《线性代数》(同济第六版)课件

《线性代数》(同济第六版)课件第一页，共490页。线性代数（第六版）第二页，共490页。在以往的学习中，我们接触过二元、三元等简单的线性方程组.但是，从许多实践或理论问题里导出的线性方程组常常含有相当多的未知量，并且未知量的个数与方程的个数也不一定相等.第三页，共490页。3我们先讨论未知量的个数与方程的个数相等的特殊情形.在讨论这一类线性方程组时，我们引入行列式这个计算工具.第四页，共490页。4第一章

行列式�内容提要§1

二阶与三阶行列式§2§3§4§5§6§7行列式的概念.

行列式的性质及计算.行列式按行（列）展开克拉默法则

——

线性方程组的求解.全排列及其逆序数n

阶行列式的定义对换（选学内容）行列式的性质•行列式是线性代数的一种工具！•学习行列式主要就是要能计算行列式的值.第五页，共490页。§1二阶与三阶行列式我们从最简单的二元线性方程组出发，探求其求解公式，并设法化简此公式.第六页，共490页。⎩a21

1

22

2

2一、二元线性方程组与二阶行列式二元线性方程组由消元法，得⎧a11x1

+a12x2

=

b1⎨

x

+a

x

=

b

(a11a22

−

a12a21)x1

=

b1a22

−

a12b2

(a11a22

−

a12a21)x2

=

a11b2

−

b1a21当a11a22

−

a12a21

≠

0

时，该方程组有唯一解

b1a22

−

a12b2a11a22

−

a12a21x1

=

a11b2

−

b1a21a11a22

−

a12a21x2

=第七页，共490页。⎪x

=

a11

2

1

21

求解公式为⎧

b1a22

−a12b2⎪x1

=

a11a22

−a12a21⎨

b

−ba⎪

2

a11a22

−a12a21⎩

二元线性方程组⎧a11x1

+a12x2

=

b1⎨

x

+a

x

=

b

请观察，此公式有何特点？�分母相同，由方程组的四个系数确定.�分子、分母都是四个数分成两对相乘再

相减而得.第八页，共490页。21

1

22

2

2

a

⎩11

2

1

21

a

x

⎪

=⎩

我们引进新的符号来表示“四个

数分成两对相乘再相减”.

a11

a12

a11

a12数表

a21

a22

记号

a21

a22

表达式

a11a22

−a12a21

称为由该

数表所确定的二阶行列式，即

a11

a12

D

=

=

a11a22

−a12a21

a21

a22其中，

aij(i

=

1,2;

j

=

1,2)

称为元素.

i

为行标，表明元素位于第i

行；

j

为列标，表明元素位于第j

列.

二元线性方程组⎧a11x1

+a12x2

=

b1⎨

x

+a

x

=

b

其求解公式为⎧

b1a22

−a12b2⎪x1

=

a11a22

−a12a21⎨

b

−ba⎪

2

a11a22

−a12a21

原则：横行竖列第九页，共490页。a11a21a12a22=

a11a22

−a12a21主对角线副对角线即：主对角线上两元素之积－副对角线上两元素之积二阶行列式的计算

——对角线法则第十页，共490页。

⎧a11x1

+a12x2

=

b1二元线性方程组

⎨

x

+

a

x

=

b若令a11

a12a21

a22D

=b1b2a12a22D1

=a11a21b1b2D2

=(方程组的系数行列式)则上述二元线性方程组的解可表示为D1

D=x1

=

b1a22

−a12b2a11a22

−a12a211

a11b2

−ba21

D2x2

=

=

a11a22

−a12a21

D第十一页，共490页。所以

x1

=

=

=

2,例1求解二元线性方程组

⎧3x1

−

2x2

=

12

⎨

⎩

2x1

+

x2

=

1解3

−

22

1因为

D

==

3−(−4)

=

7

≠

0=

12−(−2)

