2013年高考安徽理科数学试题及答案解析版

#一 2所以存在唯一的xe2,1，满足f(x)=0•

nn(2)当x〉0时，fG)=f(x)n+1xn+1+ (n+1)2〉f(x)，故f(x)〉f(x)=f(x)=0•由f(X)在(0,+8)内单调递增知，n+1x<xn+1 n对任意peN*，由于f(x)=

nnfQ)=-1+xn+pn+p n+px2+n+P+22xn+——n+p-

n2x2n +22xn+1nnnn+1n+1，故｛x｝为单调递减数列，从而对任意n,peNn+掌=0，①①式减去②式并移项，n2n+1+——I +(n+1)2利用0<x<x•••n+p n<1，得xnx n+p „+ n+p =0•②(n+p)2Exk-xk n+p-^n+p n-+乙…n+p k2k=2 k=n+1xkn+pxn+p<//tk2k2 k(k-1)nn+pk=n+1 k=n+1因此，对任意peN*，都有0<x-xk=n+11<一•

nkn+pk2(21)【2013年安徽，理21,13分】某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责.已知该系共有n位学生，每次活动均需该系k位学生参加(n和k都是固定的正整数).假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生，且所发信息都能收到.记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X•(1)求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；(2)求使P(X=m)取得最大值的整数m•解：(1)因为事件A:“学生甲收到李老师所发信息”与事件B：“学生甲收到张老师所发信息”是相互独立的事件，所以A与B相互独立.由于P(A)=P(B)=3=-，故P6)=P(B)=1--，因此学生甲收到活动通知Ck n nn信息的概率P=1-2 2kn-k2(2)当k=n时，m只能取n，有P(X=m)=P(X=n)=1.当k<n时，整数m满足k<m<t,其中t是2k和n中的较小者.由于“李老师和张老师各自独立、随机地发活动通知信息给k位同学”所包含的基本事件总数为(Ck)2•当X=m时，同时收到李老师和张老师转发信息的学生人数恰为2k-m•仅收到李老师或仅收到张老师转发信息的学生人数均为m-k.由乘法计数原理知：事件｛X=m｝所含基本事件数为CkC2k-mCm-kCm-kCm-kCkC2k-mCm-k=CkCm-kCm-k.此时P(X=m)= E=T——Enk n-k nk n-k (Ck)2 Cknn当k<m<t时，P(X=m)<P(X=m+1)=Cm-kCm-k<Cm+1-kCm+1-k=(m-k+1)2<(n-m)(2k-m)k n-k k n-k0m<2k-如+生.假如k<2k-出土上<t成立，则当(k+1)2能被n+2整除时，n+2 n+2k<2k-(k+1)2<2k+1-(k+1)2<t•故P(X=m)在m=2k-如+上和m=2k+1-*+”处达最大值;n+2 n+2 n+2 n+2当(k+1)2不能被n+2整除时，P(X=m)在m=2k-(k+1)2

n+2处达最大值.(注：［x］表示不超过x的最大整数)，下面证明k<2k-出土上<t.因为1<k<n，所以2k

n+2(k+1)2 kn-k2-1 k二 Nk(k+1)-k2-1二口N0.而2kn+2显然2k-出土上n+2<2k.因止