同济大学高数上册知识点

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(直打版同济大学高数上册知识(版可编辑修)高等数上知识点一

函数与极（）1234

函数函数定义性质（有界、单调性、奇性、周期性；反函数、合函数、函的运算；初等函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数反双曲函数函数的连性与间断点函数f()

在续

limf(xf()xx间断点

第一类：右极限均存。可去间断、跳跃间断第二类：右极限、至有一个不存在无穷间断、振荡间断5（）11

闭区间上续函数的性有界性与最大最小值定理、零点定理、介值定理其推论。极限定义数列极限nn

0,n2

函数极限limf)xx第页共页

,当0，f()A

11左极限:

(直打版同济大学高数上册知识(版可编辑修)f(x)f(x)右极限：(limf(x)00xx0021

limf()f(x()0极限存在则夹逼准则1）2）

x(n)nn0limylimnnn

limxnn23

单调有界则单调有界数列必有极限.无穷小（）量1

定义：若

lim

0

则称为无小量;若

lim

则称为无大量。2

无穷小的：高阶无穷、同阶无穷小等价无穷小k阶无穷小Th1

~

;Th241234

~存在，则limlim求极限的法单调有界则；夹逼准则极限运算则及函数连性；两个重要限：

（无穷小换）a)

lim

x

b）

1xlim)xx

x

5a)

无穷小代（x）x~x第页共页

(直打版同济大学高数上册知识(版可编辑修b)

11xx2

2c)

x

（

x

lna

）d)

)

（

log)~a

xln

)e)

)~

x二

导数与微（）

导数1

定义：

f

)limxx

f(xf()左导数：

f)lim0xx

f(x)f右导数:

f

)limx

f(x)f)2

函数f()几何意义

在点可导f)f)f)曲线f()在点(x)0

处的切线斜率.34

可导与连的关系：求导的方123456

导数定义基本公式四则运算复合函数导链式法则隐函数求数；参数方程导第页共页

7

(直打版同济大学高数上册知识(版可编辑修)对数求导。5

高阶导数1

定义：

yddxdx2

Leibniz公式

nC

(k)v()n（）

微分1

定义：

fx)A)00

，其中A与无关。三

可微与可的关系：可可导，且2微分中值理与导数的用

)f0

)0（）

中值定理1

Rolle罗尔定理若函数

f()

满足：1）

f()[ab]

；2)

f()D(a,b

；3

f(a)fb

；2

则b),使f.Lagrange拉格朗中值定理：若数

f(

满足：1)

f()C[a,b]

；2

f()D(a,b

；则

b使ff(a)f

.3

Cauchy西中值定理若函数

f(),Fx

满足:1）

f(),()[b]

；2）

f(),FD(,b)

；3）Fx(,则

b使

f()f()fF()()F第页共页

（）（）（）

(直打版同济大学高数上册知识(版可编辑修)洛必达法则Taylor公式单调性及极值1

单调性判法：

f()C[a,b]，f()D(a,b

，则若

f

，则

f()

单调增加则若

f

，则f(x

单调减少2

极值及其定定理:a)

必要条件

f()

在导若为fx)0

的极值点，则f

)0b)

第一充分件：

f(x的邻域内可导,且f)，则①若当0x

0

时,f

当

x0

时,

，则为大值点；②0若当

xx

0

时，f

当

xx0

时，f

则极小值点;0③若在的两侧0

f

不变号，x不是极值点.0c)

第二充分件：

f()在x处二阶可导且0

)0

f

,则①若

f

0

,则为极大值点；②若0

f

0

，则x为极小0值点。3

凹凸性及判断，拐点1）()

在区间上连续,若xI,f(12

f(x)f(x)12)12

则称f()在区间I上的图形是凹的；xI,f(12称()在区间上图形是凸的

xf(x)f()12)12

，则2）判定理：f(x

在[]

上连续，(a,)

上有一阶二阶导数则第页共页

(直打版同济大学高数上册知识(版可编辑修)a）若(b),

，则f()

在[b]

