1.数学思想方法的一般概念与认识

PAGEPAGE1数学思想方法的一般概念与认识九江市同文中学敖强良好的认识结构的纽带，是将知识转化为能力的桥梁。通过对数学知识的考查，反映考生对数学思想和方法的理解，要从学科的整体意义和思想价值立意，注重通性通法，淡化特殊技巧，有效地检测考生对中学数学知识中蕴含的数学思想和方法的掌握程度。（实验法则、结论的发展过程和本质。数学课程要讲逻辑推理，更要讲道理，通过典型例子的分析和学生自主探索活动，使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，体会蕴涵在其中的思想方法。回顾近几年全国各地高考数学试题，无不体现“在考查基础知识的同时，注重对数学思想方法的考本文结合近几年全国各地高考试题对上述四种常用思想方法展开阐述.一、函数与方程思想概述和认识一直是高考的重点内容之一。在高考试卷上，与函数相关的试题所占比例始终在20%左右，且试题中既有一节内容，可见其重要所在。问题。这种思想方法在于揭示问题的数量关系的特征，重在对问题的变量的动态研究。方程的思想，就是分析变量间的等量关系，通过构造方程，从而建立方程（组）合组，或运用方程的性质去分析、转化问题，使问题得以解决。f(x0yf(xx轴的交点yf(xyf(x0；函数与不等式也可以相互转化，对于函数yf(x)y0f(x0，借助于函数的图像与性质可以解决不等式的有关问题，唯物主义观点，函数思想与方程思想是相辅相成的。条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，这是应用函数思想的关键。运用函数思想解题具体表现在1）遇到变量，构造函数关系，利用函数沟通知识间的联系（2）有（3）含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系，使问题得以解决4）等差、等比数列中，通项公式、前n项和公式都可以看成关于正整数n的函数，因此数列问题可以用函数思想解决（6）利用函数f(x)(ab)n(nN)用赋值法或比较系数法可以解决很多有关二项式定理的问题7）通过构造函数或建立函数关系，解决实际或应用问题。1）待定系数法：把待定的未知数与已知数等同看待来建立等式，得2）利用根与系数关系或根的判别式构造方程）通过设元（设未知数）（）将某些函数问题转化为方程问题。题，常借助函数与方程思想来处理，对此应予以重视。二、数形结合思想概述和认识思想方法解决问题比比皆是。（1（数量关系，如果用“纯代答2）“以数解形”：对于几何问题，如果用“纯几何”方法难以解决，常常建立恰当的坐标系，将反映两者中，一个为手段（方法，一个为目的，其中“以形助数”是数形结合的主要方面。形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。数形结合的主要方法：解析法、三角法、向量法、图解法等。数形结合的常见结合点：函数、不等式、数列、三角函数、平面向量、解析几何等。数形结合解题的常见思考途径（1）数转化为形，数形结合思想经常用来处理方程、不等式问题，一般有两个途径：①将代数式转化为几何式，构造几何图形；②构造函数，转化为两个函数图像的交点或者形转化为数，有关图形问题可通过建立恰当的直角坐标系，谋求用方程或不等式进行量化处理，即用代数方法解决几何问题，这是解析几何的基本特点（）数形结合，即用形研究数，用数研究形，相互结合，使问题变得直观、简捷。三、分类讨论思想概述和认识分类讨论是一种逻辑方法与数学思想，在高考中占有重要位置，其原因有：（1）分类讨论问题一般都覆盖较多知识点，具有较强的综合性、探索性，有利于知识面的考查有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性）它需要有一定的分析能力与分类技巧，有利于培养学生思维的条理性和概括性（）分类讨论思想与生产实践和高等数学都紧密相关。解分类讨论问题的实质是将整体问题化为若干个部分解决积零为整的思想与归类整理的方法，这正是分类讨论的根本原因。引起分类讨论的原因主要是以下几个方面：（1）问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如绝对值的定义、指对数函数的定义、直线的斜率（2）有范围或者条件限制，或者是分类给出的。如等比数列的前n项和的公式，分q1和q1两种情况，这种分类讨论题型可以称为性质型（3）解含有参数的题目时，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，（4）由数学运算要求引起的分类讨论，如利用不等式性质时注意使用条件等（5）较复杂的或非常规的数学问题，需要采取分类讨论的解题策略来解决的。证其完整性，使之具有确定性。进行分类讨论时要遵循的原则及其注意事项：（1被分类的对象的集合的全域是确定的2（4）（5）要注意简化或避免分类讨论，优化解题过程。解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：（1）（2）（3）行，获取阶段性结果（）最后进行归纳小结，综合得出结论。简化或避免分类讨论的优化策略常见的有：（1）直接回避：如反证法、逆求法、消参法等（）变更主元：如分离参数变参置换、构造以讨论对象为变量的函数形式解题（利用函数图像、几何图形和对称特点。四、等价转化思想概述和认识著名的数学家C.A.雅洁卡娅曾发表《什么叫解题》的演讲时提出：“解题就是把要解题转化为已经解化归为一个（或若干个）简单的、熟悉的、规范的问题，把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题，这就是“化归转化思想”，它要求解题中要善于换一个角度观察，换一种方式思考，换一种语言叙述，将会对问题的本质有着更明确、清晰的理解，达到解决或易于解决的目的。化归转化思想包含了数形结合、函数方程、分类讨论等数学思想，它们都是化归转化思想的具体反映；各种变换方法、分析法、反证法、待定系数法、构造法都是转化的手段。所以说，化归转化思想是数学思想的灵魂。化归转化有“等价转化”与“非等价转化”两种情况。等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要求，实施等价转化时确保其等价性，保证逻辑上的正确。化归转化思想方法具有灵活性和多样性，它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换；它可以在转化是将恒等变形在代数式方面的形变上升到保持命题的真假不变。尽管化归转化有许多形式、方法、技巧，但在什么情况下应该转化，采用怎样的形式与方法，却有一定的原则，具体表现为：熟悉化原则，即把陌生的问题转化为比较熟悉的问题来处理；简单化原则，即将较为繁琐、复杂的问题