配方法解一元二次方程

第1页（共1页）2016年09月01日配方法一．选择题（共15小题）1．有两个一元二次方程M：ax2+bx+c=0，N：cx2+bx+a=0，其中a×c≠0，a≠c；以下列四个结论中错误的是（）A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根B．如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=12．一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的根的情况为（）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根 D．没有实数根3．对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），下列说法：①当b=a+c时，则方程ax2+bx+c=0一定有一根为x=﹣1；②若ab＞0，bc＜0，则方程ax2+bx+c=0一定有两个不相等的实数根；③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0；④若b=2a+3c，则方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．其中正确的是（）A．①② B．①③ C．①②④ D．②③④4．等腰△ABC的三边分别为a、b、c，其中a=5，若关于x的方程x2+（b+2）x+6﹣b=0有两个相等的实数根，则△ABC的周长是（）A．9 B．12 C．9或12 D．不能确定5．已知α是一元二次方程x2﹣x﹣1=0较大的根，则下面对α的估计正确的是（）A．0＜α＜1 B．1＜α＜1.5 C．1.5＜α＜2 D．2＜α＜36．一元二次方程x2+2x﹣6=0的根是（）A．x1=x2= B．x1=0，x2=﹣2 C．x1=，x2=﹣3 D．x1=﹣，x2=37．已知一元二次方程x2﹣x﹣3=0的较小根为x1，则下面对x1的估计正确的是（）A．﹣2＜x1＜﹣1 B．﹣3＜x1＜﹣2 C．2＜x1＜3 D．﹣1＜x1＜08．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+3=0有实数根，则整数a的最大值是（）A．2 B．1 C．0 D．﹣19．如果关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）A．k＜ B．k＜且k≠0C．﹣≤k＜ D．﹣≤k＜且k≠010．若实数a，b满足，则a的取值范围是（）A．a≤﹣2 B．a≥4 C．a≤﹣2或a≥4 D．﹣2≤a≤411．已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，下列说法：①若a+b+c=0，则b2﹣4ac＞0；②若方程两根为﹣1和2，则2a+c=0；③若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根；④若b=2a+c，则方程有两个不相等的实根．其中正确的有（）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④12．若关于x的一元二次方程k2x2﹣（2k+1）x+1=0的两个实数根，则k的取值范围为（）A． B． C．且k≠0 D．且k≠013．关于x的方程（m﹣2）x2﹣2x+1=0有实数解，那么m的取值范围是（）A．m≠2 B．m≤3 C．m≥3 D．m≤3且m≠214．已知△ABC的三边长为a，b，c，且满足方程a2x2﹣（c2﹣a2﹣b2）x+b2=0，则方程根的情况是（）A．有两相等实根 B．有两相异实根 C．无实根 D．不能确定15．若关于x的方程x2+2x﹣1=0有两个实数根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1 B．k≥0 C．k＞1 D．k≥﹣1二．填空题（共5小题）16．若一元二次方程（k﹣1）x2﹣4x﹣5=0有两个不相等实数根，则k的取值范围是．17．关于x的方程kx2﹣4x+3=0有实数根，k的取值范围．18．关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣（2m+1）x+m﹣2=0有实数根，则m的取值范围是．19．已知关于x的方程x2+（1﹣m）x+=0有两个不相等的实数根，则m的最大整数值是．20．若m＞n＞0，m2+n2=4mn，则的值等于．三．解答题（共3小题）21．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．22．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m+1=0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）m为何整数时，此方程的两个根都为正整数．23．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）当时，求的值．

