新高考数学二轮复习解析几何专题讲与练第12讲轨迹方程问题(教师版)

第12讲轨迹方程问题一、问题综述教材中明确提出，解析几何研究两件事：（1）求曲线方程；（2）利用方程研究曲线的性质，求曲线方程或者求点的轨迹方程是解析几何所有问题的发端，应当给与足够的重视。其方法一般有：直接法、相关点法、定义法、参数法、交轨法，涉及到中点弦可用点差法等。下面我们通过具体题目回顾求轨迹方程的几种方法，同时分析那种方法在那种情况下较好一些，更适合我们。二、典例分析类型1：直接法【例1】设一动点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离到它到点SKIPIF1<0的距离之比为SKIPIF1<0，则动点SKIPIF1<0的轨迹方程是.解析：设SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.注：直接法的五个步骤简称：建系，集合，方程，化简，证明。其中建系，集合，证明往往可以省略，只需要方程和化简两个步骤。我们要留意证明，要保证曲线的方程的纯粹性和完备性.类型2：相关点法【例2】已知SKIPIF1<0,SKIPIF1<0分别为椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点，点SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0上的动点，则SKIPIF1<0的重心SKIPIF1<0的轨迹方程为.解析：依题意知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则由三角形重心坐标公式可得SKIPIF1<0,反解即SKIPIF1<0，代入椭圆SKIPIF1<0，得重心SKIPIF1<0的轨迹方程为SKIPIF1<0.注：相关点法，它一般是由已知点的轨迹方程来求未知点的轨迹方程，题目会给我们一个桥梁，或者是中点公式，或者是向量表达式，我们根据桥梁建立已知和未知的关系式，然后反解，用未知点来表示已知点，然后代入已知点的轨迹方程，可得未知点的轨迹方程，所以又称代入法。类型3：定义法【例3】已知圆SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0，动圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0外切并且与圆SKIPIF1<0内切，圆心SKIPIF1<0的轨迹为曲线SKIPIF1<0.求SKIPIF1<0的方程.解析：由已知得圆SKIPIF1<0的圆心为SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0；圆SKIPIF1<0的圆心为SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0.设圆SKIPIF1<0的圆心为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0.因为圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0外切并且与圆SKIPIF1<0内切，所以SKIPIF1<0.由椭圆的定义可知，曲线SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为SKIPIF1<0的椭圆(左顶点除外)，其方程为SKIPIF1<0.注：解析几何是用代数研究几何，但是究其本质还是几何，或者说几何性质是解析几何中简化运算最巧妙的手段，而几何图形最基本的几何性质就是定义，要善于发现题目中隐含的几何性质，善于从代数式中分析其几何特征，从而找到问题更简单的解法.类型4：参数法【例4】过平面直角坐标系内定点SKIPIF1<0作两条互相垂直的直线分别交SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0轴正半轴于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，求SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0的轨迹方程.解析：设过点SKIPIF1<0的一条直线为：SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0轴正半轴于SKIPIF1<0，其坐标为SKIPIF1<0，设过点SKIPIF1<0的另一条直线为：SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0轴正半轴于SKIPIF1<0，其坐标为SKIPIF1<0，由中点公式可得SKIPIF1<0的坐标为：SKIPIF1<0，消去参数SKIPIF1<0，可得：SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0不存在或者为SKIPIF1<0时，解得SKIPIF1<0满足此直线方程，所以SKIPIF1<0的轨迹方程为：SKIPIF1<0.注：求动点的轨迹方程，当动点的横纵坐标的关系比较难发现时，我们可以引入第三个量，也就是一个参数，来表示动点的横纵坐标，表示出来后，我们再“过河拆桥”，消掉参数，从而得到动点的轨迹方程。本题还可以采用向量的方法，利用向量的数量积为零，或者利用斜率之积等于SKIPIF1<0，或者利用中垂线的几何性质来解决.类型5：点差法【例5】过点SKIPIF1<0作一条直线交圆SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，求SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0的轨迹方程.解析：设SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0代入元的方程：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，两式做差，可得：SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，整理可得：SKIPIF1<0（在已知圆的内部）.注：本题涉及到中点弦问题，可以使用点差法，在直线与二次曲线相交的问题中，可以代点做差，因为相同的结构，会出现平方差公式，坐标之和可以转化为中点坐标，坐标之差可以转化为斜率，运算非常简洁.同时，本题还可以使用参数法，向量或者斜率之积，几何性质垂径定理等方法来解决.类型6：交轨法【例6】如图所示，动圆SKIPIF1<0,SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四点.点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0的左、右顶点，求直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0交点SKIPIF1<0的轨迹方程.解析：由椭圆SKIPIF1<0，知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，由曲线的对称性，得SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0.①直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0.②由①②相乘得SKIPIF1<0.③又点SKIPIF1<0SKIPIF1<0在椭圆SKIPIF1<0上，故SKIPIF1<0.④将④代入③得SKIPIF1<0.因此点SKIPIF1<0的轨迹方程为SKIPIF1<0.注：在本题中，求两直线交点的轨迹方程，直接运算比较困难，我们发现本题条件中的对称，就写出两条直线的方程，其结构也是对称的，若是只有一个参数，那么代入消参直接可解，现在是有两个参数，我们将结构相同的两条直线相乘得到二次式，利用椭圆的方程整体消参可以解得本题，这种方法称为交轨法，也可以认为是参数法的升级版.【方法小结】以上介绍了求曲线的方程的几种方法：直接法、相关点法、定义法、参数法、点差法、交轨法.求点的轨迹方程的关键是仔细审题，分析已知条件和曲线的特征，寻找曲线上动点满足的条件，然后转化为等式。要注意代数语言、向量语言、几何语言各自的适用范围以及优劣，最后要保证曲线的方程的纯粹性与完备性.三、巩固练习1.已知SKIPIF1<0是抛物线SKIPIF1<0的焦点，SKIPIF1<0是该抛物线上的动点，则线段SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0的轨迹方程是（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<02.在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0交于两点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为椭圆的左，右顶点，则直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点所在曲线方程为________.3.若动圆过定点SKIPIF1<0且和定圆SKIPIF1<0外切，则动圆圆心SKIPIF1<0的轨迹方程是_________.4.已知点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是⊙SKIPIF1<0上任意两个不同的点，且满足SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0为弦SKIPIF1<0的中点，求点SKIPIF1<0的轨迹SKIPIF1<0的方程；圆SKIPIF1<0的圆心为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是圆内一定点，SKIPIF1<0为圆周上任一点，线段SKIPIF1<0的垂直平分线与SKIPIF1<0的连线交于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的轨迹方程为.参考答案：1.解：依题意可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0自身有轨迹方程，为：SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代入可得关于SKIPIF1<0的方程，即SKIPIF1<0的轨迹方程：SKIPIF1<0答案：D2.解：由椭圆可知：SKIPIF1<0，设交点坐标SKIPIF1<0。SKIPIF1<0与椭圆相交于SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴对称SKIPIF1<0考虑直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的方程：由SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0①同理可得：SKIPIF1<0②①SKIPIF1<0②可得：SKIPIF1<0③由SKIPIF1<0在椭圆上可得：SKIPIF1<0，代入③可得：SKIPIF1<0，整理后可得：SKIPIF1<03.解：设动圆SKIPIF1<0的半径为SKIPIF1<