2022-2023学年内蒙古乌兰察布市集宁区北京八中乌兰察布分校数学高三上期末调研试题含解析

2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷注意事项：12．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。在声学中，声强级L（单位：dB）由公式L101g I 给出，其中I为声强（单位：W/m2）.

60dB， 1012 1L 75dB2

1（ ）IIIA． 4

2B．4 C．3

D．3105

105

2 102下列函数中，既是偶函数又在区间0,

上单调递增的是（ ）y

x B．fxxsinx

C．fxx2x D．yx1x2y26x70y22pxp0p的值为（）1B．2 C．2

D．4下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色，其面积称为朱实、黄实，利用2勾股股-)24朱实，化简，得2股2弦2设勾股形中勾股比为1: 3，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计，则落在黄色图形内的图钉数大约为（ ）A．134 B．866 C．300 D．500已知等比数列n

的前n

，且满足2Sn

2n1，则的值是( )A．4 B．2 C．D．若各项均为正数的等比数列n

满足a3

3a1

2a2

，则公比q（ ）A．1 B．2 C．3 D．4 y2cos2x1的图像向左平移mm0个单位长度后，得到的图像关于坐标原点对称，则m 2 8 最小值为（ ）A． B．3 4

C． D．2哥德巴赫猜想2素数之和，也就是我们所谓的“1+1”问题1742的证明中做出相当好的成若将6拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为（ ）1 1A． B．5 3

3 2D．5 3今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先等级较高的二等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金（）1 1A．多1斤 B．少1斤 C．多斤31x

D．少斤3f(x)x

1x

，则函数的图像可能为（ ）A． B． C． D．11．已知a(1,2)，b(m,m3)，c(m2,1)，若a//b，则bc（ ）A．7 B．C．3 D．71 1已知无穷等比数列}的公比为2，且lim(

1 )

2，则lim(11 1)（ ）n na a1 31 2

a2n1

3 na a a2 4 2n4B．3 3D．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。如图，四面体ABCD的一条棱长为x，其余棱长均为1，记四面体ABCD的体积为F(x)，则函数F(x)的单调增区间是 ；最大值为 .某几何体的三视图如图所示（单位： ，则该几何体的表面积 ，体积是 .已知抛物线C:y24x的焦点为F，过点F且斜率为1的直线l交抛物线C于M,N两点，b若线段MN的垂直平分线与x轴交点的横坐标为a，则ab的值为 .

MFNF，2f(x)lnxg(x)

4e2(xa)2

如果函数h(x)f(x)g(x)有三个零点则实数a的取值范围 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）如图在棱锥PABCD中，ABCD为矩形，PD面ABCD，PB2,BPC45,PBD30.PBEPCADEE点位置，若不存在，请说明理由；EPBPAED的余弦值.18（12分）每年3月20日是国际幸福日某电视台随机调查某一社区人们的幸福度．现从该社区群中随机抽取18名用“10分制小数点后的一位数字为8.5分很幸福”．(Ⅰ)求从这18人中随机选取3人,至少有1人是“很幸福”的概率；(Ⅱ)18若从该社区人数很多3人X表示抽到很幸福的人数,XEX．19（12分已知ABC满足 且b ，A

求sinC的值及ABC的面.从①B ②a 3，3 4a3 2sinB.）20（12分）已知函数fx和gx的图象关于原点对称，且fxx22x．xgxfxx1；如果对xRgxcfxx1恒成立，求实数c的取值范围．21（12分）已知02

，函数fx 3sin2xcos2x．2（1）若3

，求fx的单调递增区间；（2）

1，求sin的值．6 4 22（10分）已知a，b均为正数，且ab1证明：（1）a2b2

2(11)；2 a b(b（2）

(a

8.a b参考答案125601、D【解析】 I L I由L101g 得lgI 12，分别算出I和

的值，从而得到1的值.1012 10

1 2 I2【详解】∵L101g I ， 1012∴L10Ilg101210I12，∴lgI

L12，10L当L60时，lgI 1126012，∴IL

106，1 1 10 10 1当L 75时，lgI

21275124.5，∴I

104.5，L2 LI 106

10 10 23∴1I2

104.5

1.5

102，【点睛】本小题主要考查对数运算，属于基础题.2、C【解析】结合基本初等函数的奇偶性及单调性，结合各选项进行判断即可.【详解】xA：yx

为非奇非偶函数，不符合题意；Bfxxsinx在上不单调，不符合题意；Cyx2x为偶函数，且在上单调递增，符合题意；D：yx1为非奇非偶函数，不符合题故选：C.【点睛】3、B【解析】因为圆x2y26x70与抛物线y22pxp0的准线相切，则圆心为3,，半径为，根据相切可知，圆心p2B.【详解】请在此输入详解！4、A【解析】分析：设三角形的直角边分别为1，解析：设三角形的直角边分别为1，

