2015八年级下册第十六章二次根式导学案及答案

第十六章第十六 二次根16 二次根式1二次根式的概念和意 重点：1会判断一个式子是不是二次根式2．利用二次根式被开方数的非负性解决数学问题难点：利用二次根式被开方数的非负性解决数学问题

二次根式有意义的条 （重点 2” 例“，然后与小组伙伴们交流，并尝试回答＂列不等式x2的依据是什么 答案】被开方数为非负数囡写出含有字母a的二次根式且a的取值范围是

1．如果一个正数x的平方等于，即x2a，那么这个正 ［答案】答案不唯一，如槡a3x叫作a 算术平方 ，记 ，叫作被开方数

囡二次根式有意义的条件是什么 答案】被开方数大于或等于零，即被开方数为非负数2．被开方数的取值范围为非负数3．分式有意义的条件是分母不为零

的被确定二次根式中字母取的方法

利用二次根式二次根式

(组）来完成 例1】判断下列各式中，哪些一定是二次根式 （重点 阅读2第一个”思考“，然后与小组伙伴们交流， 少槡9;(27;@槡x+2;@槡(x3尝试回答下列问题 73＂［答】3s，槡65填空．都是二次根式 槡55［答案】(1)3;s．(2)槡65 h5囡观察＂中所列的式子，它们有什么共同的特点 答案】都表示求一个正数的算术平方根二次根式的定义：一般地，我们把形 a（O的式子叫作二次根式，，槡称为二次根号5囡＂中所列的3，s，槡65，h都是二次根式吗5［解】(2@(J)一定是二次根式［例2】当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内意义

［解】(1)要使槡3x+槡x在实数范围内有意义必须有30�0解由这两个不等式组成的不等式组得0 0槡3 ;(312

312x40

3

�0囡在9，槡2，35中，哪些是二次根式 即3x+1�0，或［答案】9是二次根式 2x40 2x40，二次根式必备的两个特征（带二次根号｀ （被开方数为非负数

解得2或�13，2>�1，

数范围内有意义＂＂们2，如9，m，1，s 3”例2"(2)中，在计算(25)2时，(25)2=22

槡mm�0)，

，， ［答案l它们都是用基本运算符号(基本运算符号包括加 ［解l(6)26=减、乘、除、乘方和开方 把数或表示数的字母连接起来的式子 (2)2=2

第十六章槡代数式：用基本运算符号（基本运算符号包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子，

66606叫作代数式 (4)(32)2=32X(2)2=9X218.囡请你写出你囡请你写出你最喜欢的几个代数.［例2l化简：(10325

槡17等［答案l答案不唯一,如a,1a,6, 7等

('lT2;(5(122＋2囡整式和分式都是代数式吗 尤

3

=3.［答案l是 ［答案l是

=1槡 )(6［例1l)(6

27

二次根式的乘除1 二次根式的二次根式的乘法法则槡槡槡

�� ：a· （ ：12.利用积的算术平方根的性质进行化简难点：掌握和应用二次根式的乘法法则进行计算2((

不变.必须都是非负的 中的a，b既可以是数，也可以是代数式必须都是非负的 当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项法则进行运算即系数之积作为积的系数，被开方数之积作为

(a)(a<0)2(a)(a<0)

a(

•n•na(.同底数幂的乘法aa=amnm,n都是整数 )，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同字5.单项式相乘的运算法则 ，对于只在一个单项式里含有的字母，则连

�0) (3)结果要化为最简囡在二次根式的乘法法则中,为什么需要有 �0这一条件 可以去掉这一条件吗它的指数一起作为积的一个因 ［答案l｀a�0,�0 是保证参与运算的二次根式都有 是不可以去掉的 囡二次根式的乘法法则描述的是两个二次根式相乘,如＂阅6 答案l(1＂阅6 答案l(1)6;(2)20;0(3)30;0.(a0,�0)［答案l二次根式的乘法法则可以推广到多个二次根式相······�0,�0,0,·,n�0).＂把二次根式的乘法法则a·b=槡a(a�0,�0)反过来,就得到槡aba•b（a�O，b�O）.八年级数学（下分／R这就是积的算术平方根的性质

