广东省2020-2021学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)

专业文档可修改欢迎下载专业文档可修改欢迎下载-1--1-专业文档可修改欢迎下载专业文档可修改欢迎下载-1--1-2018—2019学年度第二学期期末教学质量监测高中一年级数学试卷—、选择题.(一)单项选择题：1—10题每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的1.集合A={%I-2<%<2},B={xI-1<x<3}那么AB=()A.{xI-2<x<-1} B.{xI-1<x<2}C.{%I-2<%<1} D.{%I-2<%<3}【答案】D【解析】【分析】根据并集定义计算．【详解】由题意AB={xI-2<x<3}.故选D. U【点睛】本题考查集合的并集运算，属于基础题.2.己知x与y之间的几组数据如下表:x0134y1469八则y与x的线性回归直线J=bx+a必过点( )A.(2,5) B.(5,9) C.(0,1) D.(1,4)【答案】A【解析】【分析】分别求出x，>均值即得.

0+1+3+4八0+1+3+4八【详解】1二——4——=2J= 4——=5，因此回归直线必过点(2,5).故选A.3.如图，随机地在图中撒一把豆子，则豆子落到阴影部分的概率是()A.B.C.D.【点睛】本题考查线性回归直线方程，线性回归直线一定过点(X,3.如图，随机地在图中撒一把豆子，则豆子落到阴影部分的概率是()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】求出阴影部分的面积，然后与圆面积作比值即得．3【详解】圆被8等分，其中阴影部分有3分，因此所求概率P=3.8故选D.【点睛】本题考查几何概型，属于基础题．4.已知数列｛a｝为等差数列，S是它前n项和.若J=2,S=12,则S=()n n 13 4A.10 B.16 C.20 D.24【答案】C【解析】【分析】根据等差数列的前n项和公式，即可求出.^业^业 专业文档修改欢迎下载--1-^业^业 专业文档修改欢迎下载--1-3I 13 ^^B^=6~\~3d12^^^K^^^d 月所以S 4a —d20—UIJU_L乙 JflFU [7<AQt: I U乙U・241「【点睛】本题主要考查了等■列的前事项■式，属于■题.面积为3 ,BC=4,CA=3则角C的大小为（） |的 的.^^- C.45 D.30pl7【详解】因为S3=3ai+5.已知锐角^ABCA.75°【答案】B【解析】试题分析：由三角形的面积公式，得三三：dJ由二二，回，即三--运皿二二3JL解2 2得2皿「二色，又因为三角形为锐角三角形，所以。二二•：.2考点：三角形的面积公式.6.设a=log3443，则a,b,c的大小关系为（）A.a>b>cB.b>c>aC.c>a>bD.【答案】B【解析】【分析】不难发现a：；0,b.1,0<c<1,从而可得b>c>a.［详解］；a=10g3(340/=(Iy,b'/C>a，故选B.【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较数大小.专业文档可修改欢迎下载专业文档可修改欢迎下载-1--1-专业文档可修改欢迎下载专业文档可修改欢迎下载-1--1-专业文档可修改欢迎下载专业文档可修改欢迎下载--1-(1)-f(9)=.已知函数f(%)=]%2；L(%>2)(1)-f(9)=If(%+3),(%<2)C.6C.6D.7【答案】A【解析】【分析】利用分段函数，分别求出f利用分段函数，分别求出f(1)和f(9)的值然后作差得到结果.【详解】依题意得f【详解】依题意得f(1)=f(4)=4；+1=3f(9)=9；+1=4，所以f(1)—f(9)=T,【点睛】本小题主要考查利用分段函数求函数值，只需要将自变量代入对应的函数段，来求得相应的函数值.属于基础题..设aeR，函数f(%)在区间(0,+8)上是增函数，则B.f(a2)B.f(a2)f7+a+2)<f—C.f(a2+a+2)>D.f(a2+a+2)<【答案】C【解析】【分析】-7【答案】C【解析】【分析】-7利用二次函数的性质，配方后可得a2+a+2>4由函数的单调性可得结果.(【详解】因为(【详解】因为a2+a+2=2+->-,

44函数f(%)在区间(0,+s)上增函数，所以f(a2+a+2)>ff-[故选C.【点睛】本题主要考查二次函数的性质、函数单调性的应用，属于简单题.函数单调性的应

