2022-2023学年湖北省孝感市安陆市八年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖北省孝感市安陆市八年级第一学期期中数学试卷一、精心选择。一锤定音（本大题共8道小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中只有一个答案是正确的，请将正确答案的序号直接填入下表中）1．在下列四个标志中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（）A．9cm，5cm，4cm B．8cm，17cm，8cm C．13cm，12cm，20cm D．5cm，5cm，11cm3．到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（）A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点4．如图BD交CE交于O，AE＝AD，添加一个条件，仍不能使△ABD≌△ACE的是（）A．BE＝DC B．CE＝BD C．∠1＝∠2 D．∠ABC＝∠ACB5．△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，点D在线段BC上，若△ADC为直角三角形时∠ADB的度数为（）A．90° B．60° C．90°或60° D．90°或120°6．如图△ABC中，AB＝AC，D在AC上，若∠A＝2∠ABD，BD＝BC时∠DBC的度数为（）A．45° B．22.5° C．67.5° D．30°7．如图，△ABC≌△ADE，D在BC上，连接CE，则以下结论：①AD平分∠BDE；②∠CDE＝∠BAD；③∠DAC＝∠DEC；④AD＝DC．其中正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．如图，六边形ABCDEF中，CD∥AF，∠CDE＝∠BAF，AB⊥BC，∠C＝120°，∠E＝80°，则∠F等于（）A．130° B．125° C．135° D．140°二、细心填一填。试试自己的身手!（本大题共8小题，每小题3分，共24分.）9．画三角形的角平分线、中线和高线时，不一定画在三角形内部的是．10．△ABC中，∠C＝60°，AC＝AB，BC＝5，则△ABC的周长为．11．点A（﹣5，m）和B（n，﹣3）关于y轴对称，m+n＝．12．在△ABC中，AD，CE是它的两条中线，AB＝AC，P为AD上一动点，当PB+PE的长最小时，PE+PB等于图中的线段．13．如图，△ABC中，AB＝AC，D在BC下方且AD＝AC，AE平分∠DAC交BD的延长线于E，连接EC，则∠BAC与∠BEC的数量关系式为．14．如图，△ABC为等边三角形，边长为12，D在AB上，DE⊥AC于E，EF⊥BC于F，FH⊥AB于H，若点D与点H重合时AD的长为．15．如图，直角坐标系中，OA＝AB，∠OAB＝90°，A（2，5），则B的坐标是．16．如图△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于H，过点H作EF∥BC交AB于E，交AC于F，HD⊥AC于D，以下四个结论①∠BHC＝90°+∠A；②EF﹣BE＝CF；③点H到△ABC各点的距离相等；④若B，H，D三点共线时，△ABC一定为等腰三角形．其中正确结论的序号为．三、用心做一做。显显自己的能力!（本大题共8小题，满分72分.）17．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于D．DE⊥BC于E，∠B＝40°，∠A＝70°．求∠EDC的度数．18．如图，在△ABC中，BE⊥AC于E，CD⊥AB于D，AB＝AC．求证：BD＝CE．19．如图，直角坐标系中A（1，4），B（3，0）．C（2，5）．（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1（不写作法）；（2）D在y轴上，当△ABD的周长最小时，画出点D的位置（保留作图痕迹），并写出点D的坐标为．20．等腰三角形一腰上的中线．将等腰三角形的周长分为24cm和12cm两部分，求这个等腰三角形的底边长．21．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC于D，E在AD上，且BE＝AC．判断BE与AC的位置关系并证明．22．已知：△ABC≌△DEC，∠ACB＝90°，∠B＝32°（1）如图1当点D在AB上，∠ACD＝．（2）如图2猜想△BDC与△ACE的面积有何关系？请说明理由．（温馨提示：两三角形可以看成是等底的）23．如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的内好线，称这个三角形为内好三角形．（1）如图1，△ABC是等腰锐角三角形，AB＝AC（AB＞BC），若∠ABC的角平分线BD交AC于点D，且BD是△ABC的一条内好线，则∠BDC＝度；（2）如图2，△ABC中，∠B＝2∠C，线段AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E．