(3)12(用语言描述为两个非负数的积的算术平方根等于这两

3 65非负数的算术平方根的积 ［解】(1)65=槡65=槡30囡槡ab=a·(a习0,习0)也可以推广到求多个非负

因数的积的算术平方根的情况,即槡a···n=a·b

槡x8=9 (3)12( 利用积的算术平方根的性质可以进行二次根式的

3

653(6x2x=2x2x简，在化简二次根式时，应先把能写成平方的因数或因式写成平方的形式，然后2的算术平方根的性质把它化成

［例2】化简：(1)槡(36(64);(2)槡2002(，再根据a=a(a习0)去掉根号.在去掉根号时， (6注意根号下字母的取值范围［例1［例1】计算：(1)6x5

42424242 21 21x8

=2x=槡. 二次根式的

槡书

足被除式中的被开方数a为非负数，除式中的被开方数b为正数() 当作为除数的二次根式前面有系数时，可类比单项式重点、难点：掌握和利用次根的除法法则进行二次根 除以单项式的法则进行运算，即系数之商作为商的系数、被开式的除法运算 方数之商作为商的被开方数.如m 0 ()

(3)最终结果必须化简到最简形式囡在二次根式的除法法则中,a,b都是被开方数,它们取值范围为什么不同槡a2=a

aa习a(a<0)

［答案】因为b不仅是被开方数,同时还是分母的组成部分,它的取值不能使分母为零积的算术平方根的性质：槡ab=a·b(a习0

囡阅 8“例4",尝试把(1)题的分子、分母先同)2分式的乘： =a)2

7'=0)

乘3,试一下可以完成计算吗=2 =2·= ·==

( 62=22

,

3 槡：b 槡2商的算术平方根的性质（重点把二次根式的除法法则a= 0 得 O .这就是商的算术平方根 ＂阅 8“探究",并回答探究中的问题((在解题过程中要特别注意字母的取在解题过程中要特别注意字母的取发现的规律a去

性质 被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.的化的化 利用商的算术平方根的性质可以进行二次根：= 0,0

，在化简时，应根据分式的基本性质把分母中的根.

. 如果被开方数是带分数，应先化成假分数再计算果观 P8~9“例4"“例5"“例6"中各小题的最后,其中22,33,3

15

2a有什么共同的特点, 中的a，b可以是数，也可以是代数式，

［答案l(1)被开方数不含分母(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式（最简二次根 满足条件：心被开方数不含分母＠被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式叫作最简二次根式（2)将一个二次根式化简成最简二次根式的方法：心如果被开方数是分式或分数（包括小数)，先利用｀商的算术平方根的性质把它写成分式的形式，如果分母可以完全，就把它开出来；如果开不尽方，分子、分母同时乘分母中的二次根式来化简，这样被开方数的因数就是整数，因式就是整式如果被开方数是整数或整式，先将它解因数或分解因式，然后利用积的算术平方根的性质把开得尽方的因数或因式开出来，从而将式子化简.1

第十六章［例3l下列各式中属于最简二次根式的是(A 难 去掉分母中的根号称为分母有理化将分子和分母都乘分母的有理化因式（两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式就说这两个代数式互为有理化因式)，就可以去掉分母中的根号（分母的有理化因式不唯一，但以运算最简便为宜，常用的有理化因式：a与a，a与aaa，1与ab1等)进行分母有理化时应根据题目特点灵活选择方法当分子或分母可以分解因式，并且分解后的因式能够约分时，最好先约分再进行分母有理化槡

5

［例4l去掉下列各式分母中的根号［例1l计算2

2

3;(3)