（1）求函（4）求参用比较广泛，是每年高考的重点和热点内容．归纳起来，常见的命题探究角度有：数的值域或最值；（2）比较两个函数值或两个自变量的大小；（（1）求函（4）求参3.己知sina=5，则cos(兀-2a)=( )4A,54A,57B.—257C，-25D.【答案】C【解析】【分析】先用诱导公式，再由二倍角余弦公式可求．37【详解】cosm-2a)=-cos2a=-(l-2sin2a)=-(1-22])2)=-布.故选C.【点睛】本题考查诱导公式，二倍角的余弦公式．三角函数的公式较多，要根据题意选取恰当的公式才能做到事半功倍，为此常常研究“已知角”和“未知角”之间的关系，从而确定选用的公式．.函数f（。=x2-2|x|一m的零点有两个，求实数m的取值范围（）A.-1<m<0 B.m>0或m=-1 C,m>0或-1<m<0D.0<m<1【答案】B【解析】【分析】由题意可得，y=x2-2闵的图象（红色部分）和直线y=m有2个交点，数形结合求得m的范围．【详解】由题意可得y=x2-21X的图象（红色部分）和直线y=m有2个交点，如图所示：故有m>0或m=一1,故选：B.【点睛】已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数y=g(x)y=h(x)的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为y=a,y=g(x)的图象的交点个数问题.(二)不定项选择题：11—13题每小题给出的四个选项中，有一项或多项是符合题目要求的..若干个人站成排，其中不是互斥事件的是()A.“甲站排头”与“乙站排头” B.“甲站排头”与“乙不站排尾”C.“甲站排头”与“乙站排尾” D.“甲不站排头”与“乙不站排尾”【答案】BCD【解析】【分析】互斥事件是不能同时发生的事件，因此从这方面来判断即可．【详解】排头只能有一人，因此“甲站排头”与“乙站排头”互斥，而B、C、D中，甲、乙站位不一定在同一位置，可以同时发生，因此它们都不互斥．故选BCD.【点睛】本题考查互斥事件的概念，判断是否是互斥事件，就是判断它们能否同时发生，能同时发生的就不是互斥事件，不能同时发生的就是互斥事件.【答案】ABD【解析】【分析】根据前n项和的定义进行判断.【详解】S=S+a>S，则a>0，S=S+a=S，则a=0，则d=a-a<0，TOC\o"1-5"\h\z6565 6 7 67 6 7 76S=S+a<S,a<0a+a=a+a=2a=0，•二s=s,8 78 7 8 ．68 59 7 59由a=0,a>0知S,S是｛S｝中的最大值.7 6 67n从而ABD均正确.故选ABD.【点睛】本题考查等差数列的前n项和，考查前n项和S的性质.解题时直接从前n项和的n定义寻找结论，这是一种最基本的方法，简单而实用.二、填空题.将正确答案填在题中横线上.14.某校选修“营养与卫生”课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名.现用分层抽样的方法从这70名学生中抽取一个样本，已知在高二年级的学生中抽取了8名，则在该校高一年级的学生中应抽取的人数为 .【答案】6【解析】【分析】利用分层抽样的定义求解.x8【详解】设从高一年级的学生中抽取x名，由分层抽样的知识可知30=40，解得x=6.故答案为：6.【点睛】本题主要考查分层抽样，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.1 1.设a>0,b>0,若33是3aa与3b的等比中项，则一+丁的最小值是__.ab【答案】-【解析】专业文档可修改欢迎下载专业文档可修改欢迎下载--1-专业文档可修改欢迎下载专业文档可修改欢迎下载--1-由已知〃>0,b>0,,/3是3a与b的等比中项，则、32=3a-b，.二ab=1a+a+b>2%ab=2，当且仅当a=b=1时等号成立故答案为2【点睛】本题考查基本不等式的性质、等比数列的性质，其中熟练应用“乘1法”是解题的关键..设函数fG）=Asin（3x+p）fxeR,3>0,pef0,：］］的部分图象如图所示，则fG）V V2JJ的表达式.的表达式.【答案】f（x）=sin2x+7V4J【解析】【分析】T3兀兀兀根据图象的最高点得到A=1,由图象得到了—---=-,故得T=7，3=2,然后通过TOC\o"1-5"\h\z4 8 8 4兀代入最高点的坐标或运用“五点法”得到p=-，进而可得函数的解析式.T3兀兀兀【详解】由图象可得A=L= —=，4 8 8 4・・・T=7，・•・3=2，:.f(x)=sin(2x+p).「兀八又点Q，1在函数的图象上，V8