=

1412

−

2

1

1D1

=3

122

1=

3−

24

=

−21D2

=D1

14

D

7

D2

−21x2

=

=

=

−3

D

7第十二页，共490页。a22

23

=

a11

22

33

12

23

31

13

21

32原则：横行竖列引进记号称为三阶行列式.a12

a13a11a21a31a32

a33a

a

a

+a

a

a

+a

a

a−a13a22a31

−a12a21a33

−a11a23a32二、三阶行列式

定义

设有9个数排成3行3列的数表

a11

a12

a13a21

a22

a23a31

a32

a33主对角线副对角线二阶行列式的对角线法则并不适用！第十三页，共490页。三阶行列式的计算

——对角线法则a12

a13a22

a23a31a32

a33

a11D

=

a21实线上的三个元素的乘积冠正号，

虚线上的三个元素的乘积冠负号.

=

a11a22a33

+a12a23a31

+a13a21a32

−a13a22a31−a12a21a33

−a11a23a32注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.第十四页，共490页。

1

2

-4例2

计算行列式

D

=

-2

2

1

-3

4

-2解

按对角线法则，有D

=

1×2×(−2)+

2×1×(−3)+

(−4)×(−2)×4

−1×1×4−

2×(−2)×(−2)−(−4)×2×(−3)

=

−4−

6+

32−

4−

8−

24

=

−14.第十五页，共490页。

1

x

=

0.x2例3

解求解方程

1

1

2

3

4

9

方程左端D

=

3x2

+

4x

+18−

9x

−

2x2

−12

=

x2

−

5x

+

6,

由

x2

−5x+

6

=

0

得

x

=

2或

x

=

3.第十六页，共490页。§2全排列及其逆序数第十七页，共490页。引例

用1、2、3三个数字，可以组成多少个没

有重复数字的三位数？解123321

3百位十位个位11

21

2

33种放法2种放法1种放法种放法.共有

3×2×1=

6第十八页，共490页。问题

把

n

个不同的元素排成一列，共有多少种不同的

排法？

定义

把

n

个不同的元素排成一列，叫做这

n

个元素

的全排列.

n

个不同元素的所有排列的种数，通常用

Pn表示.Pn

=

n⋅(n−1)⋅(n−2)⋯3⋅2⋅1=

n!显然即n

个不同的元素一共有n!

种不同的排法.第十九页，共490页。所有6种不同的排法中，只有一种排法（123）中的数字是按从小到大的自然顺序排列的，而其他排列中都有大的数排在小的数之前.因此大部分的排列都不是“顺序”，而是“逆序”.3个不同的元素一共有3!

=6种不同的排法123，132，213，231，312，321第二十页，共490页。20逆序对于n

个不同的元素，可规定各元素之间的标准次序.n

个不同的自然数，规定从小到大为标准次序.

定义

当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，

就称这两个元素组成一个逆序.例如

在排列32514中，

逆序

3

2

5

1

4逆序思考题：还能找到其它逆序吗？答：2和1，3和1也构成逆序.第二十一页，共490页。定义

排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.排列i1

2

i

⋯

in的逆序数通常记为

t(i1

2

i

⋯in).奇排列：逆序数为奇数的排列.偶排列：逆序数为偶数的排列.思考题：符合标准次序的排列是奇排列还是偶排列？答：符合标准次序的排列（例如：123）的逆序数等于零，因而是偶排列.第二十二页，共490页。计算排列的逆序数的方法则此排列的逆序数为

t

=

t1

+

t2

+⋯+

tn规定由小到大为标准次序.……设

p1

p2⋯

pn是

1,

2,

…,

n

这n

个自然数的任一排列，并先看有多少个比

p1大的数排在

p1前面，记为

t1；再看有多少个比

p2大的数排在

p2前面，记为

t2;最后看有多少个比

pn大的数排在

pn前面，记为

tn;第二十三页，共490页。求排列

32514

的逆序数.

t(32514)

=

0+1+

0+

3+1=

5求排列

453162

的逆序数.

t

=

9例1：解：练习：解：第二十四页，共490页。§3

n

阶行列式的定义第二十五页，共490页。a22

23

=

a11

22

33

12

23

31

13

21

32一、概念的引入a31a32

a33

a11D

=

a21a12

a13

a

a

a

+a

a

a

+a

a

a−a13a22a31

−a12a21a33

−a11a23a32规律：1.三阶行列式共有6项，即3!项．2.每一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．

p

p

是1、2、3的某个排列.4.当p1p2p3

是偶排列时，对应的项取正号；

当

p1p2p3

是奇排列时，对应的项取负号.第二十六页，共490页。(−1)t(

p1

2

3

p

)a1p1

2

3

pa2p

a3所以，三阶行列式可以写成p=

∑p1p2p3其中表示对1、2、3的所有排列求和.