2016年09月01日配方法参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．（2016春•杭州期中）有两个一元二次方程M：ax2+bx+c=0，N：cx2+bx+a=0，其中a×c≠0，a≠c；以下列四个结论中错误的是（）A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根B．如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1【解答】解：A、如果方程M有两个相等的实数根，那么△=b2﹣4ac=0，所以方程N也有两个相等的实数根，结论正确，不符合题意；B、如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同，那么△=b2﹣4ac≥0，＞0，所以a与c符号相同，＞0，所以方程N的两根符号也相同，结论正确，不符合题意；C、如果5是方程M的一个根，那么25a+5b+c=0，两边同时除以25，得c+b+a=0，所以是方程N的一个根，结论正确，不符合题意；D、如果方程M和方程N有一个相同的根，那么ax2+bx+c=cx2+bx+a，（a﹣c）x2=a﹣c，由a≠c，得x2=1，x=±1，结论错误，符合题意；故选：D2．（2015•锦州）一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的根的情况为（）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根 D．没有实数根【解答】解：根据题意△=（﹣2）2﹣4×（﹣1）=8＞0，所以方程有两个不相等的实数根．故选：B．3．（2015春•兴化市校级期末）对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），下列说法：①当b=a+c时，则方程ax2+bx+c=0一定有一根为x=﹣1；②若ab＞0，bc＜0，则方程ax2+bx+c=0一定有两个不相等的实数根；③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0；④若b=2a+3c，则方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．其中正确的是（）A．①② B．①③ C．①②④ D．②③④【解答】解：对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），△=b2﹣4ac，①将x=﹣1代入方程ax2+bx+c=0，得a﹣b+c=0，即b=a+c．故①正确．②若ab＞0，bc＜0，则ac＜0，∴△=b2﹣4ac＞0，即方程ax2+bx+c=0一定有两个不相等的实数根．故②正确．③将x=c代入方程ax2+bx+c=0，得ac2+bc+c=0，得c=0或ac+b+1=0．故③错误．④若b=2a+3c，△=b2﹣4ac=4（a+c）2+5c2＞0，∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．故④正确．所以正确的是①②④，故选C．4．（2015秋•诸城市期末）等腰△ABC的三边分别为a、b、c，其中a=5，若关于x的方程x2+（b+2）x+6﹣b=0有两个相等的实数根，则△ABC的周长是（）A．9 B．12 C．9或12 D．不能确定【解答】解：∵关于x的方程x2+（b+2）x+6﹣b=0有两个相等的实数根，∴△=（b+2）2﹣4（6﹣b）=0，即b2+8b﹣20=0；解得b=2，b=﹣10（舍去）；①当a为底，b为腰时，则2+2＜5，构不成三角形，此种情况不成立；②当b为底，a为腰时，则5﹣2＜5＜5+2，能够构成三角形；此时△ABC的周长为：5+5+2=12．故选B．5．（2014•荆州）已知α是一元二次方程x2﹣x﹣1=0较大的根，则下面对α的估计正确的是（）A．0＜α＜1 B．1＜α＜1.5 C．1.5＜α＜2 D．2＜α＜3【解答】解：解方程x2﹣x﹣1=0得：x=，∵a是方程x2﹣x﹣1=0较大的根，∴a=，∵2＜＜3，∴3＜1+＜4，∴＜＜2，故选：C．6．（2014•淄博）一元二次方程x2+2x﹣6=0的根是（）A．x1=x2= B．x1=0，x2=﹣2 C．x1=，x2=﹣3 D．x1=﹣，x2=3【解答】解：∵a=1，b=2，c=﹣6∴x====﹣±2，∴x1=，x2=﹣3；故选：C．7．（2013•日照）已知一元二次方程x2﹣x﹣3=0的较小根为x1，则下面对x1的估计正确的是（）A．﹣2＜x1＜﹣1 B．﹣3＜x1＜﹣2 C．2＜x1＜3 D．﹣1＜x1＜0【解答】解：x2﹣x﹣3=0，b2﹣4ac=（﹣1）2﹣4×1×（﹣3）=13，x=，方程的最小值是，∵3＜＜4，∴﹣3＞﹣＞﹣4，∴﹣＞﹣＞﹣2，∴﹣＞﹣＞﹣2，∴﹣1＞＞﹣故选：A．8．（2013•咸宁）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+3=0有实数根，则整数a的最大值是（）A．2 B．1 C．0 D．﹣1【解答】解：根据题意得：△=4﹣12（a﹣1）≥0，且a﹣1≠0，解得：a≤，a≠1，则整数a的最大值为0．故选C．9．（2012•襄阳）如果关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）A．k＜ B．k＜且k≠0C．