推荐学习高中数学第四章导数及其应用4.4生活中的优化问题举例基础达标湘教版选修2-2

生活的色彩就是学习生活的色彩就是学习K12的学习需要努力专业专心坚持K12的学习需要努力专业专心坚持生活的色彩就是学习K12的学习需要努力专业专心坚持4．4生活中的优化问题举例eq\a\vs4\al\co1(基础达标限时20分钟)1．设底为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为 ()A.eq\r(3,V) B.eq\r(3,2V)C.eq\r(3,4V) D．2eq\r(3,V)解析设底面边长为x，则表面积S＝eq\f(\r(3),2)x2＋eq\f(4\r(3),x)V(x>0)，S′＝eq\f(\r(3),x2)(x3－4V)，令S′＝0，得唯一极值点x＝eq\r(3,4V).答案C2．某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x的关系是R(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(x3,900)＋400x，0≤x≤390，,90090，x＞390，))则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是 ()．A．150 B．200C．250 D．300解析∵总利润P(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(x3,900)＋300x－20000，0≤x≤390，,90090－100x－20000，x＞390，))由P′(x)＝0，得x＝300，故选D.答案D3．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k>0)，贷款的利率为0.048，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x(x∈(0,0.048))，则x为多少时，银行可获得最大收益 ()．A．0.016 B．0.032C．0.024 D．0.048解析依题意：存款量是kx2，银行应支付的利息是kx3，贷款的收益是0.048kx2，其中x∈(0,0.048)．所以银行的收益是y＝0.048kx2－kx3(0<x<0.048)，由于y′＝0.096kx－3kx2，令y′＝0得x＝0.032或x＝0(舍去)，又当0<x<0.032时，y′>0；当0.032<x<0.048时，y′<0，所以当x＝0.032时，y取得最大值，即当存款利率为0.032时，银行可获得最大收益．答案B4．正三棱柱体积为16，当其表面积最小时，底面边长a＝________.解析表面积：S＝eq\f(\r(3),2)a2＋eq\f(64\r(3),a)(a>0)，S′＝eq\r(3)a－eq\f(64\r(3),a2)，令S′＝0，得唯一极值点，a＝eq\r(3,64)＝4.答案45．某商品一件的成本为30元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出(200－x)件，当每件商品的定价为________元时，利润最大．解析利润为S(x)＝(x－30)(200－x)＝－x2＋230x－6000，S′(x)＝－2x＋230.由S′(x)＝0得x＝115，这时利润达到最大．答案1156．(2011·福建)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝eq\f(a,x－3)＋10(x－6)2，其中3<x<6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．①求a的值；②若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．解①因为x＝5时，y＝11，∴eq\f(a,2)＋10＝11，∴a＝2.②由①知，y＝eq\f(2,x－3)＋10(x－6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)＝(x－3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,x－3)＋10x－62))＝2＋10(x－3)(x－6)2,3<x<6.∴f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)．当3<x<4时，f′(x)>0；4<x<6时，f′(x)<0.∴f(x)在(3,4)上递增，(4,6)上递减．当x＝4时，f(x)取得最大值，f(4)＝42.即当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得利润最大．∴x＝1时，V取得最大值．∴高为3.2－2×1＝1.2(m)答案1.2m10．将长为l的铁丝剪成2段，各围成长宽之比为2∶1及3∶2的矩形，则面积之和的最小值为________．解析设前者宽为x，面积之和为y，则y＝2x·x＋eq\f(1,5)(l－6x)eq\f(3,10)(l－6x)＝eq\f(104,25)x2－eq\f(18,25)lx＋eq\f(3,50)l2，y′＝eq\f(208,25)x－eq\f(18,25)l.令y′＝0得，x＝eq\f(9,104)l.∴y的最小值为y|x＝eq\f(9,104)l＝eq\f(3,104)l2.答案eq\f(3,104)l211．(2011·江苏)请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形，斜边的两个端点，设AE＝FB＝x(cm)．①某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？②某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．解设包装盒的高为hcm，底面边长为acm.则a＝eq\r(2)x，h＝eq\f(60－2x,\r(2))＝eq\r(2)(30－x)，0<x<30.①S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1800，所以，当x＝15时，S取得最大值．②V＝a2h＝2eq\r(2)(－x3＋30x2)，V′＝6eq\r(2)x(20－x)．令V′＝0得x＝0或x＝20.当0<x<20时，V′>0；当20<x<30时，V′<0.所以，当x＝20时，V取得极大值，也是最大值．此时eq\f(h,a)＝eq\f(1,2).即包装盒的高与底面边长的比值为eq\f(1,2).12．(创新拓展)(2011·山东)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为eq\f(80π,3)立方米，且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元．设该容器的建造费用为y千元．①写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；②求该容器的建造费用最小时的r.解①设容器的容积为V，由题意知V＝πr2l＋eq\f(4,3)πr3，又V＝eq\f(80π,3)，∴l＝eq\f(V－\f(4,3)πr3,πr2)＝eq\f(4,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(20,r2)－r)).由于l≥2r，∴eq\f(4,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(20,r2)－r))≥2r，∴0<r≤2.所以建造费用y＝2πrl×3＋4πr2c＝2πr×eq\f(4,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(20,r2)－r))×3＋4πr2c因此，y＝4π(c－2)r2＋eq\f(160π,r)，0<r≤2.②由①知y′＝8π(c－2)r－eq\f(160π,r2)＝eq\f(8πc－2,r2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(r3－\f(20,c－2)))，由于c>3，∴c－2>0.由y′＝0得r＝eq\r(3,\f(20,c－2))若0<eq\r(3,\f(20,c－2))<2，即c>eq\f(9,2)时，此时0<r<eq\r(3,\f(20,c－2))时，y′<0，eq\r(3,\f(20,c－2))<r<2时，y′>0.