∑p1p2p3二阶行列式有类似规律.下面将行列式推广到一般的情形.a31a32

a33

a11D

=

a21a12

a13a22

a23

=

a11a22a33

+a12a23a31

+a13a21a32−a13a22a31

−a12a21a33

−a11a23a32第二十七页，共490页。二、n

阶行列式的定义1.

n

阶行列式共有

n!

项．2.每一项都是位于不同行不同列的

n

个元素的乘积．

p

是1,

2,

…,

n

的某个排列.4.当p1p2⋯

pn是偶排列时，对应的项取正号；

当

p1p2⋯

pn是奇排列时，对应的项取负号.a11

a12a1nan1

an2D

==

∑p1p2⋯pn⋯⋯(−1)t(

p1p2⋯pn)a1p1a2

p2⋯anpna21

a22

⋮

⋮a2n

⋮⋯

ann简记作det(aij)

，其中aij为行列式D的(i,

j)元第二十八页，共490页。思考题：

−1

=

−1成立吗？答：符号

−1

可以有两种理解：�若理解成绝对值，则

−1

=

+1；�若理解成一阶行列式，则

−1

=

−1.注意：当n

=

1时，一阶行列式|a|

=

a，注意不要与绝对值的记号相混淆.

例如：一阶行列式

−1

=

−1.第二十九页，共490页。0

a22

a230

0

a330

0

0a24a34a44D3

=例：写出四阶行列式中含有因子a11a23的项.解：

−a11a23a32a44和

a11a23a34a42.例：计算行列式0000000a14a23

0

0a32D2

=0

0

0

0

0

0a11

a12

a13a110

a220

0

0

0a33

0

a44a14D1

=000000a41a11a21a32a41a22a32a42

0a33a43

0

0a44D4

=第三十页，共490页。=

(−1)t(4321)a14

23

33

41

=

a14

23

33

41解：0

0

00

0

0a110

a220

0

0

0a33

0a44D1

=0

00000a14a23

0

0

0

0

0

a32

0a41D2

==

a11a22a33a44a

a

a

a

a

a

3×4其中

t(4321)

=

0+1+

2+

3

=

=

6.

2第三十一页，共490页。a11

a12

a13a140

a22

a230

0

a330

0

0a24a34a44D3

=0

0

0a11a21

a22

0

0a32

a32

a33

0a41

a42

a43

a44D4

==

a11a22a33a44=

a14a23a33a41第三十二页，共490页。an1a2,n−1D

=⋰a22D

=⋱四个结论：(1)对角行列式

a11=

a11a22⋯ann

ann(2)

a1nn(n−1)