求证：AE是ABC的一条内好线；（3）如图3，已知△ABC是内好三角形，且∠A＝24°，∠B为钝角，则所有可能的∠B的度数为（直接写答案）．24．如图△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点（不与B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．（1）如图1，若点D在线段BC上，且∠BAC＝90°，∠BCE的度数为；（2）设∠BAC＝α，∠BCE＝β．①如图2当点D在线段BC上移动时，求证：α+β＝180°；②当点D在BC的延长线上时，①中的结论是否仍然成立？说明理由；③当点D在CB的延长线上时，直接写出α，β之间的数量关系：．

参考答案一、精心选择。一锤定音（本大题共8道小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中只有一个答案是正确的，请将正确答案的序号直接填入下表中）1．在下列四个标志中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．解：A、是轴对称图形，故本选项正确；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误．故选：A．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（）A．9cm，5cm，4cm B．8cm，17cm，8cm C．13cm，12cm，20cm D．5cm，5cm，11cm【分析】根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，即两短边的和大于最长的边，即可作出判断．解：A、4+5＝9，不能摆成三角形，故本选项不符合题意；B、8+8＝16＜17，不能摆成三角形，故本选项不符合题意；C、12+13＝25＞20，能摆成三角形，故本选项符合题意；D、5+5＝10＜11，不能摆成三角形，故本选项不符合题意．故选：C．【点评】本题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边，判断能否组成三角形的方法是看两个较小的和是否大于第三边．3．到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（）A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点【分析】根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等解答即可．解：到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点，故选：D．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．4．如图BD交CE交于O，AE＝AD，添加一个条件，仍不能使△ABD≌△ACE的是（）A．BE＝DC B．CE＝BD C．∠1＝∠2 D．∠ABC＝∠ACB【分析】要使△ABE≌△ACD，已知AE＝AD，∠A＝∠A，具备了一组边和一组角对应相等，还缺少边或角对应相等的条件，结合判定方法及图形进行选择即可．解：∵∠A＝∠A，AE＝AD，∴当BE＝CD时，则AB＝AC，依据SAS即可得到△ABE≌△ACD；当CE＝BD时，则△ABD和△ACE全等条件是SSA，不能判定△ABD≌△ACE；当∠1＝∠2时，由于∠EOB＝∠DOC，则∠ABD＝∠ACE，依据ASA即可得到△ABE≌△ACD；当∠ABC＝∠ACB时，则AB＝AC，依据SAS即可得到△ABE≌△ACD；故选：B．【点评】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．5．△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，点D在线段BC上，若△ADC为直角三角形时∠ADB的度数为（）A．90° B．60° C．90°或60° D．90°或120°【分析】根据题意可以求得∠B和∠C的度数，然后根据分类讨论的数学思想：当∠BAD＝90°时；当∠ADB＝90°时；即可求得∠ADC的度数．解：在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∵点D在BC边上，△ABD为直角三角形，∴如图1，当∠CAD＝90°时，则∠ADB＝120°，如图2，当∠ADC＝90°时，则∠ADB＝90°．综上所述，∠ADB的度数是120°或90°．故选：D．【点评】本题考查等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用等腰三角形的性质和分类讨论的数学思想解答．6．如图△ABC中，AB＝AC，D在AC上，若∠A＝2∠ABD，BD＝BC时∠DBC的度数为（）A．45° B．22.5° C．