任意角的三角函数教学设计

教学设计方案课程任意角的三角函数课程标准在《课程标准》中：三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。教学内容分析高一年《普通高中课程标准教科书·数学（必修4）》（人教版A版）1.2.1任意角的三角函数第一课时。本节课是三角函数这一章里最重要的一节课，它是本章的基础，主要是从通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，从而很好理解任意角的三角函数的定义。在《课程标准》中：三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。《课程标准》还要求我们借助单位圆去理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。在本模块中，学生将通过实例学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有变化规律的问题中的作用。教学目标知识目标：1.掌握任意角的三角函数的定义；2.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值；3.记住三角函数的定义域、值域，诱导公式（一）。能力目标：（1）理解并掌握任意角的三角函数的定义；（2）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数；（3）通过对定义域，三角函数值的符号，诱导公式一的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力。德育目标：（1）使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）的一种联系方式；（2）学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；学习目标1．能说出任意角的正弦、余弦、正切的定义，记住正弦、余弦、正切函数的定义域、值域；2．会由角终边上的一点，求角的各三角函数值；3．经历由锐角三角函数到任意角三角函数的定义过程，体会数与形结合，以及类比、运动、变化、对应等数学思想方法．学情分析学生在初中阶段曾经研究过锐角三角函数，其研究范围是锐角；其研究方法是几何的，没有坐标系的参与；其研究目的是为解直角三角形服务。以上三点都是与本课时不同的，因此在教学过程中要发展学生的已有认知经验，发挥其正迁移。重点、难点教学重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号），以及这三种函数的第一组诱导公式。公式一是本小节的另一个重点。教学难点：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用他们的集合形式表示出来.教与学的媒体选择准备在计算机的支持下，利用几何画板动态地研究任意角与其终边和单位圆交点坐标的关系，构建有利于学生建立概念的“多元联系表示”的教学情境，使学生能够更好地数形结合地进行思维．课程实施类型√偏教师课堂讲授类偏自主、合作、探究学习类备注教学活动步骤序号1一、复习引入：初中锐角的三角函数是如何定义的？2二、讲解新课：1．三角函数定义32．三角函数的定义域、值域43．例题分析例1．求下列各角的四个三角函数值：（通过本例总结特殊角的三角函数值）（1）；（2）；（3）．例2．已知角α的终边经过点，求α的四个函数值。例3．已知角α的终边过点，求α的三个三角函数值。4．三角函数的符号5．诱导公式例5．求下列三角函数的值：（1），（2），例6．求函数的值域5三、小结：本节课学习了以下内容：6四、巩固与练习教学活动详情教学活动1：复习锐角三角函数的定义活动目标锐角三角函数的定义解决问题帮助学生回顾熟悉初中锐角三角函数的定义．技术资源PPT课件：建立图形与比例数据间的关系常规资源教材，学生在稿纸上的推算活动概述在初中，我们已经学过锐角三角函数．如图1，在直角△POM中，∠M是直角，那么根据锐角三角函数的定义，∠O的正弦、余弦和正切分别是什么？教与学的策略教师提出问题，学生回答．反馈评价对提出的问题学生都能积极回顾思考，但基础薄弱的学生思维反映慢，不知所云。教师要提醒提示学生。教学活动2：认识任意角三角函数的定义活动目标会求任意角的三角函数值解决问题引导学生将锐角三角函数推广到任意角三角函数．技术资源PPT+几何画板常规资源师生互动，活动概述问题2：在上节教科书的学习中，我们已经将角的概念推广到了任意角，现在所说的角可以是任意大小的正角、负角和零角．那么任意角的三角函数又该怎样定义呢？教与学的策略在教学中，可以根据学生的实际情况，利用下列问题引导学生进行思考：（1）能不能继续在直角三角形中定义任意角的三角函数？以此来引导学生在平面直角坐标系内定义任意角的三角函数．如果学生仍然不能想到借助平面直角坐标系来定义，那么可以进一步提出下列问题来启发学生进行思考：（2）在上节教科书中，将锐角的概念推广到任意角时，我们是把角放在哪里进行研究的？进一步引导学生在平面直角坐标系内定义任意角的三角函数．在此基础上，组织学生讨论：（3）如图2，在平面直角坐标系中，如何定义任意角α的三角函数呢？如果学生仍用直角三角形边长的比值来定义，则可以作下列引导：（4）终边是OP的角一定是锐角吗？如果不是，能利用直角三角形的边长来定义吗？如图3，如果角α的终边不在第I象限又该怎么办？（5）我们知道，借助平面直角坐标系，就可以把几何问题代数化，比如把点用坐标表示，把线段的长用坐标算出来．我们还是回到锐角三角函数的问题上，大家能不能用平面直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示定义式中的三条边长呢？渗透数形结合的思想．（6）利用平面直角坐标系中角的终边上的点的坐标来定义有什么好处？