寒假作业（十五）正弦型函数-【新教材】人教A版（2022）高中数学必修第一册

寒假作业（十五）函数一．单选题1．已知函数的部分图象如图所示，若，则函数的单调递增区间为（）A． B． C． D．2．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式为（）A． B． C． D．3．将函数y＝sin（x﹣）的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位，则所得图象对应的解析式为（）A．y＝sin（2x+） B．y＝sin（2x﹣） C．y＝sin（） D．y＝sin（）4．函数的图象如图所示，为了得到的图象，则只将f（x）的图象（）A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位5．将函数f（x）＝sin（2x+）图象上的每个点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的一半，再将所得图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，则g（x）图象的一个对称中心可以为（）A．（﹣，0） B．（﹣，0） C．（，0） D．（﹣，0）6．设函数f（x）＝cos（ωx+），（ω＞0），在[﹣π，π]上的图象大致如图，将该图象向右平移m（m＞0）个单位后所得图象π关于直线x＝对称，则m的最小值为（）A． B． C． D．7．将函数f（x）＝sin（2x+φ）的图象向左平移个单位后得到函数g（x）的图象，g（x）的图象在x＝处切线垂直于y轴，且g（π）+g（）＞0，则当φ取最小正数时，不等式g（x）≥的解集是（）A．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z） B．[kπ，kπ+]（k∈Z） C．[kπ﹣π，kπ﹣]（k∈Z） D．[kπ﹣，kπ]（k∈Z）8．函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则f（x）＝（）A．sin（πx+） B．sin（πx+） C．sin（πx﹣） D．sin（πx﹣）二．多选题9．把函数y＝sin2x的图象沿x轴向左平移个单位，纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）后得到函数y＝f（x）的图象，对于函数y＝f（x）有以下四个判断，其中正确的是（）A．该函数的解析式为y＝2sin（2x+） B．该函数图象关于点（，0）对称 C．该函数在[0，]上是增函数 D．若函数y＝f（x）+a在[0，]上的最小值为，则a＝210．将函数的图象向右平移个单位，再把横坐标缩小到原来的一半，得到函数g（x）的图象，则关于函数g（x）的结论错误的是（）A．最小正周期为π B．关于对称 C．单调递增 D．关于对称11．已知函数f（x）＝sin（2x﹣），把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）的图象．关于函数g（x），下列说法正确的是（）A．函数g（x）是偶函数 B．函数g（x）在[0，π]上是减函数 C．函数g（x）其图象关于直线x＝对称 D．当x∈[0，]时，函数g（x）的值域是[]12．保持函数图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得到函数g（x）的图象，若g（x）在[0，π]上有且仅有3个零点，下列结论中正确的是（）A．函数在[0，π]上有且仅有3个零点 B．函数g（x）在[0，π]上有且仅有1个极小值点 C．函数g（x）在[0，π]上有且仅有1个极大值点 D．函数在[0，π]上有且仅有3个零点三．填空题13．将函数y＝f（x）图象右移个单位，再把所得的图象保持纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍得到y＝sin（x﹣），则f（）＝．14．函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（x）＝．15．先将函数y＝cos（x+φ）（φ∈（0，π））的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，所得函数图象关于y轴对称，则φ＝．16．将函数的图象向右平移a（a＞0）个单位得到函数g（x）的图象，若存在x0∈R使得f（x0）﹣g（x0）＝﹣4，则a的最小值为．四．解答题17．已知函数f（x）＝Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示．（1）求f（x）的解析式；（2）设．若关于x的不等式g2（x）﹣（3m+2）g（x）﹣m﹣23≤0恒成立，求m的取值范围．18．