2021届高考数学（理）二轮复习考点专题18算法、复数（考点解读）（原卷版）

专题18算法、复数

考情解读

1.以客观题形式考查算法的基本逻辑结构，会与函数、数列、不等式、统计、概率等知识结合命题.

2.以客观题形式考查复数的运算、复数的相等、共加复数和复数及其代数运算的几何意义，与其他知识

较少结合，应注意和三角函数结合的练习.

3.推理与证明在选择、填空、解答题中都有体现，但很少单独命题，若单独命题，一般以客观题形式考

查归纳与类比.

4.通常是以数列、三角、函数、解析几何、立体几何等知识为载体，考查对推理与证明的掌握情况，把

推理思路的探求、推理过程的严谨，推理方法的合理作为考查重点.

重点知识梳理

一、算法框图与复数

I.算法框图

(1)程序框图是由一些图框和带箭头的流程线组成的，其中图框表示各种操作的类型，图框中的文字和

符号表示操作的内容，带箭头的流程线表示操作的先后次序.

图框有输入、输出框、处理框、判断框、起止框四种.

(2)三种基本的算法结构

①依次进行多个处理的结构称为顺序结构.

②先根据条件作出判断，再决定执行哪一种操作的结构称为选择结构.

③需要重复执行同一操作的结构称为循环结构.

2.复数

(1)复数的相关概念及分类

①定义：形如“+历(以66R)的数叫复数，其中a为实部，为虚部；i是虚数单位，且满足i2=-1.

②分类：设复数z=a+6i(a、bGR)

(a=0

z£R=〃=O；z为虚数=原0,z为纯虚数厚0.

③共辗复数：复数。+历的共辗复数为〃一〃i.

④复数的模：复数z=a+bi的模团=引勤+6

(2)复数相等的充要条件

a+/?i=c+di<=>a=c且。=或〃、b、c、d£R).

特别地，。+4=0=〃=0且Z?=O(a、b£R).

(3)运算法则

①加减法：3+Z?i)±(c+Ji)=3土c)+S土J)i.

②乘法：(a+hi)(c+di)=(ac—bd)+(ad+hc)i.

ac+bd+be-adi

③除法：(〃+历)・(c+di)=c2+cP-

(4)复数加减法的儿何意义

—>—>—>—>

①加法：若复数zi、Z2对应的向量OZ|、OZ2不共线，则复数ZI+Z2是以。Z|、OZ2为邻边的平行四边形

的对角线所对应的复数.

―►―►—>

②减法：复数zi—Z2是连接向量。Z|、OZ2的终点，并指向OZ|的终点的向量对应的复数.

二、推理与证明

1.合情推理

(1)归纳推理

根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这样性质的推理，叫做归纳

推理，归纳是由特殊到一般的推理.

归纳推理的思维过程：实验观察一概括、推广T猜测--般性结论.

(2)类比推理

根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的

性质的推理叫做类比推理，类比推理是由特殊到特殊的推理.

类比推理的思维过程：观察、比较一联想、类推T猜测新的结论.

2.演绎推理

根据一般性的真命题(或逻辑规则)导出特殊性命题为真的推理叫做演绎推理.演绎推理是由一般性命题

到特殊性命题的推理.

(1)演绎推理的特点

当前提为真时，结论必然为真.

(2)演绎推理的一般模式——“三段论”

①大前提——已知的一般原理；

②小前提——所研究的特殊情况；

③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断.

3.直接证明

从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性的证明称为直接证

明.综合法和分析法是直接证明中最基本的两种方法，也是解决数学问题时常用的思维方法.

(1)综合法

从已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，经过逐步的推理论证，最后达到待证的结论，这种

证明方法叫综合法.也叫顺推证法或由因导果法.

(2)分析法

从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明

显成立的条件(已知的条件、定理、定义、公理等)为止.这种证明方法叫分析法.也叫逆推证法或执果索因

法.

4.间接证明

(1)反证法的定义

一般地，由证明p=4转向证明：…=3f与假设矛盾，或与某个真命题矛盾.从而判断rq为假，

推出q为真的方法，叫做反证法.

(2)反证法的特点

先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，

或与定义、公理、定理、公式或已被证明了的结论，或与公认的简单事实等矛盾.

5.数学归纳法(理)

一个与自然数相关的命题，如果(1)当〃取第一值"0时命题成立；(2)在假设当"=3ieN+,且Qno)时

命题成立的前提下，推出当〃=A+1时题命题也成立，那么可以断定，这个命题对“取第一个值后面的所

有正整数成立.