67.5° D．30°【分析】根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC＝∠C，∠BDC＝∠C，再结合∠A＝2∠ABD，三角形外角的性质得到∠BDC＝∠A+∠ABD，再根据三角形内角和定理计算即可得解．解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵BD＝BC，∴∠BDC＝∠C，∴∠ABC＝∠C＝∠BDC，∵∠A＝2∠ABD，∠BDC＝∠A+∠ABD，∴∠BDC＝3∠ABD，∴∠ABC＝∠C＝3∠ABD，∴2∠ABD+3∠ABD+3∠ABD＝180°，解得∠ABD＝22.5°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝22.5°×3﹣22.5°＝45°．故选：A．【点评】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．7．如图，△ABC≌△ADE，D在BC上，连接CE，则以下结论：①AD平分∠BDE；②∠CDE＝∠BAD；③∠DAC＝∠DEC；④AD＝DC．其中正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】由△ABC≌△ADE，推出AB＝AD，AC＝AE，∠ADE＝∠B，∠BAC＝∠DAE，再由等腰三角形的性质，可以求解．解：AC和DE交于O，∵△ABC≌△ADE，∴AB＝AD，AC＝AE，∠ADE＝∠B，∠BAC＝∠DAE，∴∠B＝∠ADB，∠BAD＝∠CAE，∠ACE＝∠AEC，∴∠ADB＝∠ADE，∠ACE＝∠ADB＝∠ADE，∴AD平分∠BDE，∵∠AOD＝∠EOC，∴∠DAC＝∠DEC，∵∠CDE+∠ADE＝∠B+∠BAD，∴∠CDE＝∠BAD，由条件不能推出AD＝DC，∴①②③正确．故选：C．【点评】本题考查全等三角形的性质，等腰三角形的性质，关键是掌握并灵活应用全等三角形的对应边相等，对应角相等；等腰三角形的底角相等．8．如图，六边形ABCDEF中，CD∥AF，∠CDE＝∠BAF，AB⊥BC，∠C＝120°，∠E＝80°，则∠F等于（）A．130° B．125° C．135° D．140°【分析】延长CB交FA延长线于G，由CD∥AF可求∠G，再由三角形的外角定理求出∠BAF，最后由多边形的内角和定理即可求解．解：延长CB交FA延长线于G，∵CD∥AF，∴∠C+∠G＝180°，∵∠C＝120°，∴∠G＝60°，∵AB⊥BC，∴∠ABG＝90°，∴∠BAF＝∠G+∠ABG＝150°，∴∠D＝∠BAF＝150°，∵∠C+∠D+∠E+∠F+∠BAF+∠ABC＝（6﹣2）×180°＝720°，∴∠F＝720°﹣120°﹣150°﹣80°﹣150°﹣90°＝130°，故选：A．【点评】本题考查多边形内角和定理，三角形的外角定理，平行线的性质，关键是作辅助线由平行线的性质，三角形的外角定理求出∠BAF．二、细心填一填。试试自己的身手!（本大题共8小题，每小题3分，共24分.）9．画三角形的角平分线、中线和高线时，不一定画在三角形内部的是高线．【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的定义求解．解：三角形的角平分线和中线都在三角形内部，而锐角三角形的三条高在三角形内部，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部．故答案为：高线．【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高：三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．10．△ABC中，∠C＝60°，AC＝AB，BC＝5，则△ABC的周长为15．【分析】由∠C＝60°，AC＝AB，可得△ABC是等边三角形，从而可以求解．解：∵∠C＝60°，AC＝AB，∴△ABC是等边三角形，∵BC＝5，∴△ABC的周长为5×3＝15，故答案为：15．【点评】本题考查等边三角形的判定和性质，关键是掌握：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．11．点A（﹣5，m）和B（n，﹣3）关于y轴对称，m+n＝2．【分析】根据点A（﹣5，m）和B（n，﹣3）关于y轴对称，可知n＝5，m＝﹣3，即可求出m+n的值．解：∵点A（﹣5，m）和B（n，﹣3）关于y轴对称，∴n＝5，m＝﹣3，∴m+n＝2，故答案为：2．【点评】本题考查了关于y轴对称的点的坐标，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解题的关键．12．在△ABC中，AD，CE是它的两条中线，AB＝AC，P为AD上一动点，当PB+PE的长最小时，PE+PB等于图中的线段CE．【分析】如图连接PC，只要证明PB＝PC，即可推出PB+PE＝PC+PE，由PE+PC≥CE，推出P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度．