上的图形凹的；b)若(,),

,则f(x在[a,]上的图形是凸的。3点:设yf()在间I

上连续，是(x)的内点果曲线f()经过点

(,f())00

时,曲线的凹凸性改变了，则称点

(,f())0

为曲线的拐点（）

不等式证明123

利用微分值定理；利用函数调性；利用极值最值）.（）

方程根的讨论12345

连续函数介值定理；Rolle定理；函数的单性极值、最；凹凸性。（）

渐近线1

铅直渐近:

f(x

，则xa为一条铅直渐近线x2

水平渐近：

limf(x

，则一条水平渐线；3

斜渐近线

lim

(x)x

lim[f(x]

存在,kx为一条斜渐近线.（）

图形描绘第页共页

(直打版同济大学高数上册知识(版可编四

不定积分（）

概念和性质1

原函数：区间上，若函数x)称为的一个原数。

F()

可导，且

Ff(),则F()2

x)不定积分在区间上，函数在区间上的不定积。

(x)

的带有任常数的原函称为34

基本积分(P188,13个公式性质（线性（）换积分法1一类换元法（微分）:

fx)]

x

f(du

u

(x2

第二类换法变量代换

f)

f)]

t

t()（）

分部积分法：

uv

（）

有理函数积分1拆2、变量代换（三角代换、倒代换、根式代换等)五

定积分（）

概念与性质：第页共页

bnbb(直打版同济大学高数上册知识(版可编辑修)bnbb1

定义：

a

f(xlim)iii2

性质:（7）性质7（分中值定理）函数

(x)

在区间[a]

上连续，则

[]

，使

fx)f()()

（平均值

f(

)

ba

f)dxb

）（）

微积分基公式（N—L公式）1

变上限积:设

(

x

f()dt，则f(x)a推广：

dx

))

f()f[

x)]x2

N-L

公式：若F(x)

为

f()

的一个原函数，则

f()dxFb)()（）

换元法和部积分1

换元法：

b

f(x

f)]

a

2

分部积分：

a

udva

a

vdu（）1

反常积分无穷积分

f()lim

t

f()

t

f(x)lim

f(x)第页共页

tt

b(直打版同济大学高数上册知识(版可编辑修)b

f()

f()dx

f()2

瑕积分：

f(x)lim

f(xdx

(为瑕点

ta

t

f(x)dxlim

t

f()

(为瑕点

t

两个重要反常积分：p1)

a

p

2)

()

b)

b1

,

六

定积分的用（）

平面图形的面积1

直角坐标

A

a

[fxfx)]dx2第10页共14页

b(直打版同济大学高数上册知识(版可编辑修)b2

极坐标：

A

[(2

)]

（）

体积1

旋转体体：a）曲边形

yf(x),a,x

轴,绕x

轴旋转而的旋转体的体积：

Vx

a

f2(dxb）曲梯形

yf(x),xxbx

轴，绕

轴旋转而的旋转体的体积：

y

ba

(x)dx

(柱壳法）2

平行截面积已知的立：

V

b

()a（）

弧长1

直角坐标

1)2

参数方程

3

极坐标：

七

微分方程第11页共14页

，设,则(x)edx(直打版同济大学高数上册知识(版可，设,则(x)edx（）

概念12

微分方程表示未知函数、未知函数的导数及自变量之间关系的方程.阶：微分程中所出现未知函数的最阶导数的阶。解:使微分方程成为恒等式的函数。通解:程的解中含任意的常数且常数的个与微分方程阶数相同。特解：确了通解中的意常数后得到解。（）

变量可分的方程g(y)f()

,两边积

()dy

f(x)（）

齐次型方程ydy)，设u,xdxdx

;或

dxdy

dxdv)vydy（）

一阶线性分方程dydx

()y)用常数变法或用公式

P

（）

可降阶的阶微分方程1、

(

()

，两边积次；2、

yy

(不显含

)，令

y

,则

y

；第12页共14页

*rxr(直打版同济大学高数上册知识(版可编*rxr3、

y

(不显含令

y

，则

dpdy（）

线性微分程解的结构1、

y1

是齐次线方程的解，

Cy122

也是；2、yy1

是齐次线方程的线性关的特解,则

Cy122

是方程的解；3、

2

*

为非齐次程的通解，其中

y1

为对应齐方（）

程的线性关的解，y非齐次方程的特解.常系数齐次线性微分方程二阶常系齐次线性方:

r2特征方程特征根

，特征根

rr1通

解实根

rr1

2

y1