高频考点突破

高频考点一、程序框图

例1.[2019年高考天津卷理数】阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为

包始）

B.8

D.29

【变式探究】【2017课标1,理8】右面程序框图是为了求出满足3"-2">1000的最小偶数〃，那么在。

和1=］两个空白框中，可以分别填入

A.0()0和”="+1

B.A>1000和〃=〃+2

C.A41000和〃=〃+1

D.A41000和E+2

【变式探究】执行右面的程序框图，如果输入的x=o,y=i，〃=1,则输出乂？的值满足

(A)y=2x(B)y=3x(C)y=4x(D)y=5x

［结束〕

【变式探究】执行如图所示的程序框图，输出S的值为（）

/输出s/

亚

A.-2B.坐

11

c.—2D.2

高频考点二复数的概念

例2.【2019年高考北京卷理数】已知复数z=2+i,则z-5=

A.>/3B.亚

C.3D.5

【变式探究】已知是虚数单位，若z=a+J§i,zS=4,贝Ua=

（A）1或-1（B）币或-币（O-V3（D）6

4i

【变式探究】若z=l+2i,则()

zz-1

(A)l(B)-1(C)i(D)-i

2i

【变式探究】设i是虚数单位，则复数片在复平面内所对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

高频考点三复数的四则运算

例3.【2019年高考全国HI卷理数】若z(l+i)=2i,则一

A.-1-iB.-1+i

C.1-iD.1+i

【变式探究】7-4=()

14-Z

A.1+2iB.1—2,1C.2+iD.2—i

【变式探究】复数i(2—i)=()

A.l+2iB.l-2i

C.-l+2iD.-l-2i

高频考点四、类比推理

例4、甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中有2位优秀,

2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩。看后甲对大家说：我还是不知

道我的成绩。根据以上信息，则()

A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩

C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩

J__1__1_

【变式探究】在RtZ^BC中，CA1CB,斜边48上的高为历，则后=屈+e取；类比此性质，如图,

在四面体P—ABC中，若以、PB、PC两两垂直，底面48c上的高为〃，则得到的正确结论为.

【变式探究】在平面直角坐标系中，设AABC的顶点分别为A(0,a)、仇40)、C(c,0),点P(0,p)在线

段A。上(异于端点)，设〃、b、c、p均为非零实数，直线5P、CP分别交AC、AB于点E、F,一同学己正

确算出。石的方程：(/?—c)x+(p—〃》=0，则。尸的方程为：()x+(p—a)y=O.

高频考点五、直接证明与间接证明

例5、若数列如:ai,。2，…,—例满足生+1—况=1(%=12・・.,n—\),则称。〃为E数列.记S(斯)

=。|+。2+…+〃".

(1)写出一个满足G=〃5=0,且S(A5)>0的E数列A5；

(2)若ai=12,"=2000,证明：E数列为是递增数列的充要条件是斯=2011.

_1_31+斯+i21+斯

【变式探究】已知数列｛“”｝满足：0=5，\—a„-1—«„+i，数列｛d｝满足：

bn—aht—a｝i(n>l).

(1)求数列｛““｝、｛瓦｝的通项公式;

(2)证明：数列｛儿｝中的任意三项不可能成等差数列.

高频考点六、数学归纳法

例6、在单调递增数列｛如｝中，内=2,不等式(〃+1)。仑加2,”对任意“GN*都成立.

(1)求S的取值范围；

(2)判断数列｛a„｝能否为等比数列？说明理由.

1_L_Ld一c“

(3)设d=(1+1)(1+])...(1+7)，c,i=6(l-2"),求证：对任意的"CN*,a„—12>0,

【变式探究】等比数列｛〃,,｝的前，?项和为S”已知对任意的〃GN*,点(〃，S”)均在函数y=〃+r(b>0且

厚1,氏，•均为常数)的图象上.

(1)求r的值；

b\+1岳+1d+1____

⑵当6=2时，记仇=2(k>g2a“+l)(〃eN*),证明对任意的"CN",不等式…・吃丁川^不成

立.

真题感悟

1.(2019年高考天津卷理数】阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为

（亓欣）

IS=SiG

/=;+1

/谕出S/

（结束）

A.5B.8

C.24D.29

2.【2019年高考北京卷理数】执行如图所示的程序框图，输出的s值为

A.1B.2

C.3D.4

]

1

3.[2019年高考全国I卷理数】如图是求2+—T的程序框图，图中空白框中应填入

2+-

2

CW

B.A=2+-

2+AA

C.A=—!—

D.4=1H----

i+2A2A

4.（2019年高考全国HI卷理数】执行下边的程序框图，如果输入的£为0.01,则输出S的值等于

（开.始）

X

X=­

2

是

/输卜”7

1

A22

-一B__L

241251

一

C2-一D2-

6227

5.【2019年高考江苏卷】下图是一个算法流程图，则输出的S的值是

1.【2019年高考北京卷理数】已知复数z=2+i,则zC=

A.6B.石

C.3D.5

2.【2019年高考全国I卷理数】设复数z满足|z-i|=l,z在复平面内对应的点为(x,y),则

A.(x+l)2+/=lB.(x-1)2+/=1

C.x2+(y-l)2=lD.x2+(y+l)2=l

3.【2019年高考全国《卷理数】设＞-3+劣，则在复平面内I对应的点位于

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

4.【2019年高考全国HI卷理数】若z(l+i)=2i,则2=

A.-1-iB.-1+i

C.1-iD.1+i

5.【2019年高考天津卷理数】i是虚数单位，则|士二|的值为.

