微积分月考历年试题

2005-2006（本题满分56分，共有8道小题，每道小题8,8,8,8,8,8,8,7分1、设二元函数

u

y可微，且

x2111

x2

x．求当x0时，u x22解2在方程

x21两端对x求导，122122

x2u

x22x01将题设中的1

x2x代入上式，

xu

x22x0因此，当x0

u

x21222、设函数fg均可微，z2

f

lnxgxy，求x

yy解z

fy

f1gy

z

fx

fg 2

xzyz

1

所以，

2

x

fgyy

f2gf23、在曲面

y

z

1上求点

x0

z0，使得函数0ux2y24z2在点Mv2xyz20max{u|

grad(u)同向时

l [l又l

grad(v)//grad(u)且不反(2y,2x,2z)//(2x,22y2x

2x2

2z,x

y

z

1

,

,

)4、计算曲线积分2xyx2dxxy2dy，其L是由抛物线Lyx2y解

x

y2xyx2，

yxyQ

12x 设曲线L所围的区域为D，由Green，2xyx2dxxL

y2dy1D1 1

2 112xdxdy12x x dx 5、设函数fxx0处可导，

，且函数fx在点x

处的某邻域内连续

f0

．再

z:

x2y2z2

limt0t

f

x2

y2z2

．解

2

1

tt0

xy

dxdydzt0

dsind

rrt t

0

ff

11

limf

t0 t

t0

tx226设S为锥面z 被圆柱面x22

2

IS

．解将S投影到xOy平面的区域记为D，则D y: x2y22x2S的方程为x2x2y2x2y2

z x2yx2y2dS

dxdy

2dxdy1xyz z1xyz z x2y22S2 2x2dxdyD

220

2r2cos20

rdr

4x2y2z27、求曲线L：

y

z2

在点M

1,1解S1

x2

z

6M

1,1处的法向量为n1 S2

2x2

z

8M

1,1处的法向量为n2 2．所以，曲线L在点M2,1,1

k

因此，曲线Lx2y1z1 解2：切线

Gx 4(x2)2(y1)2(z1)8(x2)2(y1)2(z1)8uxycoszdivgradu．解

u

u ycos z

xcos

xysin．，divgradudivycos

xcos

xysinzycosz

xcosz

xysinzxycos （本题满分30分，共有3道小题，每道小题10分ueu

2u9、设二元函数u y由方

xy解对方程ueuxydueuduydxxdy

u

u du

dx

dy，由此

u1

1

1

12u

u 所以， yx y1

y

yeu1 11 1

2 2u1euyeu u

u 1212

1

1

．．R2x2y210设S为上半球z 的内侧RR2x2y2IxS解

ydxdyxyzdydz11加上曲面S z0取上侧则SS构成一个封闭曲面11内侧．记SS1所围区域是，由Gauss，IxydxdyxySxydxdyxyzdydzxydxdyxyS yzdxdydzx

y，其中D

z

x2y2R2D关于x轴与yxydxdyxdxdyydxdy0 又因为空间区域关于xOzydxdydz0

dxdydz

zdxdydz

0

R4

R2r2rdr 4

所以， y x z a11a

yz

a

b

c

与三个坐标I

czdv再设abch为定值试求 解

c的值使得I cI

cb1x a

令 Fbc2Fac2则有 F2abcFabch解方程，得ab

h，c h h

c abch因为在条件abch下，I

c有最大值，故当ab

h，c 时，I h h

c

Imax1536（本题满分14分，共有2道小题，每道小题10，7分12

xyxdyydx在开区域

y2 x4 解：这是复连通域．要证在区域x2y20内积分与路径无关，其充分必要条件时沿任意一条闭路曲线上的积分为0即x2y20如果区域x2y20内的闭路L，xy，Px4y

x2yQx4y4由 P

y4x4y4

Q所以由Green，得IL

xyxdyydx0x4y如果区域x2y20内的闭路L径0，作圆：x

C：

sinxyxdy

xyxdy

sinIL

x4y4

xyCxy

cos4

sin4d（因为被积函数是奇函数IL

xyxdyydx在区域x2y20x4y413x放养y万尾，则收获时这两种鱼的收获量分别为3x

4x2yy 0解设产鱼量为z，则zz3xyx4x2yy3x4yx22y22z32x2y z44y2x解方程，得唯一驻点x0

y0

32

4 ．2

2

2记A

x

2，B

x

2，C

y

由于0A20B2AC428242220 所以，二元函数z3x4yx22y22xy在点x y 因此，要使鱼产量最大，甲种鱼应放222万尾，乙种鱼应放2222万尾14（10

F(x,y)

f(x)g(F在极坐标下只是r的函数,

F(x,y)

求F(x,

[其中F,fgsC1 0

Fxr(sin)Fyr

yf(x)g(y)xf(x)g( f(x)

gy)

f