初二数学特训班讲义

新东方在线[]网络课堂电子教材系列初二数学根底知识初一数学根底知识讲义主讲：陈明欢送使用新东方在线电子教材第一讲一次函数一、教学目标：通过简单实例，了解常量、变量的意义。能结合实例，了解函数的概念和三种表示方法，能举出函数的实例。能结合图象对简单的实际问题中的函数关系进行分析，并会确定简单实际问题的函数的自变量的取值范围，并会求函数值。结合具体情境体会一次函数的定义，根据条件确定一次函数的表达式。会画一次函数的图象，根据图象和解析式探索并理解一次函数的性质。理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程组的关系。能根据一次函数的图象求二元一次方程组的解，并能用一次函数解决实际问题，体会函数的模型思想。二、知识点精析：函数及其图像：函数是研究现实世界变化规律的一个重要模型，本章首先通过实际问题学习常量、变量的概念，然后学习函数的定义及其表示方法，最后通过平面直角坐标系研究函数的图象及表示方法。函数的概念是本章学习的重点，又是本章学习的难点，对于这一概念可以从如下两方面加深理解：〔1〕通过书中的实例进行理解；〔2〕在对函数有一些认识的根底上去发现并建立生活中的函数模型，结合实际问题掌握函数关系的三种表示方法：解析法、列表法与图象法，会用描点法画函数的图象，掌握其一般步骤：列表、描点、连线。一次函数的图象及性质：一次函数是初中阶段的一种最根本、最特殊的函数，在研究一次函数时，要紧紧抓住一次函数的图象这一重要工具，根据图象的特征来理解一次函数的性质。进一步领悟“数形结合思想〞，并能熟练运用待定系数法求一次函数的解析式。一次函数与方程〔组〕、不等式的关系：一元一次方程、一元一次不等式是一次函数y=kx+b当y=0、y>0或y<0时的特例，而二元一次方程组那么是对应着两条直线。因此在本章学习中，要会运用函数的观点来研究方程〔组〕、不等式，学会将方程〔组〕、不等式转化为一次函数问题，能利用图象法解方程〔组〕、不等式，并能综合运用函数、方程、不等式的知识来解决实际问题。一次函数的应用：一次函数是反映现实世界中变量间的数量变化规律的一种常见数学模型，要善于从实际问题中分析变量与自变量之间的关系，建立一次函数模型〔包括分段函数模型〕，并借助一次函数的图象和性质解决生产、生活、市场经济等实际问题中函数最大〔小〕值、分段计算、函数值〔或自变量取值〕的大小比拟等有关的问题〔如：最优化问题、方案决策问题等〕。三、解题方法指导：1．有关函数的概念【例1】〔云南省〕正比例函数y=kx〔k≠0〕的函数值y随x的增大而减小，那么一次函数y=x＋k的图象大致是图中的〔〕【分析】∵y随x的增大而减小，∴k<0．∵y=x＋k中x的系数为1>0，k<0，∴经过一、三、四象限，应选B．答案B．【点评】此题综合考查正比例函数和一次函数图象和性质，k＞0时，函数值随自变量x的增大而增大．2．自变量的取值范围作为函数的三大要素之一，自变量的取值范围这一问题理所当然成为中考重点考查的内容之一，并且绝大局部的试题都是单独命题来专门考查．【例2】〔资阳市〕函数的自变量x的取值范围是_________．【分析】要使函数有意义，必须1－2x≥0x+1≠0，解得x≤1/2且x≠0．【点评】此题主要考查考生是否理解函数中自变量的取值范围的意义及解不等式、不等式组的运算能力，解题的关键是根据函数的解析式列出相应的不等式或不等式组，然后再求解．在列出不等式或不等式组时，一般主要考虑：①分母不等于零；②二次根式的被开方数非负；③如果自变量同时出现在分母与二次根式的被开方数中，那么应根据上述①与②列出不等式组．3．确定函数的解析式此类问题主要是考查考生利用待定系数法来求出有关函数一般解析式中的未知系数，从而确定该函数解析式的能力．【例3】〔陕西〕某出版社出版一种适合中学生阅读的科普读物，假设该读物首次出版印刷的印数不少于5000册时，投入的本钱与印数间的相应数据如下：印数x〔册〕500080001000015000……本钱y〔元〕28500360004100053500……〔1〕经过对上表中数据的探究，发现这种读物的投入本钱y〔元〕是印数x〔册〕的一次函数，求这个一次函数的解析式〔不要求写出x的取值范围〕；〔2〕如果出版社投入本钱48000元，那么能印该读物多少册？【分析】〔1〕设所求一次函数的解析式为y＝kx＋b，那么解得k＝，b＝16000．∴所求的函数关系式为y＝x＋16000．〔2〕∵48000＝x＋16000．∴x＝12800．答：能印该读物12800册．【点评】此题主要考查待定系数法以及解方程(组)的运算能力．解题时应根据函数图象上的点的坐标与函数解析式之间的关系列出方程或方程组，然后再求解．4．图表信息【例4】〔苏州卷〕如图，平面直角坐标系中画出了函数y=kx+b的图像．〔1〕根据图像，求k和b的值．〔2〕在图中画出函数y=-2x+2的图像．〔3〕求x的取值范围，使函数y=kx+b的函数值大于函数y=-2x+2的函数值．【分析】根据图象信息，求出一次函数解析式，找出图象的交点坐标，再根据图象的位置，判断函数值的大小．【解】〔1〕∵直线y=kx+b经过点〔-2，0〕，〔0，2〕．∴解得∴y=x+2．〔2〕y=-2x+2经过〔0，2〕，〔1，0〕，图像如下图．〔3〕当y=kx+b的函数值大于y=-2x+2的函数值时，也就是x+2>-2x+2，解得x>0，即x的取值范围为x>0．5．“三个一次型〞的关系一次函数与一元一次方程、一元一次不等式有着密切联系的联系，以此构筑考题是课标中考的一个靓点．例5〔陕西〕阅读：我们知道，在数轴上，x＝1表示一个点，而在平面直角坐标系中，x＝1表示一条直线；我们还知道，以二元一次方程2x－y＋1＝0的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数y＝2x＋1的图象，它也是一条直线，如图①．观察图①可以得出：直线x＝1与直线y＝2x＋1的交点P的坐标〔1，3〕就是方程组的解，所以这个方程组的解为在直角坐标系中，x≤1表示一个平面区域，即直线x＝1以及它左侧的局部，如图②；y≤2x＋1也表示一个平面区域，即直线y＝2x＋1以及它下方的局部，如图③．P(1，3)OP(1，3)Oxy3第2题图①lx=1y=2x+1Oxy第2题图②lx=1Oxy第2题图③ly=2x+1答复以下问题：〔1〕在直角坐标系〔图④〕中，用作图象的方法求出方程组的解；xyOy=－2xyOy=－2x+2x=－2Pl【探究】〔1〕如下图，在坐标系中分别作出直线x＝－2和直线y＝－2x＋2，那么是方程组的解．这两条直线的交点是P〔－2，6〕．如阴影所示．【评析】此题是一道阅读理解性考题，主要考查考生应用一次函数的图象解方程组和一元一次不等式的能力．6．方案设计近几年来各地中考试题和竞赛题中出现了一批风格清新、题型新颖以市场经济为主，源于社会实践的优化设计试题．解这类问题关键是将实际问题中内在本质的联系抽象为数学问题，进而建立数学模型——求方程(组)、不等式(组)的模型、求函数的最值模型、解几何模型等；通过对数学问题的求解，作出答案．【例6】〔南平市中考题〕某化工厂生产某种化肥，每吨化肥的出厂价为1780元，其本钱为900元，但在生产过程中，平均每吨化肥有280立方米有害气体排出，为保护环境，工厂需对有害气体进行处理．现有两种处理方案可供选择：①将有害气体通过管道送交废气处理厂统一处理，那么每立方米需付费3元；②假设自行引进处理设备处理有害气体，那么每立方米需原料费0.5元，且设备每月管理、损消耗用为28000元．设工厂每月生产化肥x吨，每月利润为y元．〔注：利润＝总收入－总支出〕〔1〕分别求出用方案①、方案②处理有害气体时，y与x的函数关系式；〔2〕根据工厂每月化肥产量x的值，通过计算分析工厂应如何选择处理方案才能获得最大利润．【精析】建立函数模型，运用函数值的大小进行比拟．解由题意，得〔1〕方案①：y1=(1780-900-3×280)x=40x；方案②：y2=(1780-900-0．5×280)x-28000=740x-28000．〔2〕由y1>y2，得x<40；由y1=y2，得x=40；由y1<y2，得x＞40．因此，当产量小于40吨时，应选择方案①；当产量等于40吨时，两种方案均可；当产量大于40吨时，应选择方案②．【点评】一次函数是最根本的函数，它与一次方程、一次不等式有密切联系，在实际生活中有广泛的应用．例如，利用一次函数等有关知识可以在某些经济活动中作出具体的方案决策．近几年来一些省市的中考或竞赛试题中出现了这方面的应用题，这些试题新颖灵活，具有较强的时代气息和很强的选拔功能．7．应用题函数是初中数学的重要内容，因此各地在中考中也经常以此内容来编制应用题，以考查考生运用数学的意识及分析问题与解决问题的能力．【例7】〔2023年湖北〕通过电脑拨号上“因特网〞的费用由电话费和上网费两局部组成．以某市通过“市民热线〞上“因特网〞的费用为电话费0.18元/3分钟，上网费为7.2元/小时，后根据信息产业部调整“因特网〞资费的需要，自1999年3月1日起，某市上“因特网〞的费用调整为电话费0.22元/3分钟．上网费为每月不超过60小时，按4元/小时计算；超过60小时，按8元/小时计算．(1)根据调整后的规定，将每月上“因特网〞的费用y(元)表示为上网时间x(小时)的函数；(2)资费调整前，网民晓刚在其家庭经济预算中，一直有一笔每月70小时的上网费用支出．“因特网〞资费调整后，晓刚要想不超过其家庭经济预算中的上网费用支出，他现在每月至多可上网多少小时?(3)从资费调整前后的角度分析，比拟某市网民上网费用的支出情况．【精析】依题意，得(1)(2)资费调整前上网70小时所需费用为(3.6+7.2)×70=756(元)资费调整后，假设上网60小时，那么所需费用为8.4×60=504(元)．∵756>504，∴晓刚现在上网时间超过60小时．由12.4x-240≤756，解之，得x≤80.32．∴晓刚现在每月至多可上网约80.32小时．(3)设调整前所需费用为(元)；调整后所需费用为(元)；那么．当0≤x≤60时，，10.8x>8.4x，故当x>60时，．当时，10.8x=12.4x-240，x=150；当时，10.8x>12.4x-240，x<150；当时，10.8x<12.4x-240，x>150．综上可得当x<150时，调整后所需费用少；当x=150时，调整前后所需费用相同；当x>150时，调整前所需费用少．【点评】将实际问题转化为数学问题是解应用题的关键，而这个转化过程就是数学建模．传统中考应用题主要是建立方程(组)模型，而近年来中考出现了许多需要建立一次函数模型解题的应用题．解答这类应用题的关键是寻求两个变量之间的函数关系，善于用运动变化的观点看问题．【例8】〔2023年广东中考题〕某公司到果品基地购置某种优质水果慰问医务工作者，果品基地对购置量在3000kg以上〔含3000甲方案：每千克9元，由基地送货上门；乙方案：每千克8元，由顾客自己租车运回．该公司租车从基地到公司的运输费用为5000元．〔1〕分别写出该公司两种购置方案付款金额y〔元〕与所购置的水果量x〔kg〕之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．〔2〕当购置量在哪一范围时，选择哪种购置方案付款最少？并说明理由．【精析】由题意分析知：购置方案的付款金额y〔元〕是所购置水果量x〔kg〕的函数，故本例可以构建“函数模型〞．通过一次函数与相应的一次方程、一次不等式的关系，从而掌握相关知识的有机联系，进一步体会数形结合的思想．