，利用几何概型得出图钉落在小正方形内的概率即可得出结论.333，则弦为2，故而大正方形的面积为4，小正方形的面积为342 .333图钉落在黄色图形内的概率为4232 3.4 2落在黄色图形内的图钉数大约为10002 3134.2故选：A.点睛：应用几何概型求概率的方法建立相应的几何概型，将试验构成的总区域和所求事件构成的区域转化为几何图形，并加以度量．一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在数轴上即可；坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；标系即可建立与体积有关的几何概型．5、C【解析】Sa，然后计算出结果.n n【详解】根据题意，当n12S1

2a1

4,

42,n2anSnSn12n1,数列

是等比数列,n则a1，故1

42

1,解得2,故选C.【点睛】本题主要考查了等比数列前nSn6、C【解析】由正项等比数列满足a

，即aq2

3a

2aq，又

0，即q22q30，运算即可得解.3 1 2 1 1 1 1【详解】解：因为a

aq2

3a

2aq

0，所以q22q30，3 1 2 1 1 1 1又q0，解得q3.【点睛】本题考查了等比数列基本量的求法，属基础题.7、B【解析】

ycosx长度，即为答案.

4，要想在括号内构造2变为正弦函数，至少需要向左平移4个单位【详解】y2cos2x1cos2xcosx个单位长度后，2 8

2 8

4 4

ycosx

44cosx

2sinx，其图像关于坐标原点对称 m4故选：B【点睛】8、A【解析】6的正整数式子，找到加数全部为质数的只有336.【详解】6拆成两个正整数的和含有的基本事件有:(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),而加数全为质数的有(3,3),根据古典概型知，所求概率为P1.5A.【点睛】9、C【解析】设这十等人所得黄金的重量从大到小依次组成等差数列a

则aa a

aa

3，由等差数列的性4a＝a

a a 411 ，

n 1 2 3

8 9 102 3 9故选C10、B

2 9 3 3【解析】A,A,C 根据函数为偶函数排除 ，再计算f( )2

1ln30排除D得到答案.2【详解】f(x)xln1x(1,1)1x1x 1f(x)xln xln

f(xA,C1x 1x1 1f( ln30D2 2故选B【点睛】本题考查了函数图像，通过函数的单调性，奇偶性，特殊值排除选项是常用的技巧.11、B【解析】由平行求出参数m，再由数量积的坐标运算计算．aa//b2m

(m3)0，则m3，b(3,6)c(1,1)，所以bc363．故选：B．【点睛】本题考查向量平行的坐标表示，考查数量积的坐标运算，掌握向量数量积的坐标运算是解题关键．12、A【解析】依据无穷等比数列求和公式，先求出首项a1

，再求出a2

，利用无穷等比数列求和公式即可求出结果。【详解】因为无穷等比数列{a

1 1}的公比为2，则无穷等比数列{ }的公比为。n a 2n由lim(1

1

111 )2a1

2，解得a

2a

4，na a1 3

a 32n1

11 3 1 24lim(11

11 4 1A。na a2 4

a 11 32n42n【点睛】本题主要考查无穷等比数列求和公式的应用。二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。626626213、(0, ](或写成(0, ))8【解析】试题分析：设ABx，取AB中点M则CMAB,DMAB,因此AB面CDM所以3x24 41 1 1 1 2 33x24 4F(x) xS

x 1

3x2x4，x(0, 3)因为yt,t(0,3)在(0, )单调递增，3 CDM 3 2 12 2最大值为9,所以F(x)单调增区间是(0, 6)，最大值为14 2 8考点：函数最值，函数单调区间14、 ，.【解析】试题分析：由题意得，该几何体为三棱柱，故其表面积 ，体积 ，故填： ，.考点：1.三视图；2.空间几何体的表面积与体积.15、1【解析】Mx,

Nx,

x

，由抛物线定义得焦点弦长，求1 1 2 2 1 2得bMN的垂直平分线方程，得a，从而可得结论．【详解】抛物线C:y2

4x的焦点坐标为，直线lyx1，yx1x26x10Mxy

,Nx,y，y24x

1 1 2 2则xx 6,yy

4,bMFNF 1x1x

14.1 2 1 2

2 2 1 2MNy21x3y0x5，所以a5，ab1.1．【点睛】16、【解析】首先把零点问题转化为方程问题，等价于lnx

4e2

xa

2e 即ax 2e(xa)2有三个零点，再运用函数的单调性结合最值即可求出参数的取值范围.【详解】

lnx lnxh(x)f(xg(x有三个零点，即lnx

4e2

x1，则有(ax)2

4e2

，可得(xa)2 lnxlnxxa 2lnx

ax

2e gxx

2e gxx

2elnxlnlnxlnxlnxlnxeg e lnxlnxe

2 2e0

ge2 e2e

，所以函数在区间

1,

上只有一解，对于函数

gxx 2e ，g'x1

3lnx20xelnxx

x

0，解得1xeg'

