中国海洋大学 《概率论》第一章-随机事件的概率

第二节随机事件的概率概率的统计定义概率的古典定义几何概率主观概率概率的公理化定义

研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大小，也就是事件的概率.概率是随机事件发生可能性大小的度量

事件发生的可能性越大，概率就越大！了解事件发生的可能性即概率的大小，对人们的生活有什么意义呢？

例如，了解发生意外人身事故的可能性大小,确定保险金额.

了解来商场购物的顾客人数的各种可能性大小，合理配置服务人员.了解每年最大洪水超警戒线可能性大小，合理确定堤坝高度.什么是概率？长久以来数学家和哲学家争论不休。每个人对概率都有一些常识概念，但是细思起来又常会出现漏洞或矛盾。

什么是时间？如果没有人问我，我是清楚明白的，如果我要解释给问我的人听，我就迷惑了。

-----------St.Augustine一、概率的统计定义试验序号12345672315124222521252418272512492562472512622580.40.60.21.00.20.40.80.440.500.420.480.360.540.5020.4980.5120.4940.5240.5160.500.502实例

将一枚硬币抛掷5次、50次、500次,各做

7遍,观察正面出现的次数及频率.波动最小随n的增大,频率

f呈现出稳定性从上述数据可得(2)抛硬币次数n较小时,频率f

的随机波动幅度较大,但随n

的增大,频率f呈现出稳定性.即当n

逐渐增大时频率f总是在0.5附近摆动,且逐渐稳定于0.5.(1)频率有随机波动性,即对于同样的n,所得的

f不一定相同;试验者抛币次数n“正面向上”次数频率DeMorgan208410610.518Bufen404020480.5069Pearson1200060190.5016Pearson24000120120.5005抛掷钱币试验记录可见,在大量重复的试验中,随机事件出现的频率具

有稳定性.即通常所说的统计规律性.我们再来看一个验证频率稳定性的著名实验高尔顿(Galton)板试验.试验模型如下所示:自上端放入一小球,任其自由下落,在下落过程中当小球碰到钉子时,从左边落下与从右边落下的机会相等.碰到下一排钉子时又是如此.最后落入底板中的某一格子.因此,任意放入一球,则此球落入哪一个格子,预先难以确定.但是如果放入大量小球,则其最后所呈现的曲线,几乎总是一样的.单击图形播放/暂停ESC键退出请看动画演示----非负性----规范性----有限可加性优点：

注重经验，适合于保险精算与统计学的应用。

缺点：（1）对于不能重复试验观测的事件无法赋予概率。（2）人生有涯，我们的经验是有穷的，不是无穷的，我们只能做有穷多次而无法做无穷多次的实验观测。因而纯靠观测经验无法掌握概率。（3）频率的极限值不见得存在。二、概率的古典定义基本假设：对于一个随机试验的所有可能出现结果，在没有任何理由来预期或偏好某一结果时，每一个结果的地位都相同，则我们只好认为所有结果在试验中有同等可能的出现机会，即1/N的出现机会.在文献上，通常叫做不充足理由原理或无差别原理或对称性原理。常常把这样的试验结果称为“等可能的”.e1,e2,…，eN

试验结果你认为哪个结果出现的可能性大？23479108615

例如，一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球.将球编号为1－10.把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球.因为抽取时这些球是完全平等的，我们没有理由认为10个球中的某一个会比另一个更容易取得.也就是说，10个球中的任一个被取出的机会是相等的，均为1/10.1324567891010个球中的任一个被取出的机会都是1/1023479108615我们用i表示取到i号球，i=1,2,…,10.称这样一类随机试验为古典概型.34791086152且每个样本点(或者说基本事件)出现的可能性相同.Ω={1,2,…,10}

,则该试验的样本空间如i=2称这种试验为等可能随机试验或古典概型.

若随机试验满足下述两个条件：

(1)它的样本空间只有有限个样本点；

(2)每个样本点出现的可能性相同.

定义-------------概率的古典定义计数方法：排列组合加法原理：完成一件事情有n

类方法，第i

类方法中有mi

种具体的方法，则完成这件事情共有种不同的方法.青岛上海火车3次汽车2次飞机2班则共有3+2+2=7中方法乘法原理：完成一件事情有n

个步骤，第i

个步骤中有mi

种具体的方法，则完成这件事情共有种不同的方法.青岛上海杭州汽车火车火车汽车飞机则共有3*2=6中方法排列:

从n个不同的元素中取出m

个(不放回地）按一定的次序排成一排不同的排法共有全排列:可重复排列

:从n

个不同的元素中可重复地取出m

个排成一排,不同的排法有种.组合:

从n个不同的元素中取出m

个(不放回地）组成一组，不同的分法共有n个不同元素分成k堆,各堆个数分别为r1,r2,…,rk

r1+r2+…+rk=n,共有多少种分法？分堆问题n!/(r1!r2!…rk!)一场精彩的足球赛将要举行,5个球迷好不容易才搞到一张入场券.大家都想去,只好用抽签的方法来解决.