兀 兀一十①=一+2k兀,kgZ,4 2兀①=一+2k兀,kgZ.4f(x)=sinf2x+—故答案为f故答案为f(x)一f一—\=sin2x+—【点睛】已知图象确定函数f(x)=Asin(3x+5)解析式的方法(1)A由图象直接得到，即最高点的纵坐标.(2)由图象得到函数的周期，进而得到3的值.5的确定方法有两种.①运用代点法求解，通过把图象的最高点或最低点的坐标代入函数的解析式求出5的值；②运用“五点法”求解，即由函数f(x)=Asin(3x+5)最开始与x轴的交点(最靠近原点)5 5的横坐标为一上(即令3x+5=0,x=—)确定5.3 317.已知AABC中，/A,/B,/C的对边分别为a,b,c，若a=1,2cosC+c=2b，则AABC的周长的取值范围是【答案】(2,3]【解析】a2+b2—c2△ABC中，由余弦定理可得2cosC= ,*/a=1,2cosC+c=2bab,化简可得(,化简可得(b+c)2-1=3bcbc</ \ (b+c、2 , 一.・.(b+cJ2-1<3X— ,解得b+c<2(当且仅当b=c时，取等号).故I2a+b+c<3.再由任意两边之和大于第三边可得b+c>a=1，故有a+b+c>2，故△ABC的周长的取值范围是(2,31，故答案为(2,31.点睛：由余弦定理求得cos。，代入已知等式可得(b+c>-1=3bc，利用基本不等式求得b+c<2，故a+b+c<3.再由三角形任意两边之和大于第三边求得a+b+c>2，由此求得AABC的周长的取值范围.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。18.在4ABC中，已知BC=7,AB=3,ZA=60°.(1)求cos/C的值；(2)求4ABC的面积.13一【答案】(1)—(2)6y3【解析】【分析】(1)由已知及正弦定理可得sinC的值，利用大边对大角可求C为锐角，根据同角三角函数基本关系式可求cosC的值.(2)利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可求sinB的值，根据三角形的面积公式即可计算得解.【详解】(1)由题意，BC=7,AB=3,/A=60°.3x豆・•・由正弦定理可得：sinC=ABsinA_3 3_3耳-BC 7 1T. ••,BC>AB,,C为锐角，.・cosC=\.1-sin2C=『-](<3 1313<3_4<3X+X=2 14214 7<3 1313<3_4<3X+X=2 14214 7・・sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC二专业文档可修改欢迎下载专业文档可修改欢迎下载-1--1-专业文档可修改欢迎下载专业文档可修改欢迎下载-1--1-・・・S=△ABC1 1…4%：3=BC・AB・sinB=x7x3・・・S=△ABC1 1…4%：3=BC・AB・sinB=x7x3x—2 2 7【点睛】本题主要考查了正弦定理，大边对大角，同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.19.已知数列｛a｝满足：a+2a+3a+…+na=产"__,,口Gn*

n 123 n 6(1)求a1,a2的值；(2)求数列｛a｝的通项公式;n(3)设b=—1—，数列｛b｝的前n项和T,求证：T<1na•a n n n2nn+1【答案】⑴a=1;a=3；(2)a=2n-1(3)见证明；12 n【解析】【分析】(1)令n=1,n=2可求得a1,a2；(2)在已知等式基础上，用n-1代n得另一等式，然后相减，可求得a，并检验一下a是n1否适合此表达式；(3)用裂项相消法求和.1x2x3【详解】解：(1)由已知得a=——=116a+2a12=7，・a2=3(2)由a+2a+3a++na= ，①得123 n 6n>2时，a+2a+3a+123+(n-1)an-1(n-1)n[4(n-1)-1]6n(n+1)(4n-1)(n-1)n(4n-5)①-②得na=- - -=n(2n-1)n6 6・a=2n-1，na1 =1也适合此式，・・・an(3)由(2)得a=2n-(3)由(2)得a=2n-1,.・.b=a•an n+1(2n-1)(2n+1) 'J12n+1・Tn1 1 11=—[(1——)+(——)+2 3 351)]=2(1-

