参数方程的概念圆的参数方程

参数方程的概念圆的参数方程第一页，共二十八页，2022年，8月28日1、导入新课同学们，请回答下面的方程各表示什么样的曲线：例：2x+y+1=0直线

抛物线椭圆？（t为参数）第二页，共二十八页，2022年，8月28日（1）在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数，即并且对于t的每一个允许值，由上述方程组所确定的点M（x,y）都在这条曲线上，那么上述方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数叫做参变数，简称参数。参数方程的参数可以是有物理、几何意义的变数，也可以是没有明显意义的变数。（2）相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的普通方程。第三页，共二十八页，2022年，8月28日①并且对于的每一个允许值,由方程组①所确定的点P(x,y),都在圆O上.

5o思考1：圆心为原点，半径为r的圆的参数方程？我们把方程组①叫做圆心在原点、半径为r的圆的参数方程，是参数.观察1第四页，共二十八页，2022年，8月28日观察2(a,b)r第五页，共二十八页，2022年，8月28日（3）参数方程与普通方程的互化x2+y2=r2注：1、参数方程的特点是没有直接体现曲线上点的横、纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的横、纵坐标与参数之间的关系。

2、参数方程的应用往往是在x与y直接关系很难或不可能体现时，通过参数建立间接的联系。第六页，共二十八页，2022年，8月28日已知曲线C的参数方程是

(1)判断点（0，1）,(5,4)是否在Ｃ上.

(2)已知点（６，a）在曲线Ｃ上，求a.第七页，共二十八页，2022年，8月28日例1、已知圆方程x2+y2+2x-6y+9=0，将它化为参数方程。解：x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程，（x+1）2+（y-3）2=1，∴参数方程为(θ为参数)第八页，共二十八页，2022年，8月28日练习1：

1.填空：已知圆O的参数方程是(0≤＜2)⑴如果圆上点P所对应的参数，则点P的坐标是

第九页，共二十八页，2022年，8月28日A的圆，化为标准方程为（2，-2）1化为参数方程为把圆方程0142)2(22=+-++yxyx第十页，共二十八页，2022年，8月28日2、参数方程化为普通方程例2第十一页，共二十八页，2022年，8月28日yxo(1,-1)代入消元法第十二页，共二十八页，2022年，8月28日oy三角变换消元法第十三页，共二十八页，2022年，8月28日步骤：1、写出定义域（x的范围）2、消去参数(代入消元，三角变换消元)参数方程化为普通方程的步骤在参数方程与普通方程的互化中，必须使x,y前后的取值范围保持一致。注意：第十四页，共二十八页，2022年，8月28日练习2、将下列参数方程化为普通方程：(1)(2)(3)x=t+1/ty=t2+1/t2（1）（x-2）2+y2=9（2）y=1-2x2（-1≤x≤1）（3）x2-y=2（X≥2或x≤-2）步骤：（1）消参；（2）求定义域。第十五页，共二十八页，2022年，8月28日第十六页，共二十八页，2022年，8月28日3、普通方程化为参数方程第十七页，共二十八页，2022年，8月28日3、普通方程化为参数方程1.如果没有明确x、y与参数的关系，则参数方程是有限个还是无限个？2.为什么（1）的正负取一个，而（2）却要取两个？如何区分？请同学们自学课本例4，思考并讨论：第十八页，共二十八页，2022年，8月28日第十九页，共二十八页，2022年，8月28日第二十页，共二十八页，2022年，8月28日（1）写出定义域（x的范围）（2）消去参数(代入消元，三角变换消元）1、参数方程化为普通方程的步骤在参数方程与普通方程的互化中，必须使x,y前后的取值范围保持一致。注意：2、普通方程化为参数方程的步骤把含有参数等式代入即可第二十一页，共二十八页，2022年，8月28日xMPAyO解:设M的坐标为(x,y),∴可设点P坐标为(4cosθ,4sinθ)∴点M的轨迹是以(6,0)为圆心、2为半径的圆。由中点公式得:点M的轨迹方程为x=6+2cosθy=2sinθx=4cosθy=4sinθ

圆x2+y2=16的参数方程为2例3.

如图,已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点,

点A是x轴上的定点,坐标为(12,0).当点P在圆上运动时,线段PA中点M的轨迹是什么?观察3参数方程的应用第二十二页，共二十八页，2022年，8月28日1法2:设M的坐标为(x,y),∴点M的轨迹是以(6,0)为圆心、2为半径的圆。由中点坐标公式得:

点P的坐标为(2x-12,2y)∴(2x-12)2+(2y)2=16即M的轨迹方程为(x-6)2+y2=4∵点P在圆x2+y2=16上xMPAyO例3.

如图,已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点,

点A是x轴上的定点,坐标为(12,0).当点P在圆上运动时,线段PA中点M的轨迹是什么?第二十三页，共二十八页，2022年，8月28日例4、已知点P（x，y）是圆x2+y2-6x-4y+12=0上动点，求（1）x2+y2

的最值，（2）x+y的最值，（3）P到直线x+y-1=0的距离d的最值。解：圆x2+y2-6x-4y+12=0即（x-3）2+（y-2）2=1，用参数方程表示为由于点P在圆上，所以可设P（3+cosθ，2+sinθ）（1）x2+y2=(3+cosθ)2+(2+sinθ)2

=14+4sinθ+6cosθ=14+2sin(θ+ψ).(其中tanψ=3/2)第二十四页，共二十八页，2022年，8月28日∴x2+y2

的最大值为14+2，最小值为14-2。(2)x+y=3+cosθ+2+sinθ=5+sin（θ+）∴x+y的最大值为5+，最小值为5-。(3)显然当sin（θ+）=1时，d取最大值，最小值，分别为，。第二十五页，共二十八页，2022年，8月28日小结:1、圆的参数方程2、参数方程与普通方程的概念3、圆的参数方程与普通方程的互化