2=

(−1)a1na2,n−1⋯an1第三十三页，共490页。⋯

ann⋯⋱⋯an1

an2a22

⋮a21

⋮a110

⋮00D

=0

⋮0⋯

a2n⋱

⋮⋯

anna22

⋮

0⋯

a1na12a11D

=(3)上三角形行列式

（主对角线下侧元素都为0）=

a11a22⋯ann(4)下三角形行列式

（主对角线上侧元素都为0）=

a11a22⋯ann第三十四页，共490页。思考题：用定义计算行列式解：用树图分析−1133123−1

τ（2134）=

1−2

τ（2143）=

2−2

τ（2413）=

3−1

τ（2431）=

4D

=

−3+2−12+9

=

−4故131003210

2−2

−1−1

0

0−1D

=第三十五页，共490页。35思考题131211

1

x2xx21x−1

1

1已知

f(x)=，求x3的系数.第三十六页，共490页。故解含x3的项有两项，即131211

1

x2xx21x−1

1

1f(x)=

对应于

a

a

a

a

a

a(−1)t(1234)a11a22a33a44

=

x3,3t(1243)(−1)a11a22a34a43

=

−2xx3的系数为－1.第三十七页，共490页。§4

对换第三十八页，共490页。一、对换的定义定义在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素

不动，这种作出新排列的手续叫做对换．

将相邻两个元素对换，叫做相邻对换．例如a1

⋯

a

l

a

b

b1

⋯

bma1

⋯

a

l

b

a

b1

⋯

bma1

⋯

a

l

a

b1

⋯

bmb

c1

⋯

c

na1

⋯

a

l

b

b1

⋯

bma

c1

⋯

cn第三十九页，共490页。

备注

1.相邻对换是对换的特殊情形.

2.一般的对换可以通过一系列的相邻对换来实现.

3.如果连续施行两次相同的对换，那么排列就还原了.a1⋯al

a

b1⋯bmb

c1⋯cna1⋯al

a

b

b1⋯bmc1⋯cna1⋯al

b

b1⋯bma

c1⋯cna1⋯al

b

a

b1⋯bmc1⋯cna1⋯al

a

b1⋯bmb

c1⋯cnm

次相邻对换m+1次相邻对换m

次相邻对换m+1次相邻对换第四十页，共490页。二、对换与排列奇偶性的关系

定理1

对换改变排列的奇偶性.证明先考虑相邻对换的情形．

+

ta1

⋯

a

l

a

b

b1

⋯

bma1

⋯

a

l

b

a

b1

⋯

bm

+

r第四十一页，共490页。

+

ta1

⋯

a

l

a

b

b1

⋯

bma1

⋯

a

l

b

a

b1

⋯

bm

+

r注意到除a,b

外，其它元素的逆序数不改变.第四十二页，共490页。1

1

l

m

a

b

a

a

b

b

t

t

t

t

t

t

=

+

+

+

+

+

+

⋯

⋯1

1

l

m

b

a

a

a

b

b

r

r

t

t

t

t

=

+

+

+

+

+

+

⋯

⋯a1

⋯

a

l

a

b

b1

⋯

bma1

⋯

a

l

b

a

b1

⋯

bm+

t+

r因此相邻对换改变排列的奇偶性.当

a

<

b

时，ra

=

ta

+1

，rb

=

tb

，

r

=

t

+1

.当

a

>

b

时，ra

=

ta

，rb

=

tb

−1

，

r

=

t

−1

.第四十三页，共490页。2m+1次相邻对换因此，一个排列中的任意两个元素对换，排列的奇偶性改变.既然相邻对换改变排列的奇偶性，那么a1

⋯

a

l

a

b1

⋯

bmb

c1

⋯

cna1

⋯

a

l

b

b1

⋯

bma

c1

⋯

cn推论奇排列变成标准排列的对换次数为奇数，

偶排列变成标准排列的对换次数为偶数.证明

由定理1知，对换的次数就是排列奇偶性的变化次数，而标准排列是偶排列(逆序数为零)，因此可知推论成立.第四十四页，共490页。因为数的乘法是可以交换的，所以

n

个元素相乘的次序是可以任意的，即时改变奇偶性，但是这两个排列的逆序数之和的奇偶性不变.ai1

j1ai2

j2,⋯,ain

jn

=

a1p1a2

p2

⋯anpn

=

ap11ap2

2⋯apnn每作一次交换，元素的行标与列标所成的排列

i1i2⋯in与

j1

j2⋯

jn都同时作一次对换，即

i1i2⋯in与

j1

j2⋯

jn同第四十五页，共490页。因此，交换

中任意两个元素的位置后，其

1

1

2

2

n

n

i

j

i

j

a设对换前行标排列的逆序数为

s，列标排列的逆序数为

t

.因为对换改变排列的奇偶性，s′−

s是奇数，

t′−t也是奇数.所以

(s′−

s)+(t′−t)是偶数，即(s′+

t′)−(s+

t)是偶数.于是(s′+

t′)