;(4).［解l(1原式＝30120

＝

5 ［分析l（1)分母3槡48＝123分子、分母同时乘3即去掉分母中的根号（2)分子、分母同时乘槡a+2即可去2原式＝2

05505 中的根号（3)分子、分母同时乘（5+3)即可去掉分母中3 原式3

3

3

（))分即可［例2l化简：(1)361;(2)1;(3)22 分即可 ［解

＝0

槡3423 123对槡2槡［解

槡361＝＝＝

(2)

3＝＝

3＝a+2学

2(5+3 2(5+3槡 槡 槡 槡1115 53(53)(53)(5)2(3 5＝5 ＝5 ( 2 8 3＝33＝

))((

x25a＝槡

(0 2 2

二次根式的加减 二次根式加2.合并同类项法则：系数与系数相加减，字母和字母的指数不变.重点、难 二次根式的加减法法则及其应用(a)b

3.提公因式法分解因式：如果一个多项式的各项含有公因式，那么可把该公因式提取出来进行因式分解.这种分解因式的方法叫作提公因式法. 八年级数学（下分／R二次根式的加减运 (重点＂阅 问题＂，然后与小组伙伴们交流，并尝

囡阅 P13"例1、"例，回答下列问题运二次根二次根系系数相乘系数相加运二次根二次根系系数相乘系数相加被开方被开方数相乘被开方数不回答下列问题(1)怎么判断木板够宽［答案l(1) P12图16．3，只要面积较大的正

旧结论

比较二次根式的加减与整式的加减，你能得出什么形的边长小于木板的宽即可因为较大正方形的面积为18dm2所以较大正方形的边长为槡dm．因为槡18)218，5225，

［答案l二次根式的加减首先是化简，在化简之后就是类似于整式的加减运算了整式加减无非去括号与合并同类项，二次根式在化简之后也是如此，合并被开方数相同的二次根式实际上相当于合并同类项．所 2

P13"例2中(2)的结果33与5还能合并吗 5所以较大正方形的边长小于木板的宽依据P12图16．3，要比较木板是否够长，需要求出两个正方形的边长的和，然后把它与木板的长7．5dm dm d，它们的C边个方形的面积分 dm d，它们的长和 8+槡18化 8+槡18

什么［答案l不能因为33与5都是最简二次根式且被开方数不相同，所以它们不能合并．［例1l计算(槡12 1+3槡48(2a1+槡4ba1槡 槡1［解l(1)2槡12 123=15 a 1槡4a 1=a•1a+2baa方法步具体过化为最简二次方法步具体过化为最简二次分配求25

a2槡 @52与7．5进行比较因为(52)2=52x(2 =5o，7．52=5625＂＂

+b=+3． A6

＂"＂所以在这块木板上 截出两个面积分别为8所以在这块木板上 截出两个面积分别为8dm18dm2的正方形(填"可以＂或"不可以

难点先代入，然后把二次根式化为最简二次根式，最．［例2l当a15时，求槡2a3槡5a槡7a+3的值 ，化简8+槡18的步骤就是二次根

1515153的加减法，请你归纳二次根式加减法的运算步骤 槡27槡75+槡108=3353+63=432 二次根式的囡写出(2)题每步的依据

第十六章

(53)(53 重点：二次根式的四则混合运算难点：利用多项式乘法法则和乘法进行计算 二次根式的乘法法则 a·b=槡ab(a�0,�

=(5)2(3)2(平方 =53(二次根式的性质(行二次根式混合运算时，整式的乘法（平方差、完全平方）和运算律（加法的交换律、结合律，乘法的交换律、结合律和分配律）仍然适用.

0) 二次根式的除法法则：a 0 相3.二次根式加减法先将二次根式化成最简相

【例1口计算下列各式式，再将被开方 的二次根式进行合并 b b

槡4831x槡12槡242槡22槡)abb2 (2)(46

1二次根式的混合运算重点1二次根式的混合运算重点

682121

6+26阅 14”例3”，回答下列问题＂写出(1)题每步的依据

46

24+6(83) 3槡24+6+4=232x+66

.

(2)题每步的依据=4写3+32(积(2)题每步的依据

4.

(4236:-2

【例2口观察下列算式的特点，用最简便的方法计算

(1)