CD，\s\up14(→)）＋eq\o(DC,\s\up14(→）)＝eq\o（AE,\s\up14（→））＋eq\o(AB1，\s\up14(→））＋0＝eq\o(AE,\s\up14(→)）＋eq\o（ED1，\s\up14(→))＝eq\o(AD1,\s\up14（→））。eq\o（AD1,\s\up14（→））在图中所示如下：（2)eq\o（DE，\s\up14(→))＋eq\o(E1F1，\s\up14（→))＋eq\o(FD,\s\up14（→)）＋eq\o（BB1，\s\up14（→)）＋eq\o(A1E1，\s\up14(→））＝eq\o(DE，\s\up14(→））＋eq\o（EF,\s\up14（→)）＋eq\o(FD，\s\up14(→))＋eq\o（BB1,\s\up14（→))＋eq\o（B1D1,\s\up14（→)）＝0＋eq\o（BD1,\s\up14（→)）＝eq\o（BD1，\s\up14(→)）.eq\o(BD1，\s\up14(→）