解：如图，连接PC．∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∴PB＝PC，∴PB+PE＝PC+PE，∵PE+PC≥CE，∴P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度，故答案为：CE．【点评】本题考查轴对称﹣最短问题，等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．13．如图，△ABC中，AB＝AC，D在BC下方且AD＝AC，AE平分∠DAC交BD的延长线于E，连接EC，则∠BAC与∠BEC的数量关系式为∠BAC+∠BEC＝180°．【分析】设AE与BC交于点F，连接CD，与AE交于点G，连接DF．利用SAS证明△ADG≌△ACG，得出∠AGD＝∠AGC＝90°，DG＝CG，那么AE垂直平分CD，FD＝FC，ED＝EC，根据等腰三角形的性质证明∠4＝∠5，∠6＝∠7，∠3＝∠2．得出∠ABE+∠ACE＝∠1+∠2+∠5+∠7＝∠1+∠3+∠4+∠6＝180°．然后根据四边形ABEC的那句话为360°，即可得到∠BAC+∠BEC＝180°．解：如图，设AE与BC交于点F，连接CD，与AE交于点G，连接DF．∵AE平分∠DAC，∴∠DAG＝∠CAG．在△ADG与△ACG中，，∴△ADG≌△ACG（SAS），∴∠AGD＝∠AGC，DG＝CG，∵∠AGD+∠AGC＝180°，∴∠AGD＝∠AGC＝90°，∴AE垂直平分CD，∴FD＝FC，ED＝EC，∴∠4＝∠5，∠6＝∠7．∵AC＝AD，∴∠ADC＝∠ACD，即∠3+∠4＝∠2+∠5，∴∠3＝∠2．∵AB＝AC，AD＝AC，∴AB＝AD，∴∠ABD＝∠1，∴∠ABE+∠ACE＝∠1+∠2+∠5+∠7＝∠1+∠3+∠4+∠6＝180°．∵在四边形ABEC中，∠ABE+∠BAC+∠ACE+∠BEC＝360°，∴∠BAC+∠BEC＝180°．故答案为：∠BAC+∠BEC＝180°．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的性质，四边形内角和定理，有一定难度．证明△ADG≌△ACG，进而得到AE垂直平分CD是解题的关键．14．如图，△ABC为等边三角形，边长为12，D在AB上，DE⊥AC于E，EF⊥BC于F，FH⊥AB于H，若点D与点H重合时AD的长为8．【分析】设BD＝x，根据等边三角形的性质得到∠A＝∠B＝∠C＝60°，由垂直的定义得到∠BDF＝∠DEA＝∠EFC＝90°，解直角三角形即可得到结论解：如图，设BD＝x，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∵DE⊥AC于点E，EF⊥BC于点F，FH⊥AB，∴∠BDF＝∠DEA＝∠EFC＝90°，∴BF＝2x，∴CF＝12﹣2x，∴CE＝2CF＝24﹣4x，∴AE＝12﹣CE＝4x﹣12，∴AD＝2AE＝8x﹣24，∵AD+BD＝AB，∴8x﹣24+x＝12，∴x＝4，∴AD＝12﹣4＝8．故答案为：8．【点评】本题考查了等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．15．如图，直角坐标系中，OA＝AB，∠OAB＝90°，A（2，5），则B的坐标是（7，3）．【分析】根据题意，先作辅助线AC⊥x轴于点C，BD⊥AC于点D，然后根据AAS证明△OAC≌△ABD，从而可以得到OC和AD，AC和BD的关系，再根据点A的坐标，即可得到OC和AC的值，从而可以得到点B的坐标．解：作AC⊥x轴于点C，作BD⊥AC于点D，如图所示，∵∠OAB＝90°，∠ADB＝90°，∴∠OAC+∠DAB＝90°，∠DAB+∠ABD＝90°，∴∠OAC＝∠ABD，在△OAC和△ABD中，，∴△OAC≌△ABD（AAS），∴OA＝AD，AC＝BD，∵A（2，5），∴OC＝2，AC＝5，∴AD＝2，BD＝5，∴点B的横坐标为OC+BD＝2+5＝7，纵坐标为：AC﹣AD＝5﹣2＝3，∴点B的坐标为（7，3），故答案为：（7，3）．【点评】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形、坐标与图形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．16．如图△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于H，过点H作EF∥BC交AB于E，交AC于F，HD⊥AC于D，以下四个结论①∠BHC＝90°+∠A；②EF﹣BE＝CF；③点H到△ABC各点的距离相等；④若B，H，D三点共线时，△ABC一定为等腰三角形．其中正确结论的序号为②③④．【分析】①先根据角平分线的性质得出∠HBC+∠HCB＝（∠ABC+∠ACB），再由三角形内角和定理即可得出结论；②根据∠ABC和∠ACB的平分线相交于点H可得出∠EBH＝∠CBH，∠BCH＝∠FCH，再由EF∥BC可知∠CBH＝∠EHB，∠BCH＝∠CHF，故可得出BE＝EH，HF＝CF，由此可得出结论；③根据三角形内心的性质即可得出结论；④根据已知条件可以得到△ABD≌△CBD，利用全等三角形的性质即可解决问题．