量子力学试题

.word.zl.word.zl量子力学试题〔一〕及答案〔20分〕质量为m的粒子，在一维无限深势阱中V(x屮0-"-agx<0,x>a中运动，假设t二0时，粒子处于屮(屮(x,0)=占(x书2(X)+2，3(X)状态上，其中，申C)为粒子能量的第n个本征态。n求t二0时能量的可测值与相应的取值几率;求t>0时的波函数屮C’t)及能量的可测值与相应的取值几率解：非对称一维无限深势阱中粒子的本征解为n=1,2,3,…兀n=1,2,3,…E=n2,n2ma222(1)2-,1—+|_+\2，、丿艸3J12丿(1)首先，将屮C,0)归一化。由CI2=1可知，归一化常数为=卩2c一13于是，归一化后的波函数为屮6,0)=白屮6,0)=白(X)-+片31132可|—(p133(X)能量的取值几率为沁1)=善沁2)=13;WEL13能量取其它值的几率皆为零。(2)因为哈密顿算符不显含时间，故t>0时的波函数为'exp-二Et+J—Q(x)exp-二Et+—耳132”亠-3(x3(x)exp-二Et由于哈密顿量是守恒量，所以t>0时的取值几率与t=0时一样。〔20分〕质量为m的粒子在一维势阱s.x<0V(x)=<-V,0<x<a00,x>a中运动C。>0),假设该粒子在此势阱中有一个能量E二-+的状态，试确定此势阱的宽度a。解：对于解：对于E一牛<0的情况，三个区域中的波函数分别为(x)=0＜屮(x)=AsinkxCx)=Bex3其中，J2m|Ea二h在x=a处，利用波函数及其一阶导数连续的条件(a)(a)2'(a)2=V=V(a)3'(a)3得到Asinka=Bexp(-Oa)Akcoska=-Boexp(—OaAsinka=Bexp(-Oa)Akcoska=-Boexp(—Oa)于是有tanka=-AO此即能量满足的超越方程。1当E=—-V0时，由于tan'mV■——、％omV0-a0_丿=—1■mV0_方n=1,2,3,…最后，得到势阱的宽度WV0三.〔20分〕设厄米特算符H的本征矢为|n；,[n：构成正交归一完备系，定义一个算符1)计算对易子切卩Cm,nP;2)证明U/(m,n^7+(p,q)=§U/(m,p)；nq3)计算迹Tr4)假设算符A的矩阵元为A=沖|A|p:，证明4)mn'mn'A=YAU(m,n)mnm,nA=Tr2AU+(p,q)了pq

解：=HHU(m,n)屮;:一U(m,n)H|=HHU(m,n)屮;:一U(m,n)H|屮］=屮；—Q：■：＞|方|屮］=m'nmnr(m,nj叭-EU(m,nj屮i=一E)［/(m,nj屮;H\qEUm(Em故UCm,p)kU(m,n^(E一E)UUCm,p)〔2〕U(m,nb(p,q)=|q；：：：q|q\fqm，：np$、、q■nq3〕算符的迹为Trc/(m,nMmk)L工巴U(Trc/(m,nMmkk莎I申=Q即；=§11nk'nm'mn八X1八八X1八a=乙即1=mmn*'nm,nA=工即內|m、mYAU/(m,n)mnm,n而A-pq•p・・q•■-p='：＞p间申q)=Y@pSk加用申q＞=工〈貲|A|申’也hJ=工他|AA-pq•p・・q•■-pkTrAU+(p,qAU+kTrAU+(p,q1四.〔20分〕自旋为土、固有磁矩为p=ys〔其中丫为实常数〕的粒子，处2于均匀外磁场B=Bk中，设t=0时，粒子处于s=-的状态，0x2(1)求出t>0时的波函数；(2)求出t>0时S与S的可测值及相应的取值几率。xz2.word.zl2.word.zl解：体系的哈密顿算符为H=—口-B=—丫bs=—&三w&0z2zz在泡利表象中，哈密顿算符的本征解为E=w,1E=—w,2在t=0时，粒子处于s=的状态，即z2屮（0》=|+）x1+=XI-:1+=XI-:=X而&满足的本征方程为x（01、(aA=九(aAJ0丿<b丿<b丿解之得由于，哈密顿算符不显含时间，故t>0时刻的波函数为2〕因为|屮(/》=-^exp—2〕因为变，换句话说，0，所以s是守恒量，它的取值几率与平均值不随时间改zz变，换句话说，只要计算t=0时s的取值几率就知道了t>0时s的取值几率。由于=匕=匕,0]=-；W[s=—-,0=2Iz2)故有.word.zl.word.zl而s的取值几率为x〈+|屮（）x九）=〈+|屮（）x2't丿2BY=C0S2—0t2|+（一|卜p[—1钉丿2BY=C0S2—0t2—exp——Et+exp一2l力i丿I五.V（r）九）=———t2't五.V（r）九）=———t2't丿=sin2BLt220分〕类氢离子中，电子与原子核的库仑相互作用为Ze2〔Ze为核电荷〕r当核电荷变为（Z+11时，相互作用能增加谚=-—，试用微扰论计算它对能量r的一级修正，并与严格解比较。解：类氢离子的能量本征解为Eo二Eo