与(s+

t)同时为奇数或同时为偶数.行标排列与列标排列的逆序数之和的奇偶性不变.j

ai

,⋯,a设经过一次对换后行标排列的逆序数为

s′列标排列的逆序数为

t′第四十六页，共490页。(−1)=

(−1)t(i1i2⋯in)+t(

j1j2⋯jn)t(12⋯n)+t(

p1p2⋯pn)=

(−1)t(

p1

2

p

⋯pn)经过一次对换是如此，经过多次对换还是如此.

所以，在一系列对换之后有第四十七页，共490页。(−1)t(i1

2

i

⋯in

)+t(

j1

2

j

⋯jn

)ai1

1

2

2

j

in

n

j定理2

n

阶行列式也可定义为D

=(−1)t(

p1p2⋯pn)

∑p1p2⋯pnap11ap22⋯apnn定理3

n

阶行列式也可定义为D

=

∑i1i2⋯in

j1j2⋯jnj

ai

⋯a第四十八页，共490页。例1

试判断a14a23a31a42a56a65

和

−a32a43a14a51a25a66是否都是六阶行列式中的项.解a14a23a31a42a56a65下标的逆序数为

t(431265)

=

0+1+

2+

2+0+1=

6所以a14a23a31a42a56a65是六阶行列式中的项.

−a32a43a14a51a25a66行标和列标的逆序数之和

t(341526)+

t(234156)

=

5+

3

=

8

所以

−a32a43a14a51a25a66不是六阶行列式中的项.第四十九页，共490页。例2用行列式的定义计算0

00

00

1

02

0

00

0

000

00nn

−

1

0⋯⋯Dn

=

⋯

⋯

⋯

⋯

⋯

⋯⋯⋯第五十页，共490页。n!(n−1)(n−2)

2Dn

=(−1)⎣

⎤

t

t

t

t

⎡(n−1)(n−

2)⋯21n⎦=(n−

2)+(n−

3)+⋯+

2+1=(n−1)(n−

2)

2第五十一页，共490页。ai1

1

2

2

j

in

n

j三、小结

1.

对换改变排列奇偶性．

2.

行列式的三种表示方法D

=D

=

∑p1p2⋯pn

∑p1p2⋯pn(−1)t(

p1p2⋯pn)a1p1a2p2⋯anpn(−1)t(

p1p2⋯pn

)ap11ap22⋯apnnD

=(−1)t(i1i2⋯in)+t(

j1j2⋯jn)

∑i1i2⋯in

j1j2⋯jnj

ai

⋯a第五十二页，共490页。§5行列式的性质第五十三页，共490页。,

D

=行列式与它的转置行列式相等,即

D=

D

.一、行列式的性质a11

a12⋯

a1na21

a22

⋮

⋮an1

an2⋯

a2n⋱

⋮⋯

ann行列式DT称为行列式D的转置行列式.若记

D=det(aij),

DT

=det(bij)，则bij

=aji

.记

D=性质1TTa11a21a12

⋮a1n⋯

an1a22

⋮a2n⋯

an2⋱

⋮⋯

ann第五十四页，共490页。性质1

行列式与它的转置行列式相等.证明若记

D=det(aij),

DT

=det(bij)

，则

bij

=aij(i,

j

=1,2,⋯,n)根据行列式的定义，有DT

=

=

∑p1p2⋯pn

∑p1p2⋯pn(−1)t(

p1p2⋯pn)b1p1b2

p2

⋯bnpn(−1)t(

p1p2⋯pn)ap11ap22⋯apnn

=

D行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.第五十五页，共490页。验证于是16376552

=

−19681

7

53

5

8

=1966

6

21

7

5

1

7

56

6

23

5

86

6

2

=

−

3

5

8推论证明如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.

互换相同的两行，有D

=

−D，所以

D

=

0

.i性质2

互换行列式的两行（列）,行列式变号.备注：交换第i行（列）和第j行（列），记作r

↔rj(ci

↔cj).第五十六页，共490页。性质3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个验证a12a22a32a13a23

,a33

a11D=

a21

a31我们以三阶行列式为例.