【解】方法1〔1〕〔2〕当＝时，即9x＝8x＋5000，解得x＝5000，∴当x＝5000k当＜时，9x＜8x＋5000，解得x＜5000．∴当3000<x<5000k当＞时，即9x＞8x＋5000，解得x>5000．∴当x＞5000kg方法2图像法，作出它们的函数图像，如下图，由函数图像可得，当购置量大于或等于3000kg且小于当购置量等于5000k当购置量大于5000kg四、考点突破1.考点指要：函数知识是历年中考的热点，与本章知识有关的考题约占全部试题的15%~25%，题型既有填空题、选择题又有中档的解答题，更有难度较大的综合题，近几年全国各地中考试卷中，还出现了设计新颖，贴近生活、反映时代特点的阅读理解题、开放性探索题和函数应用题(这在前面的例题中已充分表达)，尤其是全国各地中考试卷中的压轴题，有以上是与函数有关的综合题，试题不仅考查函数的根底知识、根本技能、根本数学思想方法，还越来越重视对学生灵活运用知识能力，探索创新能力和实践能力的考查，考查内容主要有以下几个方面：〔1〕平面直角坐标系的有关知识常考查的题目是求点关于坐标轴、坐标原点的对称点的坐标；求线段长度；求某些点的坐标等，主要考查考生对点的坐标等知识的理解及观察、分析能力．〔2〕函数的有关概念．常见题目有求自变量的取值范围，求函数值、函数图象、函数的表示法，主要考查学生的判断能力、计算能力、作图能力等．〔3〕正比例函数和一次函数的概念、图象和性质．常见题目是求函数解析式，确定图象位置，利用函数性质解决某些问题，主要考查学生对数形结合思想的理解水平和对待定系数法掌握的熟练程度，要求考生既能熟练地根据图象的位置判断系数的情况或函数的变化趋势，又能依据函数的性质或系数的大小判定函数图象的位置．〔4〕常用的方法有数形结合法，待定系数法、配方法、类比法，在解答有关一次函数的选择题时，又常用直接法、排除法、特殊值法和验证法等．为分析问题和解决问题创造了有利条件，是开发智力、培养能力的重要途径．〔5〕一元一次方程与一元一次不等式和一次函数的联系及其应用问题是这几年来中考的热点之一，旨在通过实际问题培养学生的化归能力，即把实际问题转化为学生学过的数学问题加以解决．2.典例分析：【例1】〔2023上海市〕如果一次函数的图象经过第一象限，且与轴负半轴相交，那么〔〕A．， B．， C．， D．，【解】B【例2】xyO3〔2023浙江金华〕一次函数与的图象如图，那么以下结论①；②；③当时，中，正确的个数是〔〕xyO3A．0 B．1 C．2 D．3【解】B【例3】〔2023甘肃白银等7市〕【解】．【例4】〔2023湖北宜昌〕2023年5月，第五届中国宜昌长江三峡国际龙舟拉力赛在黄陵庙揭开比赛帷幕．20日上午9时，参赛龙舟从黄陵庙同时出发．其中甲、乙两队在比赛时，路程y〔千米〕与时间x〔小时〕的函数关系如下图．甲队在上午11时30分到达终点黄柏河港．〔OAB为甲队，OC为乙队图象〕〔1〕哪个队先到达终点？乙队何时追上甲队？〔2〕在比赛过程中，甲、乙两队何时相距最远？【解】(1)乙队先到达终点，对于乙队，x＝1时，y＝16，所以y＝16x，对于甲队，出发1小时后，设y与x关系为y＝kx＋b，将x＝1，y＝20和x＝2.5，y＝35分别代入上式得：解得：y＝10x＋10解方程组得：x＝，即：出发1小时40分钟后〔或者上午10点40分〕乙队追上甲队.〔2〕1小时之内，两队相距最远距离是4千米，乙队追上甲队后，两队的距离是16x－(10x＋10)＝6x－10，当x为最大，即x＝时，6x－10最大，此时最大距离为6×－10＝3.125＜4，〔也可以求出AD、CE的长度，比拟其大小〕所以比赛过程中，甲、乙两队在出发后1小时〔或者上午10时〕相距最远。五、课后测试题1．以下各点中，在函数y=2x-7的图象上的是〔〕A．〔2，3〕B．〔3，1〕C．〔0，-7〕D．〔-1，9〕2．如图，一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点，那么kx+b>0的解集是〔〕A．x>0B．x>2C．x>-3D．-3<x<2(第2题)(第4题)(第7题)3．两个一次函数y1=-x-4和y2=-x+的图象重合，那么一次函数y=ax+b的图象所经过的象限为〔〕A．第一、二、三象限B．第二、三、四象限C．第一、三、四象限D．第一、二、四象限4．如图，直线y=kx+b与x轴交于点〔-4，0〕，那么y>0时，x的取值范围是〔〕A．x>-4B．x>0C．x<-4D．x<05．〔2023年杭州市〕一次函数y=kx-k，假设y随x的增大而减小，那么该函数的图像经过〔〕A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第二、三、四象限D．第一、三、四象限6．点P1〔x1，y1〕，点P2〔x2，y2〕是一次函数y=-4x+3图象上的两个点，且x1<x2，那么y1与y2的大小关系是〔〕A．y1>y2B．y1>y2>0C．y1<y2D．y1=y27．〔2023年绍兴市〕如图，一次函数y=x+5的图象经过点P〔a，b〕和点Q〔c，d〕，那么a〔c-d〕-b〔c-d〕的值为________．8．〔2023年贵阳市〕函数y1=x+1与y2=ax+b的图象如下图，这两个函数的交点在y轴上，那么y1、y2的值都大于零的x的取值范围是_______．9．〔2023年重庆市〕如图，函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P，那么根据图象可得，关于的二元一次方程组的解是________．(第8题)(第9题)10．〔2023年安徽省〕一次函数的图象过点〔-1，0〕，且函数值随着自变量的增大而减小，写出一个符合这个条件的一次函数的解析式：___________．能力提升11．〔2023年宿迁市〕经过点〔2，0〕且与坐标轴围成的三角形面积为2的直线解析式是_________．12．〔2023年德阳市〕地表以下岩层的温度t〔℃〕随着所处的深度h〔千米〕的变化而变化．t与h之间在一定范围内近似地成一次函数关系．〔1〕根据下表，求t〔℃〕与h〔千米〕之间的函数关系式；〔2〕求当岩层温度到达1770℃温度t〔℃〕…90160300…深度h〔km〕…248…13．〔2023年陕西省〕甲、乙两车从A地出发，沿同一条高速公路行驶至距A地400千米的B地．L1、L2分别表示甲、乙两车行驶路程y〔千米〕与时间x〔时〕之间的关系〔如下图〕，根据图象提供的信息，解答以下问题：〔1〕求L2的函数表达式〔不要求写出x的取值范围〕；〔2〕甲、乙两车哪一辆先到达B地？