2020版 广西人教版数学（理）一轮复习单元质检五 平面向量、数系的扩充与复数的引入

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精单元质检五平面向量、数系的扩充与复数的引入(时间：45分钟满分：100分)单元质检卷第10页

一、选择题（本大题共12小题,每小题6分,共72分）1.(2018浙江，4)复数21-i(i为虚数单位）的共轭复数是A.1+i B。1—i C.—1+i D.-1-i答案B解析∵21-i=∴复数21-i的共轭复数为12。已知O是△ABC所在平面内一点,D为边BC的中点，且2OA+OB+OC=0,A。AO=2OD B.AOC。AO=3OD D.2AO答案B解析由2OA+OB+OC=0,得OB+OC=-即OB+OC=2OD=2AO，所以OD=AO3。若非零向量a，b满足a⊥（2a+b)，且a与b的夹角为2π3，则|a|A。12 B。14 C.32答案B解析∵a⊥（2a+b),且a与b的夹角为2π3，∴a·（2a+b)=2a2+a·b=2｜a｜2-12｜a｜｜b|=0.又｜a|≠0，|b∴2｜a|=12｜b｜,∴|a||4.已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°,则BD·CD=(A。-32a2 B。-34aC.34a2 D.32答案D解析如图,设BA=a，BC=b,则BD·CD=（BA+BC)·BA=(a+b)·a=a2+a·b=a2+a·a·cos60°=a2+12a25。（2018河北衡水中学模拟)已知复数z=a+a+i3-i（a∈R,i为虚数单位)，若复数z的共轭复数的虚部为—12，则复数A。第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D。第四象限答案A解析由题意,得z=a+a+i3-i=a+(又复数z的共轭复数的虚部为-12∴—a+310=-12,解得a=2.∴∴复数z在复平面内对应的点位于第一象限。6.已知向量OA=(2,2)，OB=(4，1）,在x轴上存在一点P使AP·BP有最小值,则点P的坐标是(A。(—3，0） B。(2，0） C.(3，0) D.(4,0）答案C解析设点P坐标为（x，0),则AP=（x-2,—2），BP=(x-4，-1）,AP·BP=(x-2）(x—4)+（-2）×(-1)=x2-6x+10=（x—3）2+当x=3时，AP·BP有最小值故点P坐标为(3,0）.7.已知向量a=（1，2），b=(1,0）,c=（3,4)，若λ为实数，(b+λa)⊥c,则λ的值为()A。—311 B。—113 C。12答案A解析由题意,得b+λa=(1,0）+λ(1，2）=(1+λ，2λ）.因为c=(3，4）,（b+λa）⊥c,所以(b+λa）·c=0，即（1+λ,2λ）·(3,4)=3+3λ+8λ=0,解得λ=-311，故选A8.已知向量a，b满足｜a|=1，|b|=2,且向量a,b的夹角为π4。若a-λb与b垂直,则实数λ的值为(A.-12 B.12 C.-24答案D解析因为a-λb与b垂直，且a·b=1×2×cosπ4=2,所以(a-λb）·b=2—4λ=0,解得λ=249.（2018四川重庆二诊）已知向量a,b满足|a-b|=3，且b=(0,-1)。若向量a在向量b方向上的投影为-2，则｜a｜=（）A.2 B。23 C。4 D。12答案A解析由|a—b|=3，得|a-b｜2=（a—b）2=a2-2a·b+b2=9,所以a·b=|a由向量a在向量b方向上的投影为-2,得a·b即｜a|2=4,所以｜a|=2，故选A.10。已知向量OB=（2,0），向量OC=（2，2),向量CA=（2cosα，2sinα),则向量OA与向量OB的夹角的取值范围是(）A.0,π4 B。π4,5答案D解析由题意，得OA=OC+CA=(2+2cosα，2+2所以点A的轨迹是圆（x-2）2+（y—2)2=2，如图,当A为直线OA与圆的切点时,向量OA与向量OB的夹角分别达到最大值和最小值,故选D。11.已知|OA｜=｜OB|=2，点C在线段AB上,且|OC｜的最小值为1,则｜OA-tOB｜(t∈R)的最小值为()A.2 B.3 C。2 D.5答案B解析依题意,可将点A,B置于圆x2+y2=4上;由点C在线段AB上,且|OC|的最小值为1,得原点O到线段AB的距离为1,∠AOB=180°-2×30°=120°,（OA—tOB）2=4+4t2-2t×22cos120°=4t2+4t+4=4t+122+3的最小值为3,因此|OA-tOB12。已知平面向量a，b，｜a｜=1，｜b｜=2,且a·b=1.若e为平面单位向量，则（a+b）·e的最大值为(）A。6 B.6 C。7 D。7答案C解析（a+b)·e=a·e+b·e≤|a·e｜+|b·e|=a·e|e|+b·e|e|,其几何意义为a在e方向上的投影的绝对值与b在e方向上的投影的绝对值的和,当e与a+b共线时,取得最大值，(｜a·e|+｜b·e｜)max=｜a+b|=|a二、填空题（本大题共4小题,每小题7分，共28分）13.已知i为虚数单位,且复数z满足(z-i)(1+i)2+i答案17解析由(z-i)(1+i)2+i=2i，得z=所以|z｜=1214.在矩形ABCD中，AB=2,BC=1,E为BC的中点，若F为该矩形内（含边界）任意一点，则AE·AF的最大值为答案9解析以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,则E2,设F（x,y)，则0≤x≤2,0≤y≤1，则AE·AF=2x+1令z=2x+12y，当z=2x+12y过点（2，1)时，AE·15。已知正方形ABCD的边长为1，P为正方形ABCD内一点，则(PA+PB)·（PC+PD)答案—1解析如图,建立平面直角坐标系.则A(0,1)，B(0，0),C（1,0）,D（1，1）.设P(x，y）,则PA=(-x,1—y)，PB=(—x，—y），PC=(1—x,—y）,PD=(1-x,1—y）,（PA+PB)·（PC+PD)=(—2x，1—2y）·［2(1-x),1-2y]=（1-2y)2—4(1-x）x=（1—2y）2+(2x—当x=12，y=12时，(PA+PB）·（PC+PD)16.在平面直角坐标系中，已知A（1，0),B（0,—1),P是曲线y=1-x2上的一个动点，则BP·答案[0，2+1]解析如图，画出函数y=1-x这是以O(0，0）为圆心，以1为半径的一个半圆。不妨用虚线把这个半圆补充为一个圆。设BP与BA的夹角为θ,则θ∈［0°，90°当θ∈［0°，45°］时,cos(45°—θ)=|BP当θ∈［45°，90°]时，cos（θ-45°)=|BP因为y=cosx，x∈R是偶函数，所以｜BP｜=2cos(θ—45°）,θ∈[0°,90°］。BP·BA=｜BP｜|BA|cos=22cos（θ-45°)cosθ=2cos2θ+2sinθcosθ=sin2θ+cos2θ+1=2sin（2θ+45°)+1。因为θ∈［0°，90°],所以2θ+45°∈[45°,225°］.当2θ+45°=9