1+1

6.【2019年高考浙江卷】复数z=」一(i为虚数单位)，则|z|=______________.

1+1

7.(2019年高考江苏卷】已知复数(a+2i)(l+i)的实部为0,其中i为虚数单位，则实数a的值是

1.(2018年天津卷)阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20,则输出T的值为

第（3）题图

A.1B.2C.3D.4

2.（2018年江苏卷）一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为

/11

While/<6

1+2

S-2S

EndWhile

PrintS

3.（2018年北京卷）执行如图所示的程序框图，输出的s值为

1

A.-

26

77

D.—

612

(2()18年全国^卷理数)为计算s=l」+11+…+"!~~设计了下面的程序框图，则在空白框中

4.

23499100

应填入

A.i=i+1B.i=i+2

C.i=i+3D.i=i+4

5.(2018年全国III卷理数)(1+i)(2-i)=

A.-3-1B.3+1C.3-iD.3+1

2

6.(2018年浙江卷)复数——(i为虚数单位)的共轨复数是

A.1+iB.1-iC.-l+iD.-l-i

7.（2018年全国I卷理数）设2=——+21,则|z|=

1+i

1

A.0B.-C.1D.,r2

8.（2018年全国H卷理数）——

l-2i

334

43

4Tc-+T

A.----iB.——4-5D.55

555

（2018年北京卷）在复平面内，复数L的共轨复数对应的点位于

9.

1-i

A.第一象限B.第二象限

第三象限D.第四象限

10.（2018年江苏卷）若复数z满足「z=l+2i,其中i是虚数单位，则z的实部为

X=-1H---1,

11.（2018年天津卷）已知圆x2+y2-2x=0的圆心为C,直线J（t为参数）与该圆相交于A,

y=3工

,2

B两点,则AABC的面积为.

（2018年天津卷）i是虚数单位，复数”2

12.

1+21

1.12017课标1,理3】设有下面四个命题

A：若复数Z满足，eR,则zeR；p2：若复数z满足zZ^R,则zeR；

z

P3：若复数Z1,Z2满足Z|Z2CR,则ZI=Z2；P4：若复数Z€R,则NwR.

其中的真命题为

A.〃|，P3B.P1,“4C0，P3D.PAPA

b、3+i

2.【2017课标II,理1]——=（）

l+i

A.l+2zB.l-2zC.2+iD.2-i

3.[2017山东,理2］已知是虚数单位，若2=。+67,2，=4,贝Ua=

（A）I或-1（B）疗或-g（C）-V3（D）y/3

4【2017课标3,理2】设复数z满足（l+i）z=2i,则IzI=

1

A.-B.旦C.72D.2

22

5.【20卜7课标n,理8】执行右面的程序框图，如果输入的。=-1,则输出的S)

A.2B.3C.4D.5

6.【2017课标1,理8】右面程序框图是为了求出满足3「2">1000的最小偶数小那么在^>和匚二）两个

空白框中，可以分别填入

A.A>10()0和”="+1

B.A>1000和〃=〃+2

C.A41000和〃=〃+1

D.AV1000和"=〃+2

7.12017天津，理3】阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为24,则输出N的值为

(A)0(B)1(C)2(D)3

8.12017山东，理6】执行两次右图所示的程序框图，若第一次输入的X的值为7,第二次输入的工的

值为9,则第一次、第二次输出的〃的值分别为

(A)0,0(B)1,1(C)0,1(D)1,0

9.【2017北京，理2】若复数(1—，)(〃+，)在复平面内对应的点在第二象限，则实数。的取值范围是

(A)(-co,1)(B)(3-1)

(C)(1,+oo)(D)(-1,+oo)

10.【2017天津，理9］已知“eRri为虚数单位，若三二为实数，则。的值为.

11.【2017江苏，2］已知复数z=(l+i)(l+2i),其中i是虚数单位，则z的模是▲.

12.【2017江苏，4】右图是一个算法流程图，若输入x的值为」厕输出的〜的值是▲.

/输入x/

1.12016高考新课标1港】执行右面的程序框图，如果输入的X=O,y=l，〃=1,则输出的值满足

(A)y=2x(B)y=3x(C)y=4x(D)y=5x

2.12016高考新课标3理数】执行下图的程序框图，如果输入的a=4,b=6,那么输出的〃=()

〃=0.j=0

T。=b-a]

.

:■:

[Q=,^""^1

s=s+a,〃=/i+l

(A)3(B)4(C)5(D)6

3.【2016年高考四川理数】秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著

的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了

利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入〃，x的值分别为3,2,则输出v的值为

(A)9(B)18(C)20(D)35

4.12016高考新课标2理数】中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，下图是实现该算法的程序框图.

执行该程序框图，若输入的x=2,〃=2,依次输入的。为2,2,5,则输出的5=()

（开始）

/^入X，〃/

A