该车比另一辆车早多长时间到达B地？14．〔2023年伊春市〕某工厂用一种自动控制加工机制作一批工件，该机器运行过程分为加油过程和加工过程；加工过程中，当油箱中油量为10升时，机器自动停止加工进入加油过程，将油箱加满后继续加工，如此往复．机器需运行185分钟才能将这批工件加工完．以下图是油箱中油量y〔升〕与机器运行时间x〔分〕之间的函数图象．根据图象答复以下问题：〔1〕求在第一个加工过程中，油箱中油量y〔升〕与机器运行时间x〔分〕之间的函数关系式〔不必写出自变量x的取值范围〕；〔2〕机器运行多少分钟时，第一个加工过程停止？〔3〕加工完这批工件，机器耗油多少升？15．〔2023年吉林省〕小明受?乌鸦喝水?故事的启发，利用量筒和体积相同的小球进行了如下操作：请根据图中给出的信息，解答以下问题：〔1〕放入一个小球量筒中水面升高_______cm；〔2〕求放入小球后量筒中水面的高度y〔cm〕与小球个数x〔个〕之间的一次函数关系式〔不要求写出自变量的取值范围〕；〔3〕量筒中至少放入几个小球时有水溢出？应用与探究16．〔2023江苏泰州〕通过市场调查，一段时间内某地区某一种农副产品的需求数量〔千克〕与市场价格〔元/千克〕〔〕存在以下关系：〔元/千克〕5101520〔千克〕4500400035003000又假设该地区这种农副产品在这段时间内的生产数量〔千克〕与市场价格〔元/千克〕成正比例关系：〔〕．现不计其它因素影响，如果需求数量等于生产数量，那么此时市场处于平衡状态．〔1〕请通过描点画图探究与之间的函数关系，并求出函数关系式；510152025510152025(元／千克)(千克)50004500400035003000〔第8题图〕O〔2〕根据以上市场调查，请你分析：当市场处于平衡状态时，该地区这种农副产品的市场价格与这段时间内农民的总销售收入各是多少？〔3〕如果该地区农民对这种农副产品进行精加工，此时生产数量与市场价格的函数关系发生改变，而需求数量与市场价格的函数关系未发生变化，那么当市场处于平衡状态时，该地区农民的总销售收入比未精加工市场平衡时增加了17600元．请问这时该农副产品的市场价格为多少元？答案:1．C2．C3．D4．A5．B6．A7．258．1<x<29．10．答案不唯一．例如：y=-x-111．y=x-2或y=-x+212．〔1〕t与h的函数关系式为t=35h+20．〔2〕当t=1770时，有1770=35h+20，解得：h=50千米．13．解：〔1〕设L2的函数表达式是y=k2x+b，那么解之，得k2=100，b=-75，∴L2的函数表达式为y=100x-75．〔2〕乙车先到达B地，∵300=100x-75，∴x=．设L1的函数表达式是y=k1x，∵图象过点〔，300〕，∴k1=80．即y=80x．当y=400时，400=80x，∴x=5，∴5-=〔小时〕，∴乙车比甲车早小时到达B地．14．解：〔1〕设所求函数关系式为y=kx+b，由图象可知过〔10，100〕，〔30，80〕两点，得，∴y=-x+110．〔2〕当y=10时，-x+110=10，x=100，机器运行100分钟时，第一个加过程停止．〔3〕第一加工过程停止后再加满油只需9分钟，加工完这批工件，机器耗油166升．15．解：〔1〕2，〔2〕设y=kx+b，把〔0，30〕，〔3，36〕代入得：，即y=2x+30．〔3〕由2x+30>49，得x>9．5，即至少放入10个小球时有水溢出．16．解：〔1〕描点略．设，用任两点代入求得，再用另两点代入解析式验证．〔2〕，，．总销售收入〔元〕农副产品的市场价格是10元/千克，农民的总销售收入是40000元．〔3〕设这时该农副产品的市场价格为元/千克，那么，解之得：，．，．这时该农副产品的市场价格为18元/千克．第二讲分式一、教学目标：理解分式的概念，能够用它判断一个代数式是分式还是整式，通过类比的方法掌握分式的根本性质并能准确地运用分式的根本性质进行分式的约分与通分。掌握分式乘除法及加减法的运算，以用分式乘方运算，能够综合上述运算进行分式的四那么混合运算，理解负整数指数幂及零指数幂的意义，会用科学记数法表示绝对值较大和较小的数。了解分式方程的概念，理解分式方程的增根，掌握分式方程的验根方法及列分式方程解实际问题。会解分式方程，能熟练运用分式方程解应用题，掌握具体解题及检验步骤。二、知识点精析：分式的概念：形如的式子叫分式，其中A和B均为整式，B中含有字母，注意B的值不能为零。2、根本概念：〔1〕分式的约分：把一个分式的分子与分母的_____约去，叫做分式的约分．步骤：①把分式的分子与分母分解因式；②约去分子与分母的公因式．〔2〕最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫最简分式．〔3〕通分：把n个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．3、分式的根本性质：分式的分子与分母都乘以〔或除以〕同一个不等于零的整式，分式的值不变。〔其中M是不等于零的整式〕4、分式的运算：〔1〕加减法：；．〔2〕乘除法：；．〔3〕乘方：．〔4〕符号法那么：．注意：分式运算的结果必须化简为最简分式．5、分式方程：分母中含有未知数的有理方程，叫做分式方程。分式方程的解法：去分母法与换元法。注意：解分式方程时，由于去分母扩大了未知数的取值范围，那么有可能产生增根，因此解分式方程必须验根。验根有两种方法：一种可代入原方程看是否适合进行检验，另一种可代入最简公分母看是否为零。三、解题方法指导：一、分式的概念分式与整式的根本区别在于分母中是否含有字母，且分母的值不能为零．例1、(1)当x=______时，分式有意义；(2)假设分式的值为O，那么x的值为()．A．3B．3或一3C．-3分析：对分式的概念，中考主要考查分式中字母取什么值时有意义、无意义和值为零的问题．当B≠0时，分式有意义；当B=0时，分式无意义；当A=0且B≠0时，分式=0．由此，依题意(1)应填≠1；(2)应选C．二、分式的根本性质分式的根本性质是分式的变形(约分、通分、符号法那么)的理论依据，分式的四那么运算以及解分式方程都与分式的根本性质有密切联系，因此，灵活运用分式的根本性质显得十分重要．例2、〔1)以下各式与相等的是()．A．B．(a≠-b)C．D．．〔2〕如果把分式中的x和y都扩大10倍，那么分式的值〔〕A．扩大10倍B．缩小10倍C．不变D．