入场券5张同样的卡片,只有一张上写有“入场券”,其余的什么也没写.将它们放在一起,洗匀,让5个人依次抽取.后抽比先抽的确实吃亏吗？

“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大.”到底谁说的对呢？让我们用概率论的知识来计算一下,每个人抽到“入场券”的概率到底有多大?“大家不必争先恐后，你们一个一个按次序来，谁抽到‘入场券’的机会都一样大.”“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。”例3袋中有N只球，其中n只红球．现有N个人，每人依次从中任意一只球，试求第k个人抽到红球的概率．

解：设：A=“第k个人取出的球是红球”k12N抽球的结果相当于N个球的全排列，所以样本空间的总样本点数为N!，而第k个人抽到红球相当于第k个位置为红球的排列，所以事件A的样本点数为n*(N-1)!P(A)=n*(N-1)!/N!=n/N箱中摸球概率与k无关袋中30个黄球，20个红球，每次取一球，第三次取到黄球的概率是10个签，其中3个是难签，3个人不放回个抽一支，第三人抽到难签的概率是3/53/10有n个人，设每个人的生日是任一天的概率为1/365.求这n(n≤365)个人的生日互不相同的概率.人任一天

此例可以作为许多问题的数学模型，比如用此公式可以得出：

“在一个有64人的班级里，至少有两人生日相同”的概率为

99.7%。np2023304050641000.4110.5070.7060.8910.9700.9970.9999997经计算可得至少两人生日相同的概率下述结果：有n个人，每个人都以相同的概率1/N(N≥n)被分在

N间房的每一间中，求指定的n间房中各有一人的概率.人房有n个旅客，乘火车途经N个车站，设每个人在每站下车的概率为1/N(N≥n)，求指定的n个站各有一人下车的概率.旅客车站某城市每周发生7次车祸，假设每天发生车祸的概率相同.求每天恰好发生一次车祸的概率.车祸天你还可以举出其它例子，留作课下练习.(4)4只至少凑成一双D={4只至少凑成一双}97321456810古典概率的性质优点直观易懂，简洁实用，可以赋予确切的概率缺点应用具有局限性；容易发生歧义；对等可能性理解的不同，可能得到悖论，如Bertrand悖论：单位圆的内部任取一弦，则弦长大于圆内接正三角形边长的概率可以是1/2,1/3,1/4.三、几何概率DΩ几何概型设Ω为试验E的样本空间，若①试验Ω的样本空间是直线上某个区间，或者面、空间上的某个区域，从而含有无限多个样本点;②每个样本点发生具有等可能性

;

则称E为几何概型。几何概率的定义设试验的每个样本点是等可能落入区域Ω上的随机点M，且D含在Ω内,则M点落入子域D(事件A)上的概率为:是区间时，表示相应的长度；注：及在是平面或空间区域时，表示相应的面积或体积．ΩΩDΩ例1

某人的表停了，他打开收音机听电台报时，已知电台是整点报时的，问他等待报时的时间短于十分钟的概率.9点10点10分钟例2(会面问题）甲、乙二人约定在晚上7点到8点之间在图书馆会面，先到者等一刻钟后即离去设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的，且二人互不影响。求二人能会面的概率。解：

以X,Y分别表示甲乙二人到达的时刻，于是

即点M落在图中的阴影部分。所有的点构成一个正方形，即有无穷多个结果。由于每人在任一时刻到达都是等可能的，所以落在正方形内各点是等可能的。0≤X≤60,0≤Y≤60015304560xy60453015M(X,Y)0

15304560二人会面的条件是：

015304560yx60453015y-x=15y-x=-15例3(蒲丰投针问题）平面上有一族平行线。其中任何相邻的两线距离都是a(a>0)

。向平面任意投一长为l(l<a)

的针，试求针与一条平行线相交的概率。解：设x是针的中点M到最近的平行线的距离，是针与此平行线的交角，投针问题就相当于向平面区域

Ω取点的几何概型。aMlxMxΩA0说明利用蒙特卡罗(MonteCarlo)法进行计算机模拟.单击图形播放/暂停ESC键退出1.均匀陀螺上，一半圆周上均匀刻上区间[0,1),另一半均匀刻上[1,3)，旋转这个陀螺，求陀螺停止时与地面接触点刻度在[0.6,2)的概率。课堂练习00.5123解：陀螺与地面接触点在整个圆周的每一点是等可能的，因此，落入区间[0.6,2)的概率应是此区间对应弧长除以圆周周长，即概率为0的事件一定是不可能事件吗？

2.两船欲停靠同一个码头,设两船到达码头的时间各不相干，而且到达码头的时间在一昼夜内是等可能的.如果两船到达码头后需在码头停留的时间分别是1小时与2小时,试求在一昼夜内，任一船到达时，需要等待空出码头的概率.解:

设船1到达码头的瞬时为x，0x<24

船2到达码头的瞬时为y，0y

<24设事件A表示任一船到达码头时需要等待空出码头．课堂练习xy2424y=xy=x+1y=x-2几何概率的性质：(3)设两两互不相容,则（可列可加性）四、主观概率

概率的相对频率的解释是一种很有用的解释，但有时它难以应用于必须估计其概率的特定的实际问题.可能没有合理的自然的“试验”能重复很多次，致使我们可以计算某种结果出现的相对次数.

例如，有什么试验能让你来估计下一个十年中唐山可能发生灾难性地震的概率呢？这里，不确定性在我们的头脑里，并非在现实之中.

统计界的贝叶斯学派认为：一个事件的概率是人们根据经验对该事件发生的可能性所给出的.

主观概率学派认为：每一个人对任何事件都持有信仰度，概率就是一个人对一个事件信仰度的表白。欲知一个人对一个事件所持的概率最好是考察他的行为，尤其是他在打赌行为中愿冒的风险。世界上并无客观概率，或至少客观概率是较不重要的一种概率概念。一个事件并无唯一的概率，每一