平行相交垂直的关系图

本文格式为Word版，下载可任意编辑——平行相交垂直的关系图平行垂直学法指导

2022届高考说明已经出炉,立体几何方面较前两年没有变化,所以线、面之间的平行、垂直仍旧是高考考察立体几何的重点,下面我们就结合概括题目来谈谈解决这类问题的方法技巧。��

如图,在正三棱柱ABCA�1B�1C�1中,D在棱BC上.�

(1)若D为BC的中点,求证：A�1B∥面ADC�1;�

(2)若CD=3BD,P为AA�1上一点,AP=λPA�1,当λ为何值时,BP∥面C�1AD.�

分析(1)此问是证明线面平行,D又为中点可以通过中位线入手用线线平行证之；又或通过面面平行证明之。(2)此问是针对把线面平行当作条件求参量λ的值,即求比例关系,可能要转化为平面几何来求,所以此题要想到线面平行的性质定理把线面转化为线线。�

证明(1)(法一)连接A�1C交AC�1于H,连接HD,�

由于H为A�1C的中点,又D为BC的中点,所以�HD∥�A�1B.�

由于HD∥A�1B,HD�面ADC�1,A�1B�面ADC�1,�

那么A�1B∥面ADC�1.�

(法二)取B�1C�1的中点E,连接BE，A�1E；�

由于BE∥DC�1,C�1D�面ADC�1,EB�面ADC�1，所以BE∥面DC�1A.�

同理：A�1E∥面DC�1A,由于BE∥面DC�1A,A�1E∥面DC�1A,A�1E∩BE=E,�

所以面BA�1E∥面DC�1A,又A�1B�面A�1BE,所以得证.�

(2)连接PC,交AC�1于H,连接HD，�

由于BP∥面C�1AD,�BP��面BPC,面BPC∩面ADC�1=HD,所以BP∥HD.�

所以BDDC=PHHC=PAC�1C=13,即λ=12.�

点拨利用线面平行的判定定理：欲证明线面平行可通过线与平面内一线平行,通过线面平行的判定定理证明,往往这样要作辅佐线，更加是中位线等。�

利用面面平行的性质：欲证明线面平行，可通过经过该线的一个平面平行我们要求证的面,当然还要通过面面平行的判定定理,但这里确定要留神面面平行的判定定理如何用。�

抓住两类定理是硬道理,当然线面平行的证明还是利用线线较好；�

综上:证明线面平行关系可以如下表示：�

如图,已知直角梯形ABCD中,�AB∥�CD,AB⊥BC,AB＝1,BC＝2,CD＝1＋3,过A作AE⊥CD,垂足为E,现将△ADE沿AE折叠,使得DE⊥EC．�

(1)求证：BC⊥面CDE；�

(2)在线段AE上找一点R,当R点得志3AR＝RE时，求证：面BDR⊥面DCB.�

分析(1)欲证明BC⊥面CDE,那么证BC垂直于该面的两相交直线即可;(2)找出一条线分外重要,由于QC⊥DB很好找,所以我们选取QC作为线面垂直的那条线。�

证明(1)由已知得：DE⊥AE,DE⊥EC,AE∩EC=E,�

所以DE⊥平面ABCE,�

所以DE⊥BC,又CE⊥BC,DE∩EC=E,�

所以BC⊥面DCE.�

(2)当R点得志3AR＝RE时,取BD的中点Q,连接AC交BR于H,�

连接HQ,由于QB=2,HB=255,�

由于在△DBR中,�cos�∠DBR=105,所以QH=305,那么有QH�2+QC�2=HC�2,所以QC⊥QH,由于QC⊥DB,QC⊥QH,DB∩QH=Q,所以QC⊥面DBR,又由于QC�面DBC,所以面DBC⊥面DBR.�

点拨证明垂直关系就三种：线线垂直,此类可通过线面垂直得到；线面垂直,通过判定定理中线线垂直；线面垂直还可以得到面面垂直,只要垂线过其中一个面即可。�

综上：证明线面垂直关系可以如下表示:�

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牛刀小试�

1.如图,在直三棱柱ABCA�1B�1C�1中,∠ACB＝90�°�,E,F,G分别是AA�1,AC,BB�1的中点,且CG⊥C�1G．�

(1)求证：CG∥平面BEF；�

�(2)求证：CG⊥平面A�1C�1G.��

�

2.如图，在四棱锥PABCD中,AB∥CD,CD=2AB,E为PC的中点.�

�(1)求证：BE∥面PAD；��

(2)AB⊥面PAD,面PBA⊥面PBD,求证：PA⊥PD.�

3.如图甲,在直角梯形PBCD中,PB∥CD,�CD⊥�BC,BC＝PB＝2CD,A是PB的中点.现沿AD把平面PAD折起,使得PA⊥AB(如图乙所示),E、F分别为BC、AB边的中点．�

(1)求证：PA⊥平面ABCD；�

(2)求证：平面PAE⊥平面PDE；�

(3)在PA上找一