nlm|nlm;■Z2e2二一,n=n+1+12n2ar0式中，a0卩e2为玻尔半径。能量的一级修正为八1EG）=：：nlm网nlm；由维里定理知T二—-V2总能量E=T+V=-V=—竺nl|-|nl："^2^2r

所以，得到12EZp2EG二-e2{nlI-Ini：=竺二―亠,n二1,2,3,n■厂，Zn2a0微扰论近似到一级的能量为Z2e2Ze2Eu——n2n2an2a00而严格解为(Z+1)2(Z+1)2e2Z2e2Ze2e22n2a02n2an2a2n2a000量子力学试题〔二〕及答案量子力学试题〔二〕及答案一、〔20分〕在t二0时刻，氢原子处于状态屮（r,0）二c2屮1（r）+冷一（r）+式中，屮（一、〔20分〕在t二0时刻，氢原子处于状态屮（r,0）二c2屮1（r）+冷一（r）+式中，屮（r）为氢原子的第n个能量本征态。n计算t0时能量的取值几率与平均值，写出t>0时的波函数解：氢原子的本征解为En屮(r)=nlm=卩e42h2n2R(r)Y@,申)nllm其中，量子数的取值围是n=1,2,3,…；l=0,1,2,…,n—1m=—l,—l+1,•…,l—1,l由波函数归一化条件可知归一化常数为(11——+—+123不为零的能量取值几率为W(E)=W(E)1(E)=2能量平均值为E=1(E+E)+-E81342当t>0时，波函数为屮6,t)二i'3v(r)exp——Et+二屮\812」)exp(-1Et〕+鳥'Tv■'3\'8t323|LXe448方2e)expf-丄Et]20分〕设粒子处于一维势阱之中g,x<0V(x)=]一V,0<x<a、丿00,x>a式中，V0>0。导出能量本征值满足的超越方程，进而求出使得体系至少存在一个束缚态的V0值。解：对于E<0的情况，三个区域中的波函数分别为55)+ax(kx(一nxpixse0AB===)))xxx(((123

屮屮屮

厂，、J得到k二品m(E+V°)得到k二品m(E+V°)；h利用波函数再x=0处的连接条件知,J2m|E|5=n兀，n=0,1,2,…x=a在处，利用波函数及其一阶导数连续的条件屮(a)=屮(a)屮’(a)=屮'(a)23Asin(ka+n兀)=Bexp(—aa)Akcos(ka+n兀)=一Baexp(—aa)于是有tanka此即能量满足的超越方程。由于，余切值是负数，所以，角度ka在第2、4象限。超越方程也可以改写成式中，因为，|sin(ka<1，所以,当k式中，因为，|sin(ka<1，所以,当ka=即时,sin(ka)=1kaka0假设要上式有解，必须要求ka>ka0，于是，有整理之，得到三、〔20分〕在动量表象中，写出线谐振子的哈密顿算符的矩阵元。解：在坐标表象中，线谐振子的哈密顿算符为2x2在动量表象中，该哈密顿算符为2由于动量的本征函数为5(p—p')，故哈密顿算符的矩阵元为H=I5(p一pH=I5(p一p'p'p''—X](p”)2m11d2p2—mw2n2-2m2dp2—mw2n2_(2)I5(p”—p')2dtprI5(p-p”四、〔20分〕设两个自旋为1厂非全同粒子构成的体系，哈密顿量八八ffH=Csi-丨，其中，C为常数，s1与S2分别是粒子1和粒子2的自旋算符。t=0时，粒子1的自旋沿"轴的负方向，粒子2的自z旋沿轴的正方向，求z旋沿轴的正方向，求tz时测量粒子1的自旋处于轴负方向的几率z和粒子2的自旋处于轴负方向的几率。解：体系的哈密顿算符为H=Cs-:=CG2—S2—S2)122选择耦合表象，由于S=0,1，故四个基底为3=3=10)；00在此基底之下，哈密顿算符是对角矩阵，Hf(10Hf(100<001000010000一3丿可以直接写出它的解为E=12，+-I+I-+J3Ct=0时，体系处于因为哈密顿算符不显含时间，故t>0时刻的波函数为|00|00〉.word.zl.word.zlI屮(t二exp2I屮(t二exp2[+-：：+I-+Jexp-—E