记根据三阶行列式的对角线法则，有

a13ka23

a33

a11

a12D1

=

ka21

ka22

a31

a32i倍数k

，等于用数

k乘以此行列式.备注：第i行（列）乘以

k，记作

r

×k(ci

×k)

.第五十七页，共490页。

a13ka23

a33

a11

a12D1

=

ka21

ka22

a31

a32i

=

a11(ka22)a33

+

a12(ka23)a31

+

a13(ka21)a32

−a13(ka22)a31

−a12(ka21)a33

−a11(ka23)a32

⎛a11a22a33

+a12a23a31

+a13a21a32

⎞

=

k⎜

⎟

a

a

−a

a

a

−a

a

a

=

kD推论

行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．备注：第i行（列）提出公因子k，记作

r

÷k(ci

÷k)

.第五十八页，共490页。a11

a12

a13

a14

a11a22a32a12a23a33a13a12a14a24a34a14a13

a21

a22

a23

a24

a21

=k

a31

a32

a33

a34

a31ka11

ka12

ka13

ka14

a11=k⋅0=0验证我们以4阶行列式为例.性质4行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．第五十九页，共490页。性质5若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和,例如：

a11

a12

+b

12

a13

D=

a21

a22

+b22

a23

a31

a32

+b32

a33

a11

a12

a13

a11

b12

a13a31

a32

a33a31

b32

a33则

D=

a21a22

a23

+

a21

b22

a23第六十页，共490页。(−1)t(

p1

2

3

p

)a1p1(a2

p2

2

p

)a3

p3+b2(−1)t(

p1

2

3

p

)a1p1a2

p2a3p3

+(−1)t(

p1

2

3

p

)a1p1b2

p2a3p3a11a13a23a33D

=

a21

a22

+b22

a31

a32

+b32a12

+b12p=

∑p1p2p3pp=

∑p1p2p3

∑p1p2p3b12b22b32a12a22a32a13a23a33

a11=

a21

a31a13

a11a23

+

a21a33

a31验证我们以三阶行列式为例.第六十一页，共490页。性质6把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数则D=

D

1.验证a31

a32

a33我们以三阶行列式为例.

记a33a31

a32

+

ka33

a11

a12

a13D=

a21

a22

a23

,

D1

=a11

a12

+

ka13

a13a21

a22

+

ka23

a23i然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变．备注：以数

k乘第j行（列）加到第i行（列）上，记作

r

+krj(ci

+kcj).第六十二页，共490页。

2−7

4

7

10

−

3

9

−

2−14−10−1

3

0−5−4

1

−

3例１

D

=

2

3

4二、应用举例

计算行列式常用方法：利用运算kr把行列式化为

上三角形行列式，从而算得行列式的值．ri

j

+

1

×3−5

1

6

2⊕第六十三页，共490页。

2−7

1−

3−

3

9−1

3

1

×3−5⊕解62

710−14−103

−

54

−

4

1

6

2

1−

2

1

4

7

10

2−1

4

−

2

−14

−10−

3

0−

2

0

−5

−4−1

0

0

D

=

2

3

4

1

0r2

+

3r1

2第六十四页，共490页。267402000024

−4

10

−10−143

−5−1−2−1−31

−162

7100021−14−103

−

54

−

4

0−

2−

2

1−1

4−

3−1

0r2

+

3r1

21

×(−

2)⊕1

×(−

3)⊕r2

−

2r1(−4)×⊕第六十五页，共490页。r2

↔

r41

1

0−1

2

3−1−2−2−5

4

0

2−2

2

0

0

0−

0

0

0

2−32

20

−1012−2

1

0

4−50

00

20

−2−2−1

3−1

0

1−31

−1⊕r3

−

3r1r4

−

4r1第六十六页，共490页。0

00

01

0−20

−12

21

−51

−12

−31

−1

0

−2−0

0r4

+

r312

3

2−2−2

1

1−1

2−5−1

0

2−31

−1

0

−2−

0

0

0

0

0

0r3

+

r2⊕32

×(−

2)⊕第六十七页，共490页。1100−5−1−1

0−

2

0

0

0

0−

0

0

0r5

+

4r4

3

2

=

−(−2)(−1)(−6)

=12.