设函数f（x）＝sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣），其中0＜ω＜3，已知f（）＝0．（1）求f（x）的最小正周期；（2）将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将整个图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）在区间[﹣，]上的最小值．19．已知函数．（Ⅰ）设α∈[0，2π]，且f（α）＝1，求α的值；（Ⅱ）将函数y＝f（2x）的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象．当时，求满足g（x）≤2的实数x的集合．20．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象，如图所示．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在[0，m]上单调递增，当实数m取最大值时，求函数f（x）在[0，m]的值域．

寒假作业（十五）函数答案1．解：根据函数的部分图象知，若，则f（x）的对称轴方程为x＝×（+）＝；令＝﹣＝，解得T＝π，所以ω＝＝2；又x＝时，函数f（x）取得最大值，即2×+φ＝，解得φ＝﹣；所以f（x）＝sin（2x﹣）．令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z；所以f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，（k∈Z）．故选：A．2．解：易知A＝2，T＝2（）＝π，故，故此时f（x）＝2sin（2x+φ），将（）代入得，故，解得．所以f（x）＝2sin（2x+）．故选：A．3．解：将函数y＝sin（x﹣）的图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得函数y＝sin（x﹣）的图象，再向左平行移动个长度单位，则所得的函数图象对应的解析式为y＝sin[（x+）﹣]＝sin（﹣），故选：C．4．解：由函数f（x）＝sin（ωx+φ）的图象知，T＝4×（﹣）＝π，所以ω＝＝2；由2×+φ＝π，解得φ＝；所以f（x）＝sin（2x+）＝sin2（x+）．为了得到＝sin（2x+）＝sin2（x+）＝sin2[（x+）+]的图象，只需将f（x）的图象向左平移个单位．故选：A．5．解：将函数f（x）＝sin（2x+）图象上的每个点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的一半，可得y＝sin（4x+）的图象；再将所得图象向左平移个单位，得到函数g（x）＝sin（4x++）＝sin（4x+）的图象，令4x+＝kπ，求得x＝﹣，k∈Z，令k＝0，可得g（x）图象的一个对称中心为（﹣，0），故选：D．6．解：函数f（x）＝cos（ωx+），（ω＞0），在[﹣π，π]上的图象大致如图，∴根据五点法作图可得ω×（﹣）+＝﹣，∴ω＝，f（x）＝cos（x+）．将该图象向右平移m（m＞0）个单位后可得y＝cos（•x﹣+）图象，根据所得图象关于直线x＝对称，可得×﹣+＝kπ，k∈Z，则令k＝0，可得m的最小值为，故选：C．7．解：将函数f（x）＝sin（2x+φ）的图象向左平移个单位后，得到函数g（x）＝sin（2x++φ）＝cos（2x+φ）的图象，g（x）的图象在x＝处切线垂直于y轴，即g（x）的图象在x＝处切线斜率为零，即g′（）＝﹣2sin（2×+φ）＝0，∴φ的值可以为，此时，f（x）＝sin（2x+），g（x）＝cos（2x+）．此时，g（π）+g（）＝﹣﹣＜0，不满足条件．若取φ＝﹣，g（x）＝cos（2x﹣），g（π）+g（）＝+＞0，满足条件．则当φ取最小正数时，不等式g（x）＝cos（2x+）≥，即cos（2x+）≥，故+2kπ≤2x+≤+2kπ，求得kπ≤x≤kπ+．由于函数f（x）的周期为π，故kπ≤x≤kπ+，即kπ﹣π≤x≤kπ﹣．故不等式的解集为{x|kπ﹣π≤x≤kπ﹣，k∈Z}，故选：C．8．解：由图象可得A＝1，再根据T＝﹣＝，可得T＝2，所以ω＝＝π，再根据五点法作图可得π×+ϕ＝0，求得ϕ＝﹣，故函数的解析式为f（x）＝sin（πx﹣）．故选：C．9．解：把函数y＝sin2x的图象沿x轴向左平移个单位，得y＝sin2（x+）＝sin（2x+）的图象；再纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）后，得到y＝2sin（2x+）的图象；所以函数y＝f（x）＝2sin（2x+），选项A正确．x＝时，f（x）＝2sin（2×+）＝0，所以函数y＝f（x）图象关于点（，0）对称，选项B正确．x∈[0，]时，2x+∈[，]，f（x）＝2sin（2x+）先增后减，所以选项C错误．