排列组合问题常见解题策略

排列组合问题，常见解题策略曹永玉排列组合问题是高考的必考内容，也是高考题中正确率最低的题目之一。究其原因，是因为其思维方式独特，解题思路新颖，如果对题意认识出现偏差的话，极易出现计数中的“重复”和“遗漏”。教学中，提高学生解排列组合题的有效途径是将一些常见题型进行方法归类，构造模型解题，这样有利于学生认识模式，进而熟练应用。本文列举了几种常见的排列组合问题的解题策略，以期对大家有所帮助。一、排列问题1.某个（或某几个）元素要排在指定位置——特殊元素“优先法” 。例1.乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力要排在第一、三、五位置，其余7队员中选2名排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有多少种？解析：3名主力的位置确定在第一、三、五位中选，将他们优先安排，有23种可能，然后从其他队员中选2人安排在第二、四位置，有2种排法，AAA7373因此结果有A3种。点评：先排特殊（特殊元素或特殊位置）是解决排列问题的基本方法。某个元素不排在指定位置——排除法。例2．5个人排队，其中甲不在排头的排法有多少？解析1：（排除法）55，其中甲在排头的排列数4人的全排列数AA，故甲54不在排头的排列数5--A4种A54=96解析2：（特殊元素优先法）：先从余下的4个位置中选一位置排上，甲有1种方法，然后其他4个元素排在余下的四个位置44A1种排法。AA，所以总计A4444解析3：（特殊元素优先法）：先从甲以外的4人中选出一人排在特殊位置——排头A1，然后其他四个元素排在余下的44，所以总计14种个位置AAA4444排法。相邻问题——捆绑法例3．4名男生和4名女生排成一排照相，要求4名女生必须相邻，有多少种排法？解析：4名女生看作一个整体（捆绑），与4名男生共五个元素全排列5A，5但这4名女生内部又有顺序44A5种不同排法。A，故A445小团体问题——捆绑法例4．5人站一排，其中甲、乙之间有且只有一人的站法有多少？解析：先从甲、乙之外的 3人中选一人，然后将甲、乙排在他的两边有12种方式，3人形成一个小团体，看作一个元素再与余下的2人排列有A3CA323123种不同站法。种。因此共AAA323不相邻问题——插空法例5．要排一个有5个独唱节目和3个舞蹈节目单，如果舞蹈节目不排在开头，并且任意两个舞蹈节目不排在一起，则不同的排法有多少？解析：先将5个独唱节目排列5个空挡中，从后面5个空挡A，形成的65中选3个排在舞蹈节目353种不同排法。A，故有AA555定序排列问题——缩短法例6．书架上有6本书，新买了3本书插进去，保持原来6本书的顺序不变，有多少种排法？解析：9本书作全排列A99，考虑到原来6本书的顺序不变，原来的每一种排法都重复了696种插法。A次，因此有A/A696点评：若有n个元素参加排列，其中有 m个元素顺序是确定的，则排列m数An/Am重复排列问题——住店法例7．8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有多少？解析：冠军不能重复给多名同学，但同一同学可以获得多项冠军。把 8名同学看作8家店，3项冠军看作三个客，他们都住进任意一家店，每个店都有8种可能，因此共有 83种不同结果。点评：⑴重复排列问题要区分两类元素，一类可以重复，看作店，另一类不能重复，看作客。则通过住店法可以顺利解决。⑵类似问题很多，信投箱问题，映射问题均可以通过住店法解决。如 8封信投进3个信箱，有多少不同结果？这里 8封信是客，3个信箱是店，故有38种结果。8．多排问题——排法例8.9 个人排3排，每排3人，有多少种不同的排法？解析：将2、3排的排头分别接到第 1、2排的排尾， 问题转化为9人排9一排，故有A9种。标号排位问题——分步法例9．同室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿到一张别人的贺卡，则四张卡不同的分配方式有多少种？解析：先将四个人标号㈠㈡㈢㈣ ,各自的卡标号①②③④，转化为卡与人1不对号入座问题。第一步㈠号同学取 1张①号之外的卡 A3；第二步由㈠号同学取出的那张贺卡的供卡人取， 有3种取法；第三步由第二步取出的卡的供卡人取，只有一种取法；第四步最后 1人取卡，也只有 1种取法，故有 3×3×1=9种分配方法。点评：从第二步起，每 1步由上一步取得卡的供卡人取。二、组合问题1、某元素一定选上（或不选上）问题例10．某乒乓球队 9名队员，其中2名种子选手，现选 5人参赛，种子选手都必须在内，有多少种不同选法？略解：C73至多、至少选上几个问题——分类讨论或排除法例11.在200件产品中有3件次品，现从中任取5件，其中至少有2件次品的取法有多少？2332略解一（分类讨论）：C3C197+C3C197略解二（排除法）：C5—C541—CC20019719733 、分组（分堆）问题①均匀分组问题：n个元素分成 m组，每组 r 个元素，则分法r r[CnCn--r

-----C

rr]/A

mm（其中

mr=n）例12．6本书分成3堆，每堆2本，有多少分法？222/A3=15种分法解析：共CCC6423②非均匀分组法例13．6本不同书分成1本，2本，3本3堆，有多少种不同分法？解析：先从6本中取出1本为一堆，再从剩下的5本中取2本为第二堆，12C33=60种分法。余下的为第3堆时，故共C6C5点评：①若只有分堆，而不只是分到某一位置或某个人， 则只与组合有关。③要区分是否均匀分堆，均匀分堆要除以排列数Am（其中m为分成组数）m4、分配问题。例14．12名同学平均分3组，参加制作航空模型比赛，3个教师各参加一组进行指导，问有多少种分组方法？解析一：将12名同学平均分3组，共[C124C84C44/A33]种分法，再对3名教师按每组一人分配到各组去有A中方式，故共{[C4443]}A3中分12CC/A3=34650843组方法。解析二：先将3名教师各设为 1组，再将12名学生按序平均分配到这三4 4 4个组中去，共计 C12C8C4=34650种分配方式。点评：若分配中，指定分到某个特定位置或某个人， 则与排列组合都有关，一般先组合，后排列。即这样的分配问题可按解析一种方式先分堆，再分配。5、相同元素的分配问题——隔板法例15．有10个三好学生名额，分配到高