0−6

4−

30

2

0−1

01110121−6

1−5−1−1−2

0

0−3−1

0−

0

0r5

−2r3320

×4⊕第六十八页，共490页。例2

计算

n阶行列式abbbbabbbbbbaab⋯⋯⋯⋯⋯

⋯⋯⋯⋯D

=

bbbbbbabab⋯

a⋯⋯⋯

b⋯

b⋯⋯⋯

⋯a

+

(n

−

1)b(n

−

1)b(n

−

1)b(n

−

1)b+++

a

aD

=

a解

将第2,3,⋯,n列都加到第一列得第六十九页，共490页。=[a+(n−1)b](a−b)

.

1

−

1

1=[a+(n−1)b]

1

⋯

1

b

a

b⋯

b

b

b

a⋯

b

b

b

b⋯

a⋯⋯⋯⋯⋯1bbb=[a

+(n−1)b]a

−b⋯⋱

0a

−ba

−b

0n第七十页，共490页。0a11例3

设

D

=⋯

a1k⋮⋮ak1

c11

⋮cn1⋯

akk⋯

c1k

⋮⋯

cnkb11

⋯

b1n

⋮

⋮bn1

⋯

bnnak1

⋯

akka11

⋯

a1kD1

=

det(aij)

=

⋮bn1

⋯

bnn⋮

,⋮b11

⋯

b1n⋮

,D2

=

det(bij)

=D

=

D1D2.证明第七十一页，共490页。0p11pkkpk1

⋯证明

+

kr设为

D1

=

⋮

⋱

=

p11⋯

pkk;对D2

作运算ci

+

kcj，把

D2化为下三角形行列式0q11pnkqn1

⋯设为

D2

=

⋮

⋱

=

q11⋯qnn.第七十二页，共490页。,0cn1qn1

⋯

qnn⋱q11

⋮⋯

cnkpk1

c11

⋮⋯

pkk⋯

c1k

⋮⋱⋮D

=D

=

p11⋯

pkk

⋅q11⋯qnn

=

D1D2.对

D

的前

k

行作运算

ri

+

krj，再对后

n

列作运算

ci

+

kcj，把

D

化为下三角形行列式

p11故第七十三页，共490页。计算行列式常用方法：(1)利用定义;(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．三、小结

行列式的6个性质(行列式中行与列具有同等的地位,

凡是对行成立的性质对列也同样成立).第七十四页，共490页。a

+

2b

+

2c

+

2d

+

2思考题计算4阶行列式11111dd2

1

d1b1cbc2

1

b2

1

c1aa2

1

aD

=abcd

=

1)(已知第七十五页，共490页。a思考题解答

解1111

2

b2

c2d

2

1a

1

b

1

c

1dab

cdD

=11111a1b1

c1da

b

cd

1a2

1b2

1c2

1d

2+第七十六页，共490页。bcda1111a1

1b2

1

c2

1d

2

1a2=

abcdbcda

1

b

1

c

1d1111a1

1b2

1c2

1d

2

1a2

1

b

+(−1)3

1

c

1d=

0.第七十七页，共490页。§6行列式按行(列)展开•对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.•本节主要考虑如何用低阶行列式来表示高阶行列式.第七十八页，共490页。a22

23

=

a11

22a33

+a12

23

31

+a13

21

32a一、引言a

a

a

a

a−a11a23a32

−a12a21a33

−a13a22a31a12

a13a11a21a31a32

a33=

a11(a22a33

−a23a32)+a12(a23a31

−a21a33)+a13(a21a32

−a22a31)

a22

a23

a21

a23

a21

a23=

a11

−a12

+a13

a32

a33

a31

a33

a31

a33结论思考题三阶行列式可以用二阶行列式表示.