扩大2倍(3)把分式方程的两边同时乘以(x-2)，约去分母，得()．A．1-(1-x)=1B．1+(1-x)=1C．1-(1-x)=x-2分析：(1)根据分式的分子与分母都乘以或除以同一个不等于零的整式，分式的值不变这一性质，可知此题中与相等的选项只有B，故应选B．〔2〕应选C．(3)应注意符号变化，选D．三、分式的运算分式的运算主要包括分式的计算、化简与求值．这些需要应用较多的根底知识，解题方法多样，有的变形极易混淆，故特别要注意每步运算的根据，选择合理的运算途径，严格依据运算法那么、顺序和运算性质进行．例3、(1)计算：1-;(2)先化简，再求值：,其中x=-2．分析：(1)应注意运算顺序和乘法公式的运用，通分时不能忽略分数线的括号作用；(2)需按要求先化简，再求值，化简时可先将括号里通分运算后再做乘法，也可由其特点运用运算律直接做乘法约分化简．解:(1)原式=1-.(2)原式=．当x=-2时，原式=2(-2)+4=2．例4、x＋＝４，求的值．分析：从求出x的值再代入计算显然很繁．注意到求值式的分子、分母同时除以后可化为含x＋的结构形式，因此把求值式变形为＝＝＝．四、解分式方程(组)例5：指出以下方程中，分式方程有〔〕①=5②=5③x2-5x=0④+3=0A．1个B．2个C．3个D．4个【点评】根据分式方程的概念，看方程中分母是否含有未知数．解分式方程(组)的根本思想是化分式方程为整式方程(组)，转化的方法有两种，一是去分母，二是换元．因为分式方程有产生增根的可能，所以检验是不可无视的步骤．例6、(1)解方程：．(2)用换元法解方程，可设y=x+，那么原方程化为关于y的整式方程是_________．分析：(1)采用去分母的方法，不能漏乘不含分母的项；(2)应注意配方法和整体思想的运用，即.解：〔1〕去分母，得2-〔x+1〕=x-1，即x，，解得x1=-2,x2=1．经检验：x1=-2是原方程的根，x2=1是增根．所以原方程的根是x=-2．(2)设y=x+，那么原方程化为y-2+y=4，即应填y2+y-6=O．五、列分式方程解应用题列分式方程解情景应用问题是中考常考的热点问题．首先要弄清题意，找到等量关系，再根据题意，正确地列出方程，注重解题过程中的检验，不可忽略．例7、某市今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨25％，小明家去年12月份的水费是18元，而今年5月份的水费是36元．小明家今年5月份的用水量比去年12月份多6m3分析：利用=用水量，抓住“今年5月份的用水量比去年12月份多6m3”解：设该市去年居民用水的价格为x元／m3，那么今年用水价格为(1+25％)x元／m3．根据题意，得6．解这个方程，得x=1.8．经检验，x=1．8是原方程的解，那么(1+25％)x=2.25(元／m3)．答：该市今年居民用水的价格为2.25元／m3易错点剖析1．符号错误例1．不改变分式的值，使分式的分子、分母第一项的符号为正．错解：诊断：此题错误的原因是把分子、分母首项的符号当成了分子、分母的符号．正解：．2．运算顺序错误例2．计算：错解：原式=．诊断：分式的乘除混合运算是同一级运算，运算顺序应从左至右．正解：原式=．3．错用分式根本性质例3．不改变分式的值，把分式的分子、分母各项系数都化为整数．错解：原式=．诊断：应用分式的根本性质时，分式的分子、分母必须同乘以同一个不为0的整式，分式的值不变，而此题分子乘以2，分母乘以3，分式的值改变了．正解：原式=．4．约分中的错误例4．约分：．错解：原式=．诊断：约分的根据是分式的根本性质，将分子、分母的公因式约去，假设分子、分母是多项式，须先分解因式，再约去公因式．正解：原式=．5．结果不是最简分式例5．计算：．错解：原式=．诊断：分式运算的结果必须化为最简分式，而上面所得结果中分子、分母还有公因式，必须进一步约分化简．正解：原式=．6．误用分配律例6．计算：．错解：原式=．诊断：乘法对加法有分配律，而除法对加法没有分配律．正解：原式=．7．忽略分数线的括号作用例7．计算：．错解：原式=．诊断：此题错误在于添加分数线时，忽略了分数线的括号作用．正解：原式=四、考点突破1.考点指要：〔1〕分式及其根本性质是中考考查内容的热点，重点考查分式有无意义及分式值为0的条件；利用分式的根本性质进行分式的变形。对于分式的通分、约分一般不单独命题，试题形式主要是选择题和填空题，属中、低档题。〔2〕分式的运算是中考的重要考点之一，主要是考查分式的混合运算，分式的求值以及幂指数的运算有关问题。有时与其他题一起考查。题目有选择题、填空题、解答题，解答题主要是化简与计算。〔3〕解分式方程和列分式方程解应用题都是中考的重要考点，有时单独命题，有时与函数、其他知识综合考查。2.典例分析：一、规律型例1〔2023年临安中考题〕：，，，，……，假设符合前面式子的规律，那么a+b=．分析：观察的四个等式我们发现：等式的左边是一个整数与分数的和，且整数与分数的分子相同，分数的分母等于整数的平方减1，等式的右边是左边的整数的平方与左边的分数的积.解：从上述规律可以得到式子中，，所以评注：此题是猜测数式规律型问题，它通常给定一些数字、代数式、等式或者不等式，然后猜测其中蕴含的规律。一般解法是先写出数式的根本结构，然后通过横比〔比拟同一等式中不同局部的数量关系〕或纵比〔比拟不同等式间相同位置的数量关系〕找出各局部的特征，改写成要求的格式。解题时要善于从所提供的数式中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。由于猜测本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的又一热点。二、说理型例2〔2023年绍兴市〕P=，Q=(x+y)2-2y(x+y).小敏、小聪两人在的条件下分别计算了P和Q的值，小敏说P的值比Q大，小聪说Q的值比P大，请你判断谁的结论正确，并说明理由。分析：此题通过情景化创新命题，来考查学生化简求值的能力。一般先化简再求值；当然，此题也可以直接代入求值。求值后“事实胜于雄辩〞。解：∵P==∴x=2,y=-1时,P=2+(-1)=1.又∵Q=(x+y)2-2y(x+y)=x2-y2,∴x=2,y=-1,Q=22-(-1)2=3.∵P＜Q∴小聪的结论正确。评注：此题它虽未在难度上着墨，却令人颇感新意，从解题到命题，表达出对灵活思维的要求，给学生带来新奇与挑战，值得重视。另外不加限制的求值能满足学生多样化学习需要。