问题3：大家有没有办法让所得到的定义式变得更简单一点？设计意图：为引入单位圆进行铺垫．师生活动：教师提出问题后，可组织学生展开讨论．在学生不能正确回答时，可启发他们思考下列问题：（1）我们在定义1弧度的角的时候，利用了一个什么图形？所用的圆与半径大小有关吗？用半径多大的圆定义起来更简单易懂些？（2）对于一个三角函数，比如y＝sinα，它的函数值是由什么决定的？那么当一个角的终边位置确定以后，能不能取终边上任意一点来定义三角函数？取哪一点可以使得我们的定义式变得简单些？怎样取？加强与几何的联系．问题4：大家现在能不能给出任意角三角函数的定义了？设计意图：引导学生在借助单位圆定义锐角三角函数的基础上，进一步给出任意角三角函数的定义．师生活动：由学生给出任意角三角函数的定义，教师进行整理．问题5：根据任意角三角函数的定义，要求角α的三个三角函数值其实就是分别是求什么？设计意图：让学生从中体会，用单位圆上点的坐标定义三角函数不仅简化了定义式，还更能突出三角函数概念的本质．师生活动：在学生回答问题的基础上，引导学生利用定义求三角函数值反馈评价大部分学生都能理解任意角的三角函数定义，但少部分学生需在教师耐心指导下才能理解教学活动3：典型例题分析活动目标加深对定义的理解与应用解决问题会求任意角的三角函数技术资源PPT+几何画板常规资源讲练结合活动概述将确定函数值的符号与求函数值这两个问题合在一起，通过应用公式一解决问题，让学生熟悉和记忆公式一，并进一步理解三角函数的概念．教与学的策略例1．求下列各角的四个三角函数值：（通过本例总结特殊角的三角函数值）（1）；（2）；（3）．解：（1）因为当时，，，所以，，，不存在。（2）因为当时，，，所以，，，不存在，（3）因为当时，，，所以，，不存在，，例2．已知角α的终边经过点，求α的四个函数值。解：因为，所以，于是；；；．从最简单的问题入手，通过变式，让学生学习如何利用定义求不同情况下函数值的问题，进而加深对定义的理解，加强定义应用中与几何的联系，体会数形结合的思想．例3．已知角α的终边过点，求α的四个三角函数值。解：因为过点，所以，当；；当；；．4．三角函数的符号由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：①正弦值对于第一、二象限为正（），对于第三、四象限为负（）；②余弦值对于第一、四象限为正（），对于第二、三象限为负（）；③正切值对于第一、三象限为正（同号），对于第二、四象限为负（异号）．说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值。练习：确定下列三角函数值的符号：（1）；（2）；（3）；（4）．通过问题的解决，熟悉和记忆函数值在各象限的符号的变化规律，并进一步理解三角函数的概念．例4．求证：若且，则角是第三象限角，反之也成立。5．诱导公式由三角函数的定义，就可知道：终边相同的角三角函数值相同。即有：，，其中．，这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函数值问题．例5．求下列三角函数的值：（1），（2），例6．求函数的值域解：定义域：cosx0∴x的终边不在x轴上又∵tanx0∴x的终边不在y轴上∴当x是第Ⅰ象限角时，cosx=|cosx|tanx=|tanx|∴y=2…………Ⅱ…………,|cosx|=cosx|tanx|=tanx∴y=2…………ⅢⅣ………,|cosx|=cosx|tanx|=tanx∴y=0巩固练习教科书P.20习题1.2A组第1，2，3（1）、（3），4（1）、（3），5，6（1）、（2）、（3），7（1）、（3），8（1）、（3），9题．反馈评价通过应用三角函数的定义，熟悉和记忆特殊角的三角函数值、三角函数值的符号、公式一，以及求三角函数值，加强对三角函数概念的理解与掌握．观察学生的练习，仍然有部分学生对象限角的符号不熟练。小结初中我们是利用直角三角形边的比值来表示其锐角的三角函数．通过今天的学习，我们知道任意角的三角函数虽然是锐角三角函数的推广，但它与解三角形已经没有什么关系了．我们是利用单位圆来定义任意角的三角函数，借助直角坐标系中的单位圆，我们建立了角的变化与单位圆上点的变化之间的对应关系，进而利用单位圆上点的坐标或坐标的比值来表示圆心角的三角函数．你能再回顾一下我们是如何借助单位圆给出任意角三角函数的定义吗？其它教学反思任意角的三角函数是三角函数这一章里最重要的一节课，是本章的基础。因此本节课的重点放在了任意角的三角函数的理解上。在本节课的开头以学生所熟悉的直角三角形的锐角入手，引导学生尝试探究，逐步深入，引出任意三角函数的定义，以问题的形式巩固深化任意角三角函数值的计算。引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，让学生在活动中体验数学与社会的联系，新旧知识的内在联系。通过任意角三角函数的定义，启发学生找到各个三角函数在每个象限的符号以及在坐标轴上的值。并用“一全正，二正弦，三余弦，四正切”这一句话来概括了各个象限的符号。在例题的设置上，例1是已知一个角终边上一点的坐标，求这个角的三个三角函数值。通过这个例题的练习，让学生更好地巩固了任意三角函数的定义，会求任意一个角的三角函数。例2和例3的设置是让学生进一步熟记各个三角函数在每个象限的范围以及坐标轴上的值。例4是把几个三角函数组合在一起，形成一个新的函数，结合函数的表达形式求定义域，能够让学生反过来已知三角函数值的符号去判断角的大小。四个立体的设置让学生更好地掌握任意角的三角函数，为以后的学习打下基础。《标准》把发展学生的数学应用意识和创新意识作为其目标之一,在教学中不仅要突出知识的来龙去脉还要为学生创设应用实践的空间,促进学生在学习和实践过程中形成和发展数学应用意识,提高学生的直觉猜想、归纳抽象、数学地提出、分析、解决问题的能力,发展学生的数学应用意识和创新意识,使其上升为一种数学意识,自觉地对客观事物中蕴涵的一些数