力3丿(i、

-—C力tI4|10；：'-exp-—EI力4丿\-+Jexp(3i<7z|屮(t)〉||屮(t)〉|2+|(-1zexpexpcosexpexpcos(i」(3i--一C力t+expC力t14丿(4丿丿2exp22't而粒子2处于轴负方向的几率为2z(i」(3i一、-一C力t-expC方t12z(i」(3i一、-一C力t-expC方t14丿(4丿I屮(t))=K-2+丿2't21(iJ(iJexp-—C力t-exp—C力t2v2丿v2丿exp2五、20分〕作一维运动的粒子，|(+-1屮sin(t))当哈密顿算符为H=上上+V(x)时，能量本征值与本征矢分别为E0与|八，如果哈密顿02卩n『算符变成H=H+九A〔九为实参数〕时，0卩〔1〕利用费曼－海尔曼定理求出严格的能量本征值。⑵假设九<<1，利用微扰论计算能量本征值到二级近似。解：首先，利用费因曼－赫尔曼定理求出严格的能量本征值。视九为参变量，那么有aH八Pax利用费因曼-赫尔曼定理可知.word.zl.word.zl又知dxdt心=A”lpln八p2x,+ap2在任何束缚态n）下，均有dxdtn\=1ih1inihxH—Hx|n\=0所以，(n\p\n进而得到能量本征值满足的微分方程对上式作积分，得到利用a利用a=0时，H定出积分常数最后，得到H的本征值为其次，用微扰论计算能量的近似解。Ho满足的本征方程为力ol心=E0ln由

可知pmn第k个能级的一级修正为E（1）kkk能量的二级修正为E(2)kWknnk—Eo一E可知pmn第k个能级的一级修正为E（1）kkk能量的二级修正为E(2)kWknnk—Eo一Eokxkn为了求出上式右端的求和项，在H(xp)二工xpkkknnki方nxknLp-)xmnnnkE0-E0kE0kxnk0表象下计算i方nnnko)x|2knk可以证明，对于任意实束缚态波函数|k(xp丿kk于是，得到E0k)•xnk得到近似到二级的解为九2E〜Eo—kk2JI量子力学试题〔三〕及答案一、〔20分〕氢原子在t二0时处于状态p3p3（x）屮（x，,0）=3叮x）其中，p(x)为该氢原子的第n个能量本征态。求能量及自旋z分量的取值概率n与平均值，写出t>0时的波函数。解氢原子的本征值为#〕.word.zlH0的解为Eo=(n+屮(x,x)=P(xbC)g12ni1n22其中n,n,n-0,1,2,•…12a-1,2,3,…,fn4〕将前三个能量与波函数具体写出来Eo-力①;oEo—2力①,1Eo-3h①,2屮-申(x)9(X)屮。-；(X)*(；)屮1(X、1(x2)屮27(x1)9O(x2)屮21-f(xk(x2)22o屮23-f1112对于基态而言，n-n-n-o，f-1，体系无简并。12o利用公式SmW申)｛刖m,n-1可知E计-［屮0W|屮o：-OE(2)=IIfnMo网屮J呵屮。〕oEo一Eon丰Oa=1On显然，求和号中不为零的矩阵元只有■V。肘2J=M23W2oi=九2a25〕6〕7〕8〕于是得到基态能量的二级修正为E(2)-1匕-―九2力oEo—Eo4a48卩2®3o2第二激发态