三、改错型例3〔2023年邵阳市〕对于试题：“先化简，再求值：其中x=2.〞某同学写出了如下解答： 解： 她的解答正确吗？如不正确，请你写出正确解答。分析：这是一道查寻解题过程是否错误的阅读理解题，命题者有意设计的化简过程，正是抓住了学生的思维漏洞，应切记分式的化简是不能像解方程那样去分母的。认真阅读，审查每一步的解答是否合理、有据、完整是解题关键。解：不正确；正确解法：评注：分式的化简与计算只有在分母是分子的因式时，才能通过约分，约去分母，而不能像解方程那样去分母。此题从一道错误的题入手，引导学生找出错误，探究原因，并且改正错误，重新计算，加深学生对分式性质及其去分母的理解，更加明确它们之间的区别，从而使学生在思想上建立起克服这一错误的主动意识。要注意等式与代数式的区别。四、开放型例4〔2023年黑龙江省鸡西市〕先化简(1+eq\f(1,x-1))÷eq\f(x,x2-1)，再选择一个恰当的x值代入并求值．分析：这类题原本是化简求值题，但一改往常形式，给了我们“自主〞的空间，解它时，一是按常规先化简，二是在取值时既要注意使运算更简，同时又要考虑到“隐含条件〞的约束〔x取不等于-l，O，1的其他值〕。解：原式=〔eq\f(x-1,x+1)+eq\f(1,x-1)〕·eq\f(〔x+1〕〔x-1〕,x)=eq\f(x,x-1)·eq\f(〔x+1〕〔x-1〕,x)=x+1例如，当x=-2时，原式=-1评注：这种题型答案不唯一，主要考查的知识有分式的意义、分式的加减、分式的乘除等，对字母自主取值表达了对考生的人文关心，又考查了学生思维的缜密性。五、新定义型例5〔2023年内江市〕对于正数x，规定f〔x〕=,例如f〔3〕=，f〔〕=，计算f〔〕+f〔〕+f〔〕+…f〔〕+f〔〕+f〔1〕+f〔1〕+f〔2〕+f〔3〕+…+f〔2023〕+f〔2023〕+f〔2023〕=.分析:由符号f(x)的定义f〔x〕=可得:f()=，从而发现f〔x〕+f()=1.解：f〔〕+f〔〕+f〔〕+…f〔〕+f〔〕+f〔1〕+f〔1〕+f〔2〕+f〔3〕+…+f〔2023〕+f〔2023〕+f〔2023〕=[f〔〕+f〔2023〕]+[f〔〕+f〔2023〕]+[f〔〕+f〔2023〕]+…[f〔1〕+f〔1〕]=2023.评注：解决符号信息迁移题的关键是要准确理解新符号的数学意义，主要考查符号语言、文字语言、图形图象语言间的转译能力及推理运算能力。此题关键是发现f(x)+f()=1.六、选择型例6〔2023年茂名市〕：两个分式..其中x≠±1.下面三个结论：①A=B，②A、B为倒数，③A、B互为相反数。请问这三个结论中哪一个结论正确？为什么？分析：要比拟两个分式的大小关系，可先对分式进行化简解：=，比拟可知，A与B只是分式本身的符号不同，所以A、B互为相反数．选③.评注：解决此类问题的关键是对某个分式进行化简，然后比拟，再作出选择。此题通过创设新情景，采用活设问的方式对学生进行能力考查，这是中考命题的一个趋势，值得重视。七、恒等型例7〔2023年十堰市〕：，求A、B的值。分析：仔细观察可以发现：右边的分式的最简公分母就是左边分式的分母，对右边分式进行化简，通过比拟系数可建立方程组，从而获解。解=∴∴∴评注：这类试题的出现，既开拓了学生的视野、丰富了学生的知识，又考查了学生对新知识的迁移、类比能力。七、探索型例8〔2023年益阳市〕我们把分子为1的分数叫做单位分数.如，，…，任何一个单位分数都可以拆分成两个不同的单位分数的和，如＝，＝，＝，…□○〔1〕根据对上述式子的观察，你会发现＝.请写出□，○所表示的数；□○☆△〔2〕进一步思考，单位分数〔n是不小于2的正整数〕＝，请写出△，☆所表示的式，并加以验证.☆△分析：此题首先通过举例比拟、观察、猜测等手段，找到不变量和变量及它们的关系，进行合理推理，得到初步结论，符合学生现有认知水平。解：〔1〕观察给出的三个单位分数的分解，我们发现拆分的分母之间存在如下的关系：，，，下一个单位分数拆分的分母的关系是，所以□表示的数为6，○表示的数为30；〔2〕依据上述规律可知：△表示的式为，☆表示的式为.理由是：评注：此题涉及的思想方法有字母代数、由特殊到一般、化归等，较好地考查了学生运用数学思想方法分析和解决问题的能力。数学思想方法是数学的“灵魂〞，是分析问题、解决问题的“金钥匙〞。学生只有平时熟练地掌握这些思想方法，才能应用的得心应手，分析和解决问题时才能减少思维受阻。五、课后测试题1．如果分式的值相等，那么x的值是〔〕A．9B．7C．5D．32．〔2023年宿迁市〕假设关于x的方程=0有增根，那么m的值是〔〕A．3B．2C．1D．-13．〔2023年诸暨市〕如果从一卷粗细均匀的电线上截取1米长的电线，称得它的质量为a克，再称得剩余质量为b克，那么原来这卷电线的总长度是〔〕A．米B．〔+1〕米C．〔+1〕米D．〔+1〕米4．假设x-=7，那么x2+的值是〔〕A．49B．48C．47D．515.〔2023年黄冈市〕计算:的结果为〔〕A．1B．6．两个分式：A=，其中x≠±2，那么A与B的关系是〔〕A．相等B．互为倒数C．互为相反数D．A大于B7．〔2023年怀化市〕方程的解是_______．8．假设关于x的方程-1=0无实根，那么a的值为_______．9．假设x+=2，那么x+=_______．10．化简：·〔x2-9〕.【能力提升】11．解以下方程：〔1〕=1；〔2〕〔2023年河南省〕=3。12．化简：.13．〔2023年莆田市〕化简求值：，其中a=．14．先阅读以下一段文字，然后解答问题．：方程x-=1的解是x1=2，x2=-；方程x-=2的解是x1=3，x2=-；方程x-=3的解是x1=4，x2=-；方程x-=4的解是x1=5，x2=-．问题：观察上述方程及其解，再猜测出方程x-=10的解，并写出检验．【应用与探究】15．阅读理解题：阅读以下材料，关于x的方程：x+=c+的解是x1=c，x2=；x-=c-的妥是x1=c，x2=-；x+=c+的解是x1=c，x2=；x+=c+的解是x1=c，x2=……〔1〕请观察上述方程与解的特征，比拟关于x的方程x+〔m≠0〕与它们的关系，猜测它的解是什么，并利用“方程的解〞的概念进行验证．〔2〕由上述的观察、比拟、猜测、验证，可以得出结论：如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数，方程右边的形式与左边完全相同，只把其中未知数换成了某个常数，那么这样的方程可以直接得解，请用这个结论解关于x的方程：x+.