【解答】解，①∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点H，∴∠HBC+∠HCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A），∴∠BHC＝180°﹣（∠HBC+∠HCB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A，故①错误；②∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点H，∴∠EBH＝∠CBH，∠BCH＝∠FCH．∵EF∥BC，∴∠CBH＝∠EHB，∠BCH＝∠CHF，∴∠EBH＝∠EHB，∠FCH＝∠CHF，∴BE＝EH，HF＝CF，∴EF＝EH+HF＝BE+CF，∴EF﹣BE＝CF，故②正确；③∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点H，∴点H是△ABC的内心，∴点H到△ABC各边的距离相等，故③正确；④若B，H，D三点共线时，则BD⊥AC，且BD平分∠ABC，∴△ABD≌△CBD（SAS），∴AB＝AC，∴△ABC一定为等腰三角形，故④正确．故答案为：②③④；【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握角平分线的性质、三角形内角和定理及三角形内心的性质是解题的关键．三、用心做一做。显显自己的能力!（本大题共8小题，满分72分.）17．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于D．DE⊥BC于E，∠B＝40°，∠A＝70°．求∠EDC的度数．【分析】根据三角形内角和定理求出∠ACB，根据角平分线的定义求出∠DCB，根据平行线的性质求出即可．解：∵∠B＝40°，∠A＝70°，∴在△ABC中，∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠A＝70°，∵CD平分∠ACB，∴∠DCB＝∠ACB＝35°，∵DE⊥BC，∴∠EDC＝90°﹣∠DCB＝55°．【点评】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质等知识点，能求出∠DCB的度数是解此题的关键．18．如图，在△ABC中，BE⊥AC于E，CD⊥AB于D，AB＝AC．求证：BD＝CE．【分析】由AAS即可得出△ABE≌△ACD，由全等三角形的性质可到AE＝AD，进而可得出结论BD＝CE．【解答】证明：∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠AEB＝∠ADC．在△AEB和△ADC中，，∴△AEB≌△ADC（AAS），∴AE＝AD，∵AB＝AC，∴AB﹣AD＝AC﹣AE，∴BD＝CE．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解决问题的关键．19．如图，直角坐标系中A（1，4），B（3，0）．C（2，5）．（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1（不写作法）；（2）D在y轴上，当△ABD的周长最小时，画出点D的位置（保留作图痕迹），并写出点D的坐标为（0，3）．【分析】（1）分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可；（2）连接AB1，与y轴的交点即为所求．解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；（2）如图所示，点D即为所求，其中D（0，3），故答案为：（0，3）．【点评】本题主要考查作图—轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点．20．等腰三角形一腰上的中线．将等腰三角形的周长分为24cm和12cm两部分，求这个等腰三角形的底边长．【分析】设等腰三角形的腰长、底边长分别为2xcm，ycm，根据题意列二元一次方程组，注意没有指明具体是哪部分的长为12cm，24cm，故应该列两个方程组求解．解：设这个等腰三角形的腰长为2xcm，底边长为ycm，依题意得：或，解得：或，①当时，三边长为16cm，16cm，4cm．符合三角形三边关系；②当时，三边长为8cm，8cm，20cm．因为8+8＜20，故不符合三角形三边关系，应舍去．答：等腰三角形的底边长为4cm．【点评】此题主要考查等腰三角形的性质，解二元一次方程组和三角形三边关系的综合运用，此题的关键是分两种情况分析，求得解之后注意用三角形三边关系进行检验．21．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC于D，E在AD上，且BE＝AC．判断BE与AC的位置关系并证明．