古典概型、运算及概率及条件概率例题

(二)古典概型(2)在任一次试验中，A₁,A₂,…,A.至少有一个发生(完全性);容性). 2.古典概型如果A₁,A₂,…,A.是一个等概基本事件组的某m个基本事件所构成，事件B的概率应由公式(1)计算：利用公式(1)来计算事件的概率的模型称为古典概型.(三)事件的运算及概率的加法公式B包含事件A,记作如果事件A包含B,同时事件B也包含事件A,那么就称事2.事件的和与积“两事件A与B中至少有一个发生”也是一个事件，称为A记作AB或A∩B.3.对立事件与事件的差同时发生.即则称B是A的对立事件(或A是B的对立事件),记为B=A(或A=B).AB=V(不可能事件)则称A与B是互不相容的事件.公式(2)可推广到n个事件的情形.设n个事件A₁,A₂,…,A.如果A,B是条件组S下的两个随机事件：P(A)≠0,则称在A发生的前提下，B发生的概率为条件概率，记作P(B|A),3.事件的独立性(1)设有两个事件A,B,如果满足 则称A,B是相互独立的.(2)设有n个事件A₁,A₂,…,An,如果对于其中任意k(2≤k≤n)个事件An,Az,…,A(i₁,iz,…,i,互不相同),都有则称这n个事件A₁,A₂,…,A,相互独立.独立试验序列概型计算公式：设单次试验中，事件A发生的概率为p(0<p<1),则在n次重复试验中P(A发生k次)=Cep^q'-t(6)(q=1-p,k=0,1,2,…,n).(六)全概公式与逆概公式1.全概公式如果事件组A₁,A₂,…,A.满足：(1)A₁,A₂,…,A。互不相容，而且P(A,)>0(i=1,2,…,n),(2)A₁+A₂+…+A,=U(完全性),则对任一事件B皆有满足上述(1),(2)条件的事件组A₁,A₂,…,A,叫做完备事件组2.逆概公式设A₁,A₂,…,A.为一完备事件组，则对任一事件B(P(B)≠0)有逆概公式(8)也称为贝叶斯公式.(二)古典概型的求解首先要判别求解的问题是不是属于古典概型，如果所涉及的试验具有两个基本特征：(1)只有有限多种不同的可能结果，即只有有限多个基本事件n(基本事件是两两互不相容的);(2)所有基本事件出现的可能性相同.则称此试验是古典概型.在古典概型中，如果事件A是由m个基本事件所组成，或者可以直接把基本事件总数n与事件A所包含的基本事件数m,一用概率的性质推求P(A),称此法为间接法-如通过求A的对立事 (2)解法一设A=“至少有一件次品”,A₁=“有一件次品”,A₂=“有2件次品”,A₃=“有3件次品”,A₁,A₂,A₃是两两互不相容.其中所以P(A)=P(A,)+P(A₂)+P(A₃)=0.3053解法二设A=“3件都是正品”,所以P(A)=1-P(A)=1-0.6947=0.3053.使A发生的基本事件数为A;包含的基本事件数=P²=6,A₂包含的基本事件数=PI·Pi=21,A₂包含的基本事件数=P}·P}=21.于是得到A所包含的基本事件数=6+21+21=48.所以例3在所有的两位数(10-99)中任取一个两位数，求这个数能被2或3整除的概率.能被3整除”.则A+B=“取出的两位数能被2或3整除”,AB=“取出的两位数能同时被2和3整除”,即能被6整除.因为所有的90个两位数中能被2整除的有45个，能被3整出，则注意A₁A₂,A₃相互独立，但不是互不相容的.由加法公式，乘法公式得P(A)=P(A₁)+P(A₂)+P(A₃)-P(A;A₂)-P(A₂A₃)-P(A,A₃)+P(A₁A₂A₃)=P(A₁)+P₂(A₂)+P(A₃)-P(A₁)P(A₂)一P(A₂)P(A₃)-P(A₁)P(A₃)+P(A,)P(A₂)P(A₃)■解法二P(A)=]-P(A)=1-P(A₁A₂A₃)*例5某产品一盒共10只，已知其中有3只次品.从盒中任取两次，每次任取一只，作不放回抽样，求第一次取到次品后，第二次又取到次品的概率.解分析：不放回抽样问题，第一次抽样的结果.直接影响到第二次抽样，因而这是一个条件概率问题.解法一按条件概率定义计算：设A=“第一次抽到次品”,B=“第二次抽到次品”,显然所以■床需要人看管的概率分别是0.8、0.9和0.85,求在一小时内：(1)没有一台机床需要照看的概率.(2)至少有一台机床不需要照看的概率.辉设A=“甲机床需要看管”,B=“乙机床需要看管”,C=“丙机床需要看管”,A,B,C相互独立.管的概率为：=0.2×0.1×0.15=0.003.(2)至少有一台机床不需要看管的概率。先求出三台机床都需要看管的概率，即至少有一台机床不需要看管的概率为例7设每台机床在一天内需要修理的概率为0.02,某车间有50台这种机床，试求在一天内需要修理的机床不多于2台的概解将观察每台机床在一天内是否需要修理看成一次试验，没A=“需要修理”,A=“不需要修理”,则P(A)=0.02,P50台机床是否需要修理可看成是独立的.故符合“独立试验序列概型”的条件.由公式可知： 例8当掷五枚硬币时，已知至少出现两个正面，问正面数刚好是三个的条件概率是多少?解掷五枚硬币，相当于一枚硬币连掷5次，而每次正面向上 的概率为,五枚中不出现正面的概率为五枚中只出现一个正面的概率为至少出现两个正面的概率是例9市场供应的热水瓶中，甲厂产品占50%,乙厂产品占30%,丙厂产品占20%,甲厂产品的合格率为90%,乙厂产品的合格率85%,丙厂产品的合格率为80%,求(1)买到的热水瓶是甲厂生产的合格品的概率，(2)买到的热水瓶是乙厂生产的合格品的概率.(3)买到的热水瓶是丙厂生产的合格品的概率， (4)买到的热水瓶是合格品的概率.解设A₁=“甲厂产品”,Az=“乙厂产品”,A₃-“丙厂产品”,B=“正品”.(4)由全概公式得即买到的热水瓶是合格品的概率为0.865.个次品.从甲箱中任取3个产品放入乙箱，然后从乙箱中任取…个产品.(1)求从乙箱取出的这个产品是正品的概率，(2)如果从乙箱中取出的是正品，推测它从甲箱中抽出的各种情况，而造成的可能性的大小，解(1)设B=“从乙箱中取得正品”.问题是从甲籍中任取3个产品放入乙箱后，再从乙箱中取得正品的.因而B是一个复杂事件.要对B根据甲箱中任取3个的各种情况，进行分解.设A₁=“从甲箱中取出3个正品”,A₂=“从甲箱中取出2个正品1个次品”,A:=“从甲箱中取出1个正品2个次品”,A₄-“从甲箱中取出3个次品”它们都是互不相容的.B=BU=B(A₁+A₂+A₂+A₄)P(B)=P(BA₁)+P(BA₂)+P(BA₃)+P(BA₄)而而,由全概率公式得(2)在B发生的条件下，A:发生的概率.由逆