﹣≤k＜ D．﹣≤k＜且k≠0【解答】解：由题意知：2k+1≥0，k≠0，△=2k+1﹣4k＞0，∴≤k＜，且k≠0．故选：D．10．（2012•浙江校级自主招生）若实数a，b满足，则a的取值范围是（）A．a≤﹣2 B．a≥4 C．a≤﹣2或a≥4 D．﹣2≤a≤4【解答】解：把看作是关于b的一元二次方程，因为b是实数，所以关于b的一元二次方程的判别式△≥0，即a2﹣4（a+2）≥0，a2﹣2a﹣8≥0，（a﹣4）（a+2）≥0，解得a≤﹣2或a≥4．故选C．11．（2012•武汉模拟）已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，下列说法：①若a+b+c=0，则b2﹣4ac＞0；②若方程两根为﹣1和2，则2a+c=0；③若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根；④若b=2a+c，则方程有两个不相等的实根．其中正确的有（）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④【解答】解：①当x=1时，有若a+b+c=0，即方程有实数根了，∴△≥0，故错误；②把x=﹣1代入方程得到：a﹣b+c=0（1）把x=2代入方程得到：4a+2b+c=0（2）把（2）式减去（1）式×2得到：6a+3c=0，即：2a+c=0，故正确；③方程ax2+c=0有两个不相等的实数根，则它的△=﹣4ac＞0，∴b2﹣4ac＞0而方程ax2+bx+c=0的△=b2﹣4ac＞0，∴必有两个不相等的实数根．故正确；④若b=2a+c则△=b2﹣4ac=（2a+c）2﹣4ac=4a2+c2，∵a≠0，∴4a2+c2＞0故正确．②③④都正确，故选C．12．（2012•安徽模拟）若关于x的一元二次方程k2x2﹣（2k+1）x+1=0的两个实数根，则k的取值范围为（）A． B． C．且k≠0 D．且k≠0【解答】解：根据题意列出方程组，解得k≥﹣且k≠0．故选：D．13．（2012秋•东台市期中）关于x的方程（m﹣2）x2﹣2x+1=0有实数解，那么m的取值范围是（）A．m≠2 B．m≤3 C．m≥3 D．m≤3且m≠2【解答】解：（1）当m=2时，原方程变为﹣2x+1=0，此方程一定有解；（2）当m≠2时，原方程是一元二次方程，∵有实数解，∴△=4﹣4（m﹣2）≥0，∴m≤3．所以m的取值范围是m≤3．故选B．14．（2011•黄州区校级自主招生）已知△ABC的三边长为a，b，c，且满足方程a2x2﹣（c2﹣a2﹣b2）x+b2=0，则方程根的情况是（）A．有两相等实根 B．有两相异实根 C．无实根 D．不能确定【解答】解：∵a，b，c为△ABC的三边长，∴a2≠0．∴△=（c2﹣a2﹣b2）2﹣4a2•b2，=（c2﹣a2﹣b2﹣2ab）（c2﹣a2﹣b2+2ab），=[c2﹣（a+b）2][c2﹣（a﹣b）2]，=（c﹣a﹣b）（c+a+b）（c+a﹣b）（c﹣a+b），又∵三角形任意两边之和大于第三边，所以△＜0，则原方程没有实数根．故选C．15．（2010秋•虞城县期末）若关于x的方程x2+2x﹣1=0有两个实数根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1 B．k≥0 C．k＞1 D．k≥﹣1【解答】解：由题意得：（2）2+4≥0，解得k≥﹣1，又∵二次根式的被开方数k≥0，故选B．二．填空题（共5小题）16．（2016春•日照期末）若一元二次方程（k﹣1）x2﹣4x﹣5=0有两个不相等实数根，则k的取值范围是k＞且k≠1．【解答】解：∵a=k﹣1，b=﹣4，c=﹣5，方程有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=16﹣4×（﹣5）×（k﹣1）=20k﹣4＞0，∴k＞，又∵二次项系数不为0，∴k≠1，即k≥且k≠1．17．（2015•本溪模拟）关于x的方程kx2﹣4x+3=0有实数根，k的取值范围k≤．【解答】解：当k=0，方程变形为﹣4x+3=0，此一元一次方程的解为x=；当k≠0，△=16﹣4k×3≥0，解得k≤，且k≠0时，方程有两个实数根，综上所述实数k的取值范围为k≤．故答案为：k≤．18．（2015秋•济宁校级期末）关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣（2m+1）x+m﹣2=0有实数根，则m的取值范围是m≥﹣且m≠﹣1．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣（2m+1）x+m﹣2=0有实数根，∴△=[﹣（2m+1）]2﹣4（m+1）（m﹣2）=8m+9≥0，解得：m≥﹣，∵m+1≠0，∴m≠﹣1，∴m的取值范围是：m≥﹣且m≠﹣1．故答案为：m≥﹣且m≠﹣1．19．（2014•贺州）已知关于x的方程x2+（1﹣m）x+=0有两个不相等的实数根，则m的最大整数值是0．【解答】解：根据题意得△=（1﹣m）2﹣4×＞0，解得m＜，所以m的最大整数值为0．故答案为：0．20．（2014•苏州模拟）若m＞n＞0，m2+n2=4mn，则的值等于2．【解答】解：∵m＞n＞0，m2+n2=4mn，∴（m+n）2=6mn，（m﹣n）2=2mn，∴m+n=，m﹣n=，∴===2；故答案是：2．三．解答题（