x

0xe

eee2ex1xxx，此时函数若有两个零点，则有a，综上可知，若函数h(x)f(xg(x有三个零点，则实数a的取值范围是.故答案为：3e,【点睛】本题考查了函数零点的零点，恰当的开方，转化为函数有零点问题，注意恰有三个零点条件的应用，根据函数的最值求解参数的范围，属于难题.3三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。317（）（）3【解析】（1）要证明PCADE，由已知可得AD⊥PC，只需满足DEPC0即可，从而得到点E为中点求出面ADE的法向量，面PAE的法向量，利用空间向量的数量积，求解二面角P﹣AE﹣D的余弦值．【详解】 法一：要证明PC⊥面ADE，易知AD⊥面即得AD⊥PC，故只需DEPC0即可，所以由DPPE PC0DPPCPEPC0PE 1即存在点E为PC中点 2法二：建立如图所示的空间直角坐标系D－XYZ，由题意知PD＝CD＝1，2CE

，设PE

PB

，PEPB2,1,1PCPCDEPCDPPE)0,112,10，得1，2即存在点E为PC中点.

2 1 12 22 22由（1）

0,0,0 ，A

2,0,0 ，

, ,

，P0,0,1DEPE 2 11 DEPE

1DA

2,0,0 ， , , ，PA 2,0,1，

, , 2 22 2 2 2ADE

x,y,

，面PAE的法向量为n

x,y,z1 1 1 1 2 2 2 2n

DA

2x0 11由的法向量为1

1 1 得n

0,1,1，nDE

2x y z0 1n2

10, 2

1 2 1 2 1所以cos

nn 31 1 ，n|n| 31 1故所求二面角P－AE－D的余弦值为3.3【点睛】本题考查二面角的平面角的求法，考查直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．19918【解析】

204

.(Ⅱ)见解析.(Ⅰ)18人中很幸福的有12人，可以先计算其逆事件，即3人都认为不很幸福的概率，再用1减去3人都认为不很幸福的概率即可；(Ⅱ)根据题意,随机变量X

2B 3, ，列出分布列，根据公式求出期望即可．3 3 【详解】(Ⅰ)A{抽出的3人至少有1人是很幸福的}A表示3人都认为不很幸福PA

1

A

C3C1 6C318

1 5 199204 204B3,B3,2 3

，X的可能的取值为0,1,2,3 13 1

2 12 2PX0C0 ；PX1C1 ；33 27 3 3 3 9 22 1 4 23 8PX2C2339；PX3C33273 3 所以随机变量X的分布列为：XX0123P1272949827XEX01

1224382【点睛】

27 9 9 2719、见解析【解析】选择①时：B4

,A2计算sinC 根据正弦定理得到a3计算面积得到答案选择②时 3，6 23 6 226b BA，A326

sinBsinB

C ，26 226 2根据正弦定理得到a3，计算面积得到答案.【详解】选择①时：B4

,A2，故sinCsinABsinAcosBcosAsinB 93 393 36 2a b a66

S1absinC .根据正弦定理：sinA sinB，故 ，故 2 4a

3，b

，故BA，A为钝角，故无解.2a32

sinB，根据正弦定理：

a b ，故sinA sinB2

3 2sinB363 2sinB36解得sinB

，sinCsinABsinAcosBcosAsinB .2626 2993 3根据正弦定理： ，故a3，故S absinC .sinA sinB 2 4【点睛】本题考查了三角恒等变换，正弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.20（1）1,1（2）92

8【解析】（）由函数fx和gx的图象关于原点对称可得gx的表达式，再去掉绝对值即可解不等式（）对Rgxcfxx1x12x2c，去绝对值得不等式组，即可求得实数c的取值范围.（）∵函数fx和gx的图象关于原点对称，∴gxfxx22x，∴原不等式可化为x2x2，即x12x2或x12x2，解得不等式的解集为1,1；2（2）gxcfxx1x12x2c，2x2cx12x2c，2x2xc0

18c0 9即

，则只需 ，解得，c的取值范围是, .33 22x2x1c33 2

181c 0

821（1）

k,

kkZ） .3 6

6【解析】yfxfx1sin2x1，然后解不等式 62 262k2x2 6

2kZyfx的单调递增区间；2

1得出sin

，并求出cos

的值，利用两角差的正弦公式可求出sin的值.36 4 3 3 3 3 【详解】

fx

3 sin 2x cos3

1 1cos2x33sin