16．〔2023年绍兴市〕P=，Q=〔x+y〕2-2y〔x+y〕，小敏、小聪两人在x=2-y=-1的条件下分别计算了P和Q的值．小敏说P的值比Q大，小聪说Q的值比P大．请你判断谁的结论正确，并说明理由．17．〔2023年长沙市〕在社会主义新农村建设中，某乡镇决定对一段公路进行改造．这项工程由甲工程队单独做需要40天完成；如果由乙工程队先单独做10天，那么剩下的工程还需要两队合做20天才能完成．〔1〕求乙工程队单独完成这项工程所需的天数；〔2〕求两队合做完成这项工程所需的天数．18．〔2023年怀化市〕怀化市某乡积极响应党中央提出的“建设社会主义新农村〞的号召，在本乡建起了农民文化活动室，现要将其装修．假设甲、乙两个装修公司合做需8天完成，需工钱8000元；假设甲公司单独做6天后，剩下的由乙公司来做，还需12天完成，共需工钱7500元．假设只选一个公司单独完成．从节约开始角度考虑，该乡是选甲公司还是选乙公司？请你说明理由．答案:1．A2．B3．B4．D5．A6．C7．x=08．a=19．x2+=210．x+311．〔1〕x=2〔2〕x=-12．-=14．x1=11，x2=-检验略15．〔1〕x1=c，x2=.16．解：∵P===x+y，∴当x=2，y=-1时，P=1，∴当Q=〔x+y〕2-2y〔x+y〕=x2-y2，∴当x=2，y=-1时，Q=3，∴P<Q，∴小聪的结论正确．17．〔1〕解：设乙工程队单独完成这项工程需要x天，根据题意得：×20=1，解之得：x=60，经检验：x=60是原方程的解．答：乙工程队单独完成这项工程所需的天数为60天．〔2〕解：设两队合做完成这项工程需的天数为y天，根据题意得：〔〕y=1，解得：y=24．答：两队合做完成这项工程所需的天数为24天18．解：设甲独做x天完成，乙独做y天完成，设甲每天工资a元，乙每天工资b元．∴甲独做12×750=9000，乙独做24×250=6000，∴节约开支应选乙公司．第三讲整式一、教学目标：通过探究整式运算法那么、幂的运算性质、乘法公式推导的过程，理解整式运算的算理，进一步提高观察、归纳、类比、概括等能力，培养有条理的思考及语言表达能力。了解正整数指数幂的运算性质。会进行简单的整式加、减运算；会进行简单的整式乘、除运算〔其中多项式相乘仅指一次式相乘，整式的除法只要求到多项式除以单项式且结果是整式〕。会推导乘法公式，了解公式的几何背景、并能进行简单计算。了解整式乘法与因式分解之间的互逆关系，会用提公因式法、公式法〔直接用公式不超过两次〕分解因式〔指数是正整数〕二、知识点精析：整式是代数式中最根本的式子，引进整式是实际的需要，也是学习后续内容〔例如分式、一元二次方程等〕的需要。整式是在以前学习了有理数运算、列简单的代数式、一元一次方程及不等式的根底上引进的。一、整式的四那么运算