任意一个行列式是否都可以用较低阶的行列式表示？第七十九页，共490页。例如a11a21a31a12a22a32a13a23a33a14a24a34a41a42a43a44D

=

a11

a12

a14M23

=

a31

a32

a34

a41

a42

a442+3A23

=(−1)M23

=

−M23i+

j把

Aij

=(−1)Mij称为元素a

ij

的代数余子式．j

列划后，留下来的n－1阶行列式叫做元素a

ij的余子式，记作

Mij

.在n

阶行列式中，把元素a

ij所在的第

i行和第结论因为行标和列标可唯一标识行列式的元素，所以行列式中每一个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式.第八十页，共490页。A

=(−1)=

a33

33

33

33a

M引理a11a12a13

a14a21

0a41a22

0a42a23

a24a33

0a43

a44a11

a12

a143+3=(−1)例如

D

=3+3a11

a12

a14a33

a21

a22

a24

=

a33

a21

a22

a24

a41

a42

a44

a41

a42

a44一个n

阶行列式，如果其中第i

行所有元素除

a

ij外都为零，那么这行列式等于a

ij与它的代数余子式的乘积，即D

=

aijAij

．第八十一页，共490页。00a11D

=⋯a21

a22

⋮

⋮an1

an2⋯

a2n

⋮⋯

ann.1+1又

A11

=(−1)M11

=

M11,从而

D

=

a11A11.下面再讨论一般情形.分析当

aij

位于第1行第1列时,即有D

=

a11M11

（根据P.14例10的结论）第八十二页，共490页。a24

r2

3

r=

(−1)我们以4阶行列式为例.a11

0a21a41a12

0a22a42a13

0a23a43↔=

(−1)2a11a21

0a41

0a12a22

0a42

0a13a23

0a43

0a11a21a41a12a22a42a13a23a43a14a24a44a14a34a44a34r

1↔r2000a11a21a41a12a22a42a13a23a43a14a24a44a14a34a24a44

a34=(−1)(3−1)思考题：能否以r

1

↔r3代替上述两次行变换？第八十三页，共490页。a24

r1

2

ra24

a21a11

a12

a13a21

a22

a23

0

0

0a41

a42

a43a14a34a44

0

0

0a11

a12

a13a21

a22

a23a41

a42

a43a34a14a24a44r2↔r3

↔

=

(−1)2000a11a12a13a14a34a21

0a41a22

0a42a23

0a43a22a12a42a23a13a43a24a14a44

r1↔r3

=

(−1)a34

a11a44

a41答：不能.思考题：能否以r

1

↔r3代替上述两次行变换？第八十四页，共490页。a34

c3

4

ca14

c1

2

c=

(−1)

(−1)3=(−1)(−1)

0a11a21a41

0a12a22a42

0a13a23a43a24a44=(−1)(3−1)a34a14a24a44

0a11a21a41

0a12a22a42

0a13a23a43(3−1)

↔c2↔c3

↔0

0

0a34a14

a11

a12

a13a24

a21

a22

a23a44

a41

a42

a43(3−1)(4−1)a34

被调换到第1行，第1列a11

a12

a13

3+4

a

aa41

a42

a43a11a21

0a41a12

a13

a14a22

a23

a24

0

0

a34a42

a43

a44第八十五页，共490页。二、行列式按行（列）展开法则定理3

行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即i

iD

=

ai1A1

+ai2A

2

+⋯+ainAin(i

=1,2,⋯,n)第八十六页，共490页。a11

a12

a13

a11

+0+0

0+

a12

+

0

0+

0+

a13a21

a22

a23

=

a21

a22

a23a31

a32

a33

a31

a32

a330

0

0a11a12

0

0

0

a13=

a21

a22

a23

+

a21

a31

a32

a33

a31a22

a23

+

a21

a22

a23a32

a33

a31

a32

a33

=

a11A11

+a12A12

+a13A13同理可得

=

a21A21

+a22A22

+a23A23

=

a31A31

+a32A32

+a33A33第八十七页，共490页。=

(−1)例（P.12例7续）31

−1

2−5