x∈[0，]时，2x+∈[，]，2sin（2x+）∈[﹣，2]，若函数y＝f（x）+a在[0，]上的最小值为，即﹣+a＝，解得a＝2，选项D正确．故选：ABD．10．解：把函数f（x）的图象向右平移单位，得到，再把横坐标缩小到原来的一半，得到函数g（x），可得，A：最小正周期为，故选项A错误；B：由，可得，故选项B正确；C：由正弦函数的单调性可得单调递增，单调递减，故选项C错误；D：由，可得，则对称中心的坐标为，故选项D错误．故选：ACD．11．解：g（x）＝sin[2（x+）﹣]＝cos2x，是偶函数，即选项A正确；令2x∈[2kπ，π+2kπ]，k∈Z，则x∈[kπ，+kπ]，k∈Z，所以g（x）的单调递减区间为[kπ，+kπ]，k∈Z，即选项B错误；令2x＝kπ，k∈Z，则x＝，k∈Z，所以g（x）的对称轴为x＝，k∈Z，即选项C错误；当x∈[0，]时，2x∈[0，]，cos2x∈[，1]，所以函数g（x）的值域是[]，即选项D正确．故选：AD．12．解：由题意可知，g（x）＝sin（ωx﹣），当x∈[0，π]时，，由于函数g（x）在[0，π]上有且仅有3个零点，则2，令t＝，则2π≤t＜3π，作出函数y＝sint在区间[﹣]上的图象如图所示：直线y＝与函数y＝sint在区间[﹣]上图象的交点个数为2或3或4，所以函数y＝g（x）﹣在区间[0，π]上的零点个数为2或3或4，A选项错误，函数g（x）在[0，π]上有且仅有1个极小值点，B正确，函数g（x）在[0，π]上的极大值点的个数为1或2，C错误，直线y＝﹣与函数y＝sint在区间[﹣]上的图象的交点个数为3个，则函数y＝g（x）+在[0，π]上有且仅有3个零点，D正确，故选：ABD．13．解：将函数y＝f（x）图象右移个单位，再把所得的图象保持纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到y＝sin（x﹣），故把y＝sin（x﹣）的图象，横坐标伸长到原来的倍，再把它的图象左移个单位，可得f（x）＝sin2x的图象，则f（）＝sin＝，故答案为：．14．解：由图象可得：＝，且A＝2，则T＝π，所以T＝＝π，即ω＝2，所以f（x）＝2sin（2x+φ），又f（x）max＝f（）＝2sin（2×+φ）＝2，所以φ+＝，k∈Z，则φ＝2kπ﹣，k∈Z，又|φ|＜，所以φ＝﹣，所以函数f（x）是解析式为：f（x）＝2sin（2x﹣），故答案为：f（x）＝2sin（2x﹣）．15．解：先将函数y＝cos（x+φ）（φ∈（0，π））的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），可得y＝cos（x+φ）的图象；再向左平移个单位长度，可得函数y＝cos（x++φ）的图象，根据所得函数图象关于y轴对称，可得+φ＝kπ，k∈Z，则φ＝，故答案为：．16．解：将函数的图象向右平移a（a＞0）个单位得到函数g（x）＝2sin（2x﹣2a+）的图象，若存在x0∈R使得f（x0）﹣g（x0）＝﹣4，则f（x0）＝﹣2，g（x0）＝2，则a的最小值为f（x）的半个周期，即a＝＝，故答案为：．17．解：（1）由图可知A＝2，T＝﹣＝，解得T＝π，所以ω＝＝2，所以f（x）＝2cos（2x+φ）；因为f（x）的图象过点（，2），所以2cos（2×+φ）＝2，解得φ＝2kπ﹣，k∈Z；因为0＜φ＜π，所以φ＝，所以f（x）＝2cos（2x+）；（2）由（1）可得g（x）＝2cos（2x+）+2cos（﹣2x）+1＝2cos（2x+）+2sin（2x+）+1＝4sin（2x++）+1＝4cos2x+1；设t＝g（x），因为﹣1≤cos2x≤1，所以﹣3≤g（x）≤5；又因为不等式g2（x）﹣（3m+2）g（x）﹣m﹣23≤0恒成立，即h（t）＝t2﹣（3m+2）t﹣m﹣23≤0在[﹣3，5]上恒成立，则，即，解得﹣≤m≤1，所以m的取值范围是[﹣，1]．18．解：（1）函数f（x）＝sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣）＝sinωxcos﹣cosωxsin﹣sin（﹣ωx）＝sinωx﹣cosωx＝sin（ωx﹣），又f（）＝sin（ω﹣）＝0，∴ω﹣＝kπ，k∈Z，解得ω＝6k+2，又0＜ω＜3，∴ω＝2，f（x）的最小正周期T＝＝π；（2）由（1）知，f（x）＝sin（2x﹣），将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y＝sin（x﹣）的图象；再将得到的图象向左平移个单位，得到y＝sin（x+﹣）的图象，∴函数y＝g（x）＝sin（x﹣）；当x∈[﹣，]时，x﹣∈[﹣，]，∴sin（x﹣）∈[﹣，1]，∴当x＝﹣时，g（x）取得最小值是﹣×＝﹣．19．解：（Ⅰ）由＝，由，得sin（α+）＝0，又α∈[0，2π]，得或．（Ⅱ）由题知，，由g（x）≤2，得，∴，∵，，∴，或，∴，或，即所求x的集合为，或．2