【分析】根据HL可证明Rt△BDE≌Rt△ADC，由全等三角形的性质可得出∠DEB＝∠C，则可得出结论．解：BE⊥AC，证明：如图，延长BE交AC于点F，∵AD⊥BC，∴∠BDE＝∠ADC＝90°，∵∠ABC＝45°，∴∠BAD＝45°，∴BD＝AD，在Rt△BDE和Rt△ADC中，，∴Rt△BDE≌Rt△ADC（HL），∴∠DEB＝∠C，∵∠DEB+∠DBE＝90°，∴∠C+∠DBE＝90°，∴∠CFB＝90°，∴BF⊥AC．即BE⊥AC．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、垂线的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等得出对应角相等是解决问题的关键．22．已知：△ABC≌△DEC，∠ACB＝90°，∠B＝32°（1）如图1当点D在AB上，∠ACD＝64°．（2）如图2猜想△BDC与△ACE的面积有何关系？请说明理由．（温馨提示：两三角形可以看成是等底的）【分析】（1）根据三角形的性质解答即可；（2）作DF⊥BC于F，作AG⊥EC交EC的延长线于F，根据三角形面积解答即可．【解答】（1）∵△ABC≌△DEC，∴AC＝DC，∠ACB＝∠DCE，∵∠ACB＝90°，∠B＝32°，∴∠A＝180°﹣∠ACB﹣∠B＝180°﹣90°﹣32°＝58°，∴∠ADC＝58°，∴∠ACD＝180°﹣∠58°﹣58°＝64°，故答案为：64°；（2）S△BDG＝S△ACG．理由如下：作DF⊥BC于F，作AG⊥EC交EC的延长线于F，∴∠AGC＝∠DFC＝90°，∵△ABC≌△DEC，∴BC＝EC，AC＝DC，∵∠ACG+∠GCB＝90°，∠GCB+∠FCD＝90°，∴∠ACG＝∠DCF，在△ACG和△DCF中，，∴△ACG≌△DCG（AAS），∴AG＝DF，，，∵AG＝DF，BC＝EC，∴S△BDG＝S△ACG．【点评】本题考查了三角形全等，掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．23．如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的内好线，称这个三角形为内好三角形．（1）如图1，△ABC是等腰锐角三角形，AB＝AC（AB＞BC），若∠ABC的角平分线BD交AC于点D，且BD是△ABC的一条内好线，则∠BDC＝72度；（2）如图2，△ABC中，∠B＝2∠C，线段AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E．求证：AE是ABC的一条内好线；（3）如图3，已知△ABC是内好三角形，且∠A＝24°，∠B为钝角，则所有可能的∠B的度数为108°或117°或144°或148°（直接写答案）．【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB，由角平分线的性质可得∠ABD＝∠CBD＝∠ABC，由“内好线”定义可得BD＝BC＝AD，可得∠A＝∠ABD，∠BDC＝∠C，由三角形的内角和定理可求解；（2）只要证明△ABE，△AEC是等腰三角形即可；（3）当BE是内好线时，分三种情形讨论，由等腰三角形的性质可求解；当CE是内好线时，当AE为内好线时，利用等腰三角形性质即可解决问题．解：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC，∵BD是△ABC的一条内好线，∴△ABD和△BDC是等腰三角形，∴BD＝BC＝AD，∴∠A＝∠ABD，∠BDC＝∠C，∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝2∠A，∴∠ABC＝∠ACB＝2∠A，∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠A＝36°，∴∠BDC＝2∠A＝72°，故答案为：72；（2）∵DE是线段AC的垂直平分线，∴EA＝EC，即△EAC是等腰三角形，∴∠EAC＝∠C，∴∠AEB＝∠EAC+∠C＝2∠C，∵∠B＝2∠C，∴∠AEB＝∠B，即△EAB是等腰三角形，∴AE是ABC的一条内好线；（3）设BE是△ABC的内好线，①如图3，当AE＝BE时，则∠A＝∠EBA＝24°，∴∠CEB＝∠A+∠EBA＝48°，若BC＝BE时，则∠C＝∠CEB＝48°，∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝108°，若BC＝CE时，则∠CBE＝∠CEB＝48°，∴∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝72°＜90°（不合题意舍去），若CE＝BE时，则∠C＝∠CBE＝＝66°，∴∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝90°（不合题意舍去），②如图4，当AE＝BE时，则∠AEB＝∠AEB＝＝78°，∴∠CEB＝∠A+∠ABE＝102°＞90°，∵CE＝BE，