乙1・neN*,・・ >02n+1"n<I【点睛】本题考查由数列的通项公式，考查裂项相消法求和.求通项公式时的方法与已知S求na的方法一样，本题就相当于已知数列｛na｝的前n项和，要求na.注意首项求法的区别.n nn20.某家具厂有方木料90m3,五合板600m2，准备加工成书桌和书橱出售.已知生产第张书桌需要方木料O.lm3,五合板2m2，生产每个书橱而要方木料0.2m2，五合板1m2，出售一张方桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元.(1)如果只安排生产书桌，可获利润多少？(2)怎样安排生产可使所得利润最大？【答案】(1)只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润24000元；(2)生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大【解析】【分析】O1x<90(1)设只生产书桌x个，可获得利润z元，则12X<600,z=80X，由此可得Z最大值；xeNV.(2)设生产书桌x张，书橱y个，利润总额为z元.O1x+0.2y<902x+y<600则〈、八" ,z=80x+120y,由线性规划知识可求得z的最大值.即作可行域，x>0,xeN、y>0,yeN作直线80x+120y=0，平移此直线得最优解.

【详解】由题意可画表格如下：方木料（m3）五合板（m2）利润（元）书桌（个）0.1280书橱（个）0.21120⑴设只生产书桌x个，可获得利润z元，x<900x<x<900x<300・・・x3002x<600,z=80x,xGN所以当x=300时，zmax=80x300=24000阮），即如果只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润24000元⑵设生产书桌x张，书橱y个，利润总额为z元.则10.1则10.1x+0.2y<902x+y<600x>0,xgN、y>0,ygNx+2y<900,2x+y<600,1x>0,xGN、y>0,ygN.由1由1工二80x+120y在直角坐标平面内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域009002K+y=60U作直线l：80x+120y=0，即直线l：2x+3y=0.把直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点M,此时工二80x+120y取得最大值x+2y=900,[2x+y=600解得点M的坐标为（⑺加①,.••当x=100,y=400时，zmax=80x100+120x400=56000（元）.因此，生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大所以当x=100,y=所以当x=100,y=400时，z=80x100+120x400=56000.j 4max【点睛】本题考查简单的线性规划的实际应用，解题时需根据已知条件设出变量，列出二元一次不等式组表示的约束条件，列出目标函数，然后由解决线性规划的方法求最优解．osU/3sin2x)■ 、 ■ri>I对边，已f(A)=2,1卜AABCI~I 1因此，生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大．21.设函数f(x)=mn，其中向量m=(2cosx,1)(1)求函数f(x)的最小正周期与单调递减区间;(2)在AABC中，七、b、c分别是角A、B、C的面积为色，求AABC外接圆半径R.2(o；咯案】⑴T——,f(x)的单调递减区间是Ak兀,2—+k兀k.z；⑵r=1.【解析】试题分析：(1)用坐标表示向量条件，代入函数解析式fQ)―m-n中，运用向量的坐标运算法则求出函数解析式并应用二倍角公式以及两角和的正弦公式化简函数解析式八， 八.，八 兀 ■心)—2sm(2x+6)+1，由三角函数的性质可求函数的最小正周期及单调递减区间；⑵将条件f(A)=2代入函数解析式可求出角A,由三角形面积公式S=-bcsinA—立求出22a边c，再由余弦定理求出边a，再由正弦定理而区=2R可求外接圆半径.