实函与泛函分析

一.可分度量空间的概念、性质、到面、应用概念：设X是非空集，若有实泛函d:XXX-R，满足如下的度量公理：对一切x,y,zeX有（1）d（匚y）>0;且d（匚y）=0。x=y（严格正性）（2）d（x,y）=d（y,x）（对称性）（3）d（x,y）<d（x,z）+d（z,y）（三角不等式）则称d是X上的度量，d（x,y）为点x与y间的度量或者距离。定义了度量d的集X，称为度量空间。记为（X，d）。若度量空间X中存在可数的稠密子集Y，则称X是可分度量空间。在数学的一些分支，如微分方程、概率论、函数论以及经典数学物理和量子物理学中最常见到的一些度量空间往往是P方可积函数空间、连续函数空间，解析函数空间等等。它们都常常在给定的距离下成为可分度量空间。性质：性质1如果度量空间X0包含于可分的度量空间X中，则X0也是可分的。性质2不是所有的度量空间都是可分的。性质3设x是任意的可分度量空间，取覆盖空间x的开集系｛G」，则从系｛G｝中可以选出空间X的可分覆盖。性质4紧的度量空间是可分的。刻画度量空间X是可分的当且仅当X存在一个可数子集Y，对于每一个e>0和每个xeX，存在一个yeK，使得d（x,y）<£。4应用由于可分度量空间有在其中稠密的可列集，研究起来比较容易。当我们讨论这类空间的某些问题时，往往可以从空间中挑选出对那个问题最适宜的一个可列的稠密集，在这个稠密集上来进行考察。然后利用稠密性推广到整个空间上去。（1）研究可分度量空间上的连续性泛函表达式，就是先挑出适当的稠密

集，考察线性泛函在这个稠密集上的表示，然后再推广到全空间的表小可以在某些线性的可分度量空间上适当地引进某种维数的概念，使它成为可列维的。可以用线性可分空间中的一列有限维的子空间逼近原来的可分度量空间。y是Banach空间XC(X,[0,1])={f:f:X-[0,1]连续函数}(1)定义度量，并验证，性质、到画、应用(2)定义度量A,B),AB是C(X,[0,1])于集，性质、到(1)对C(X[0,1])中任意两点x和y，定义d(x,y)显然是非负的，又d(x,y)=0等价对于一切x(t)=y(t),所以x=y。此外，对所有的tgX成立。x(t)-z(t)1+suptGXx(t)-y(t)|<x(t)-z(t)|+zx(t)-z(t)1+suptGX所以，suptGsuptGXx(t)-y(t)|<suptGXx(t)-z(t)1+suptGX(2)对于A,BcC(X[0,1])，定义d(A,B)=infd(P,Q).d(A,B)显然是非负的，又d(A,B)=0等价于A=B。此外，d(A,C)=infd(P,Q)<inf(d(P,P)+d(P,Q))infd(P,P)+infd(P，，Q)PGA,P'GBP'GB,QGCd(A,B)+d(B,C)三.体会通过对实函与泛函分析课程的学习，让我知道了实函与泛函分析是现代数学中一个较新的重要分支。他起源于经典数学和物理中的一些变分问题和边值问题。并且通过对他们的学习，让我能够综合运用分析的、代数的和几何的观点和方法对数学，物理等一些学科的问题有了更缜密，更具有逻辑的分析与解决。但是由于泛函分析的概念比较抽象而且比较难懂，涉及的知识也比较广泛和深刻，学起来比较困难。并且越看是简单的，平时都作为正确的理论和结论，让证明的时候，还真不知道怎么去证明，越是抽象的越具有普遍性的问题，分析起来就感觉要稍困难些。但我觉得遇到困难还是要有信心，必须静下心来慢慢