高考数学一轮复习讲义微专题08函数方程问题的分析(含详解)

PAGE1-微专题08函数方程问题的分析一、基础知识：1、函数方程：含有未知函数的等式叫做函数方程，例如：SKIPIF1<0都可称为函数方程。在高中阶段，涉及到函数方程有以下几个类型：（1）表示函数SKIPIF1<0的某种性质：例如SKIPIF1<0体现SKIPIF1<0是偶函数；SKIPIF1<0体现SKIPIF1<0是周期为1的周期函数（可详见“函数对称性与周期性”一节）（2）可利用解方程组的思想解出涉及的函数的解析式：例如：SKIPIF1<0，可用SKIPIF1<0代替SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0（3）函数方程也是关于变量的恒等式，所以通过对变量赋特殊值得到某些数的函数值2、双变量函数方程的赋值方法：（1）对SKIPIF1<0均赋特殊值，以得到某些点的函数值，其中有些函数值会对性质的推导起到关键作用，比如SKIPIF1<0，在赋特殊值的过程中要注意所赋的值要符合函数定义域。（2）其中某一个变量不变，另一个赋特殊值，可得到单变量的恒等式，通常用于推断函数的性质3、常见函数所符合的函数方程：在填空选择题时可作为特殊的例子辅助处理，但是在解答题中不能用这些特殊的函数代表函数方程（1）SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（3）①当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0：SKIPIF1<0②当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0：SKIPIF1<0二、典型例题例1：已知函数SKIPIF1<0对任意的SKIPIF1<0均有SKIPIF1<0，且当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0（1）求证：SKIPIF1<0为奇函数（2）求证：SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的增函数（1）思路：要证明奇函数，则需要SKIPIF1<0出现在同一等式中，所以考虑令SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，再通过代入特殊值计算出SKIPIF1<0即可解：（1）令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0为奇函数（2）思路：要证明单调递增，则需任取SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，去证明SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的大小，结合等式，则需要让SKIPIF1<0与SKIPIF1<0分居等号的两侧，才能进行作差。所以考虑SKIPIF1<0，进而SKIPIF1<0。只需判断SKIPIF1<0的符号即可解：任取SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，代入方程可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，依题意可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0即SKIPIF1<0SKIPIF1<0为增函数小炼有话说：第（2）问将SKIPIF1<0拆分为SKIPIF1<0是本题证明的亮点，达到了让SKIPIF1<0与SKIPIF1<0分居等号的两侧的目的例2：已知定义在SKIPIF1<0上的函数SKIPIF1<0，对于任意实数SKIPIF1<0都满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0（1）求SKIPIF1<0的值（2）求证：SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是增函数（3）求不等式：SKIPIF1<0的解集解：（1）令SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0令SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（2）思路：考虑证明SKIPIF1<0单调递增，则需构造出SKIPIF1<0，即可设SKIPIF1<0且令SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0和已知条件可得：SKIPIF1<0所以需要证明SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可考虑结合题目条件和SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，从而单调性可证证明：SKIPIF1<0，则令SKIPIF1<0，代入函数方程有：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，下证SKIPIF1<0由已知可得，SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，所以只需证明SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0令SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增（3）思路：本题并没有SKIPIF1<0的解析式，所以考虑利用函数的单调性求解。由（1）（2）问可得SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，再根据单调性即可得到关于SKIPIF1<0的不等式，解出不等式即可解：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0SKIPIF1<0由（2）可得SKIPIF1<0单调递增SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0例3：定义在SKIPIF1<0的函数满足关系SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的大小关系为（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路：由比较函数值大小联想到考虑函数的单调性，先化简SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所给方程左边已经作差，所以考虑SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，所以SKIPIF1<0答案：D小炼有话说：本题在证明单调性时，因为考虑了SKIPIF1<0中自变量的取值，所以只需考虑SKIPIF1<0的单调性，缩小SKIPIF1<0的范围使得判断SKIPIF1<0的范围较容易。但也可将SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中任取，但是在判断SKIPIF1<0的范围会比较复杂，可利用不等式的等价变形来证：假设SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0且SKIPIF1<0SKIPIF1<0由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0成立，从而SKIPIF1<0例4：函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增，若SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路：从所求中发现SKIPIF1<0互为相反数，所以联想到判定SKIPIF1<0是否具有奇偶性。令SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，需求出SKIPIF1<0：令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，再令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为偶函数。所以SKIPIF1<0，所解不等式为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0为偶函数，且区间SKIPIF1<0上单调递增，所以自变量距离SKIPIF1<0轴越近，则函数值越小，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的范围为SKIPIF1<0答案：D例5：设角SKIPIF1<0的终边在第一象限，函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0，则使等式SKIPIF1<0成立的SKIPIF1<0的集合为思路：首先从所求出发，由SKIPIF1<0确定代入的特殊值。令SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，则下一步需要确定SKIPIF1<0的值，令SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由角SKIPIF1<0的终边在第一象限可得：SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0的集合为SKIPIF1<0答案：SKIPIF1<0例6：定义在SKIPIF1<0上的函数SKIPIF1<0满足：对于任意的SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0的最大值和最小值分别为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路：由最值联想到函数的单调性，从而先考虑证明SKIPIF1<0单调，令SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0），则可证明SKIPIF1<0为增函数，从而SKIPIF1<0，再利用函数方程求出SKIPIF1<0的值即可解：SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0代入函数方程可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0答案：D例7：已知函数SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0，对任意实数SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路：由所求出发可考虑判断SKIPIF1<0是否具备周期性，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，两式相加可得SKIPIF1<0，则可判定SKIPIF1<0的周期为6，由SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0答案：B例8：已知SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的函数，SKIPIF1<0，且对任意的SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0__________思路：函数方程为“和→积”的特点，抓住SKIPIF1<0，可发现令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以可得：自变量间隔SKIPIF1<0,，其函数值的和为0，所以将求和的式子两两一组，即：SKIPIF1<0答案：SKIPIF1<0例9：设函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且对SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的解析式为________思路：观察到右边的结构并非SKIPIF1<0的轮换对称式，考虑其中一个变量不变，另一个变量赋值为1，则SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0①，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0②，则求SKIPIF1<0是关键，结合SKIPIF1<0，可令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，代入到①②可得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0答案：SKIPIF1<0:例10：已知函数SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上不恒为SKIPIF1<0的函数，且对于任意的实数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，考察下列结论：①SKIPIF1<0