试题解析：(1)由题意得：f(x)=2cos2x+3Ssin2x—cos2x+<3sin2x+1=2sin(2x+—)+1.6TOC\o"1-5"\h\z— —3—所以，函数f(x)的最小正周期为T——，由彳+2k—<2x+-<—+2k兀,kgZ得\o"CurrentDocument"2 62\o"CurrentDocument" ——2— 7函数f(x)的单调递减区间是6+k兀，々-+k兀kgZ——(2) f(A)=2,「.2sin(2A+—)+1=2，解得A——,63又AABC的面积为23,b=1.得-bcsinA=或「.c=2.2 2 2再由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，解得a=v'3cc2=a2+b2，即△ABC为直角三角形.「.R=5=1考点：1．向量坐标运算；2．三角函数图象与性质；3．正弦定理与余弦定理．22.交通指数是指交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念性指数值，记交通指数为T，其范围为hl。1分别有五个级别：T£[0,2)，畅通；Te[2,4)，基本畅通;T£[4,6)，轻度拥堵；T£[6,8),中度拥堵；T£[8，1。L严重拥堵.在晚高峰时段(T>2),从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示.嗷率(1)求出轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段的个数；(2)用分层抽样的方法从轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段中共抽取6个路段，求依次抽取的三个级别路段的个数；(3)从(2)中抽取的6个路段中任取2个，求至少有1个路段为轻度拥堵的概率.【答案】(1)轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段的个数分别为6，9，3；(2)从交通指数3在[4,6),[6,8),[8,10]的路段中分别抽取的个数为2,3,1；(3)彳【解析】【分析】(1)根据在频率分布直方图中，小长方形的面积表示各组的频率，可以求出频率，再根据频数等于频率乘以样本容量，求出频数；(2)根据(1)求出拥堵路段的个数，求出每层之间的占有比例，然后求出每层的个数；(3)先求出从(2)中抽取的6个路段中任取2个，有多少种可能情况，然后求出至少有1个路段为轻度拥堵有多少种可能情况，根据古典概型概率公式求出.【详解】(1)由频率分布直方图得，这20个交通路段中，轻度拥堵的路段有(0.1+0.2)X1X20=6(个)，中度拥堵的路段有(0.25+0.2)X1X20=9(个)，严重拥堵的路段有(0.1+0.05)X1X20=3(个).⑵由(1)知，拥堵路段共有6+9+3=18(个)，按分层抽样，从18个路段抽取6个，则抽取666的三个级别路段的个数分别为—x6=2, 义9=3, 义3=1,即从交通指数在[4,6),18 18 18[6,8),[8,10]的路段中分别抽取的个数为2,3,1.⑶记抽取的2个轻度拥堵路段为A1,A2，抽取的3个中度拥堵路段为B1,B2,B3，抽取的1个严重拥堵路段为C1,则从这6个路段中抽取2个路段的所有可能情况为：(A,A),(A,B),(A,B),(A,B),TOC\o"1-5"\h\z12 11 12 13(A,C),(A,B),(A,B),(A,B),(A,C),(B,B),(B,B),(B,C),(B,B),(B,C),(B,C)11 21 22 23 21 12 13 11 23 21 31,共15种,其中至少有1个路段为轻度拥堵的情况为：(A,A),(A,B),(A,B),(A,B),(A,C),(A,B),12 11 12 13 11 21(A,B),(A,B),(A,C)，共9种.22 23 21所以所抽取的2个路段中至少有i个路段为轻度拥堵的概率为15=3.【点睛】本题考查了频率直方图的应用、分层抽样、古典概型概率的求法.解决本题的关键是对频率直方图所表示的意义要了解,分层抽样的原则要知道,要能识别古典概型.a23.已知函数f(x)=2x+(x>0).x(1)若a=—2，求函数f(x)的零点；(2)若f(x)>0在(1,+