1.整式的加减

合并同类项是重点，也是难点。合并同类项时要注意以下三点：①要掌握同类项的概念，会区分同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：字母和字母指数；②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，多项式的项数会减少，到达化简多项式的目的；③“合并〞是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变。

2.整式的乘除

正如合并同类项是整式加减法的实质和根底，幂的乘法、除法、乘方的运算性质是整式乘除的根底，在单项式乘法、除法中，系数作实数的乘除，字母局部的运算实质就是幂的运算，在整式的乘除中，单项式的乘除是关键，这是因为，一般多项式的乘除都要“转化〞为单项式的乘除。乘法公式的结构特征以及公式中的字母的广泛含义，学生不易掌握。因此，乘法公式的灵活运用是难点，添括号〔或去括号〕时，括号中符号的处理是另一个难点。添括号〔或去括号〕是对多项式的变形，要根据添括号〔或去括号〕的法那么进行。

整式四那么运算的主要题型有：

〔1〕单项式的四那么运算

此类题目多以选择题和应用题的形式出现，其特点是考查单项式的四那么运算。

〔2〕单项式与多项式的运算

此类题目多以解答题的形式出现，技巧性强，其特点为考查单项式与多项式的四那么运算。

二、因式分解

难点是因式分解的三种根本方法(提公因式法、运用公式法、十字相乘法**〕。因式分解的步骤为：有公因式的先提公因式；没有公因式的尝试运用公式；再尝试其他方法分解，分解的原那么是每个因式都不能再分解为止。因式分解是整式乘法的逆向变形。三、解题方法指导：幂的运算性质例1〔1〕am·an=_______〔m，n都是正整数〕；〔2〕am÷an=________〔a≠0，m，n都是正整数，且m>n〕，特别地：a0=1〔a≠0〕，a-p=〔a≠0，p是正整数〕；〔3〕〔am〕n=______〔m，n都是正整数〕；〔4〕〔ab〕n=________〔n是正整数〕〔5〕平方差公式：〔a+b〕〔a-b〕=_________．〔6〕完全平方公式：〔a±b〕2=__________．例2以下各式计算正确的选项是〔〕Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．例3：计算：〔1〕，〔2〕59.8解：〔1〕原式=〔2〕原式=例4：假设是一个完全平方式，那么m=________。解：m=同类项的概念例5假设单项式2am+2nbn-2m+2与a5b7是同类项，求nm的值．点评：考查同类项的概念，由同类项定义可得解出即可n=3,m=-1例6：合并同类项：解：原式=整式的化简与运算例7，求M—N的值。解：M—N=例8：〔2023年江苏省〕先化简，再求值：[〔x-y〕2+〔x+y〕〔x-y〕]÷2x其中x=3，y=-1．5．原式=[当x=3，y=-1．5时，原式=4.5点评：本例题主要考查整式的综合运算，学生认真分析题目中的代数式结构，灵活运用公式，才能使运算简便准确．求值问题例9：假设，用含a、b的代数式表示。解：点评：从未知向转化是数学的常规思路。例10：求值：解：原式==点评：此例直接通分计算显然比拟复杂，如果注意到括号里的每个因式中的两项都是两个数的平方差形式，这就不难想到逆用平方差公式，将所求代数式变形，再约分，就可求值。例11：当时，的值为－2，求当时，这个代数式的值。解：由题意可得：，那么得：那么：当时，原式=8+6=14。例12：x+y=7,xy=10，求的值。解：原式=。点评：用条件所给代数式表示结论中的代数式进行整体代入求值。另外注意乘法公式的运用：上述完全平方公式的变形在求值、证明、判定关系等有广泛应用。综合问题例13：代数式，你能把它化为的形式吗？〔其中P为常数〕进一步，你能求出这个代数式的最小值吗？此时x、y的值又是多少？解：因为：所以：这个代数式的最小值为7，此时x=3,y=-2。点评：代数式的最小〔大〕值的求法通常通过逆用完全平方公式将它写成的形式，该代数式的最小〔大〕值就是P例14：假设一个三角形的三边满足，你能求出这个三角形的三边长吗？解：由条可得：，又由非负数的性质可得：a-1=0,b-1=0,c-1=0故：a=1,b=1,c=1。因式分解例15：对以下各式进行分解因式：〔1〕，〔2〕〔x2+4〕2-16x2，〔3〕〔a+b〕2+2〔a+b〕-15解：〔1〕〔2〕〔x2+4〕2-16x2=〔x2+4〕2-〔4x〕2=〔x2+4x+4〕〔x2-4x+4〕=〔x+2〕2〔x-2〕2.〔3〕〔a+b〕2+2〔a+b〕-15=［〔a+b〕-3］［〔a+b〕+5］=〔a+b-3〕〔a+b+5〕.点评：因式分解的意义：把一个多项化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。这一概念的特点是：〔1〕多项式因式分解的结果一定是积的形式；〔2〕每个因式必须是整式〔单项式或多项式〕；〔3〕各因式要分解到不能再分为止〔本章，只在有理数范围内研究因式分解〕。四、考点突破1.考点指要：本章知识在中考试卷中主要以选择题、填空题的形式出现，少量解答题主要与代数的化简求值和分式的化简联系在一起考查，涉及本章内容的命题热点主要有以下几个方面：〔1〕整式有关的概念；〔2〕同类项的定义在解题中的运用；〔3〕整式的四那么运算；〔4〕正整数幂的乘除、乘方的性质和零次幂；〔5〕乘法公式的运用；〔6〕多项式的因式分解及因式分解在化简中的运用。2.典例分析：例1：〔07德州〕以下算式中，正确的选项是〔〕Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．例2：〔07成都〕以下运算正确的选项是〔〕Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．例3：〔07济南〕分解因式的结果为．例4：〔07哈尔滨〕柜台上放着一堆罐头，它们摆放的形状见右图：第一层有听罐头，第二层有听罐头，第三层有听罐头，……根据这堆罐头排列的规律，第〔为正整数〕层有听罐头〔用含的式子表示〕．解：(n+1)(n+2)aaaabbbb甲乙例5：〔07浙江〕aaaabbbb甲乙解：〔a-b)2＝a2-2ab＋b2五、课后测试题一、选择题。计算(-3)2n+1+3•(-3)2n结果正确的选项是()A.32n+2B.-32n+2C.02.有以下5个命题:①3a2+5a2=8a2②m2•m2=2m2③x3•x4=x12④(-3)4•(-3)2=-36⑤(x-y)2•(y-x)3=(y-x)5A.1个B.2个C.3个D.4个3.适合2x(x-1)-x(2x-5)=12的x值是()A.x=1B.x=2C.x=44.设(5a+3b)2=(5a-3b)2+M,那么M的值是()A.30abB.60abC.15abD.12ab5.xa=3xb=5那么x3a+2b的值为()A.27B.675C.526.-an与(-a)n的关系是()A.相等B.互为相反数C.当n为奇数时,它们相等;当n为偶数时,它们互为相反数D.当n为奇数时,它们互为相反数;当n为偶数时,它们相等7.以下计算正确的选项是()A.(-4x)(2x2+3x-1)=-8x3-12x2-4xB.(x+y)(x2+y2)=x3+y3C.(-4a-1)(4a-1)=1-16a2D.(x-2y)2=x2-2xy+4y28.以下从左到右的变形中,属于因式分解的是()A.(x+1)(x-1)=-x2-1B.x2-2x+1=x(x-2)+1C.a2-b2=(a+b)(a-b)D.mx+my+nx+ny=(x+y)m+n(x+y)9.假设x2+mx-15=(x+3)(x+n),那么m的值为()A.-5B.5C.-210.4(a-b)2-4(b-a)+1分解因式的结果是()A.(2a-2b+1)2B.(2a+2b+1)2C.(2a-2b-1)2D.(2a-2b+1)(2a-2b-1)填空题。11.计算3xy2·(-2xy)=12.多项式6x2y-2xy3+4xyz的公因式是13.多项式(mx+8)(2-3x)展开后不含x项,那么m=14.设4x2+mx+121是一个完全平方式,那么m=15.a+b=7,ab=12,那么a2+b2=三.解答题16.计算(a2)4a-(a3)217.计算(5a3b)·(-4abc)·(-5ab)18.22n+1+4n=48,求n的值.19.先化简,再求值(x+3)(x-4)-x(x-2),其中x=1120.利用乘法公式计算(1)1.02×0.98(2)99221.因式分解4x-16x322.因式分解4a(b-a)-b223.(x+my)(x+ny)=x2+2xy-6y2,求-(m+n)•mn的值.24.a+b=3,ab=-12,求以下各式的值.(1)a2+b2(2)a2-ab+b2答案一.选择题(共10题每题3分共30分)1.C,2.B3.C4.B5.B6.C7.C8.C9.C10.A二.填空题(每题3分共15分)11.-6x2y312.2xy(3x-y2+2z)13.1214.4415.25三.解答题(共55分)16.解:原式=a8a-a6=a9-a9=017.解:原式=(-20a4b2=100a5b318.解:22n+1+4n=4822n·2+22n=4822n(1+2)=4822n=1622n=24即:2n=4n=219.解:原式=x2-4x+3x-12-x2+2x=x-12把X=11代入x-12得:x-12=-120.(1)解:原式=(1+0.02)(1-0.02)=1-0.004=0.9996(2)解:原式=(100-1)2=10000-200+1=980121.解:原式=4x(1-4x2)=(1+2x)(1-2x)22.解:原式=4ab-4a2-b2=-(4a2-4ab+b2)=-(2a-b)223.解:(x+my)(x+ny)=x2+2xy-6y2,x2+(m+n)xy+mny2=x2+2xy-6y2即:m+n=2mn=-6-(m+n)·mn=(-2)·(-6)=1224.(1)解:a2+b2=a2+2ab+b2-2ab=(a+b)2-2ab把a+b=3,ab=-12代入(a+b)2-2ab得:(a+b)2-2ab=9+24=33(2)解:a2-ab+b2=a2-ab+3ab+b2-3ab=a2+2ab+b2-3ab=(a+b)2-3ab把a+b=3,ab=-12代入(a+b)2-3ab得:(a+b)2-3ab=9+36=45第四讲数据的描述一、教学目标：1．进一步认识条形图、折线图、扇形图，掌握它们各自的特点；2．会画扇形图，会用扇形图描述数据；3．结合实例进一步理解频数的概念，了解频数分布的意义和作用；4．能够根据需要对数据进行适当的分组；会列频数分布表，会画频数分布直方图和频数折线图；5．会根据问题需要选择适当的统计图描述数据；6．通过从事收集和处理数据活动，经历统计的根本过程，感受统计在生活和生产中的作用，激发学习统计的兴趣，建立统计的观念；通过调查研究培养实事求是的科学态度．二、

知识点精析：知识点1扇形统计图的画法Ⅰ.把一个圆的面积看成是1，以圆心为顶点的周角是360°那么圆心角是36°的扇形占整个圆面积的，即10%.同理，圆心角是72°的扇形占整个圆面积的，即20%.因此，画扇形统计图的关键是算出圆心角的大小.Ⅱ.扇形的面积与其对应的圆心角的关系.〔1〕扇形的面积越大，圆心角的度数越大.〔2〕扇形的面积越小，圆心角的度数越小.Ⅲ.扇形所对圆心角的度数与百分比的关系是：圆心角的度数=百分比×360°.知识点2频数分布直方图在描述和整理数据时；往往可以把数据按照数据的范围进行分组，整理数据后可以得到频数分布表，在平面直角坐标系中，用横轴表示数据范围，纵轴表示各小组的频数，以各组的频数为高画出与这一组对应的矩形，得到频数分布直方图.知识点3频数分布直方图的画法〔1〕找到这一组数据的最大值和最小值；〔2〕求出最大值与最小值的差；〔3〕确定组距，分组；〔4〕冲出频数分布表；〔5〕由频数分布表画出频数分布直方图.知识点4画频数分布直方图的考前须知〔1〕分组时，不能出现数据中同一数据在两个组中，为了防止出现这种情况，通常分组时，比题中要求数据单位多一位，比方：题中数据要求到整数位，分组时要求数据到0.5即可.〔2〕组距和组数确实定没有固定的标准，要凭借经验和研究的具体问题来决定.通常数据越多，分成的组数也越多，当数据在100以内时，根据数据的多少通常分成5～12个组.知识点5频率分布直方图同频数分布直方图类似，只是纵轴表示各小组的频率.其他均与频数分布直方图相同.知识点6频数分布折线图在描述数据时，我们也可以用频数折线图来描述频数的分布情况，频数折线图可以在频数分布直方图的根底上画出来.在画频数分布折线图时，首先取直方图中每一个矩形上边的中点，然后将这些点用线段依次连接起来，就得到频数分布折线图.三、解题方法指导：例1〔2023·广东〕为了了解中学生的身体发育情况，对某一中学同年龄的50名女学生的身高进行了测量，结果如下〔单位：厘米〕：165155160166157171151163161167169162155148162163156167159171150153156167165164163164161161148160155165155164159153156156164162156162157162165151163157完成下面的频率分布表.分组频数累计频数频率147.5～150.53150.5～153.5153.5～156.5正90.180156.5～159.5正50.100159.5～162.5正正100.200162.5～165.5165.5～168.540.080168.5～171.530.060合计501.000〔分析〕此题主要考查整理数据的能力和频率的计算能力.“频数累计〞一栏，从上到下的两个空格分别是：；正正“频数〞一栏，从上到下的两个空格分别是：4；12“频率〞一栏，从上到下的三个空格分别是：O.O60，O.08O，O.240例2某班同学进行数学测验，将所得成绩〔得分取整数〕进行整理后分成五组，并绘制成频数分布直方图〔如下图〕，请结合直方图提供的信息，答复以下问题.〔1〕该班共有多少名学生？〔2〕80.5～90.5这一分数段的频数、频率分别是多少？〔3〕这次成绩，哪一个分数段的人数最多？是多少？〔4〕从左到右各小组的频率比是多少？分析：此题主要考查学生读图能力和利用图中信息解决问题的能力.解：(1)4+10+18+12+6=50〔人〕.∴该班共有50人.〔2〕80.5～90.5这一分数段有12人.频率是12÷50=0.24，∴80.5～90.5这一分数段的频数、频率分别是12，0.24.〔3〕这次成绩，70.5～80.5这个分数段的人数最多，是18人.〔4〕两种方法：方法1：4∶1O∶18∶12∶6=2∶5∶9∶6∶3.〔直接运用人数比〕方法2：∶∶∶∶=2∶5∶9∶6∶3.〔直接运用频率比〕∴从左到右各小组的频率比是2∶5∶9∶6∶3.点评：求频率之比时，有两种方法，一种是直接用各小组的频数来求比.另一种是分别求出各小组的频率，再求比值，在计算时要灵活运用.综合应用题例3某市在举办“迎奥运登山活动〞中，参加登山活动的市民约有12000人，为统计参加活动人员的年龄情况，我们从中随机抽取了100人的年龄，进行数据处理，制成扇形统计图和条形统计图如下.〔1〕根据图中提供的信息补全以下图；〔2〕参加登山活动的12000余名市民中，哪个年龄段的人数最多？〔3〕根据统计图提供的信息，说一说自己的感想.分析：此题主要考查学生的读图能力和由统计图获取有用信息的能力.〔1〕可直接在上图中完成，但要补全，切忌遗漏.〔2〕由扇形统计图可知，60～69岁的人最多.〔3〕是开放性试题，答对一条即可.解：(1)如上图所示.〔2〕由题目中的统计图知，60～69岁的人最多.〔3〕答复对一条即可.例4为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次“环保知识竞赛〞，共有900名学生参加了这次竞赛.为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了局部学生的成绩〔得分取正整数，总分值为100分〕进行统计，请你根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图〔如下图〕，解答以下问题.〔1〕填充频率分布表中的空格；〔2〕补全频率分布直方图；〔3〕在该问题中，共抽取人的成绩进行统计；〔4〕全体参赛学生中，竞赛成绩落在哪组范围内的人数最多？〔不要求说明理由〕〔5〕假设成绩在90分以上〔不含90分〕为优秀，那么该校成绩优秀的约为多少人？解：(1)由频率分布表可知，抽样调查总数为：4÷0.08=50〔人〕∴90.5～100.5分数段的人数为50-4-8-10-16=12〔人〕，这一分数段的频率为12÷50=0.24.“合计〞中，频数是50，频率是1.00.〔2〕如上图虚线所示.〔3〕在该问题中，共抽取50人的成绩进行统计.〔4〕由频率分布表可以看到，8O.5～9O.5这一分数段的人数最多.〔5〕成绩在90分以上〔不含90分〕的占0.24，所以，900×0.24=216〔人〕.∴该校成绩优秀的约为216人.点评：解此题的关键是填充“频率分布表〞，在这一问题中，既可以利用某小组的频数和频率，用“频数÷频率=总人数〞求出总人数，进而求出90.5～100.5这一分数段的人数，再求出相对应小组和合计的频率.同时，也可以从频率着眼，各小组的频率之和为1.00，从而求出90.5～100.5分数段的频率，进而求出这一分数段的频数.注意解题的灵活性.例如：求出90.5～100.5分数段的频率是0.24，是50.5～60.5分数段的频率的3倍，故此，90.5～100.5分数段的频数是4×3=12〔人〕，计算起来比拟简便.探索与创新题主要考查学生利用已有的知识探索实际生活中的相关问题，并在已有知识的根底上创造性地发现问题和解决问题.这也是近几年以来中考的热点问题，有开放题、综合应用题、读图探索信息题等.例5某中学在一次健康知识测试中，抽取局部学生成绩〔分数为整数，总分值100分〕为样本，绘制成绩统计图如下图，请结合统计图答复以下问题.〔1〕本次测试中抽取的学生共多少人？〔2〕分数在90.5～100.5这一组的频率是多少？〔3〕从左到右各小组的频率比是；〔4〕假设这次测试成绩80分以上〔不含80分〕为优秀，那么优秀率不低于多少？分析：此题主要考查读图能力和通过读图从中获得信息的能力.解：(1)2+3