复杂应力状态强度问题

复杂应力状态强度问题第一页，共四十二页，2022年，8月28日——任意斜截面上应力计算公式——平面应力状态的主应力计算公式——平面应力状态的主方向计算公式二向应力状态：第二页，共四十二页，2022年，8月28日三向应力状态：的求取；若已知一个主应力，求其余两主应力，其方法与二向应力计算相同。广义Hooke定律：第三页，共四十二页，2022年，8月28日求图示应力状态的主应力和最大剪应力（应力单位为MPa）例：解：xy

求xy平面内的最大最小正应力

比较得三个主应力的大小为：最大剪应力的大小为：第四页，共四十二页，2022年，8月28日例：求图示应力状态的主应力和最大剪应力（应力单位为MPa）。xy解：求xy平面内的最大最小正应力比较得三个主应力的大小为：最大剪应力的大小为：第五页，共四十二页，2022年，8月28日第十四章复杂应力状态强度问题一、强度理论二、四种常用强度理论三、组合受力时的强度设计（1）拉伸（压缩）与弯曲的组合；（2）弯曲与弯曲的组合；（3）圆轴扭转与弯曲的组合；基本内容：第六页，共四十二页，2022年，8月28日§14.1引言一、材料破坏（失效）的基本形式试件典型破坏形式：低碳钢拉伸滑移线铸铁拉伸破坏断口铸铁压缩破坏断口铸铁的扭转破坏断面低碳钢的扭转破坏断面不同材料在同一种应力状态下，破坏形式不同；如低碳钢的拉伸与铸铁的拉伸破坏。同一材料在不同应力状态下，破坏形式不同；如，铸铁的拉伸与压缩破坏。材料破坏基本形式：（1）——塑性变形不明显情况下的突然断裂；脆性断裂（2）——明显的塑性变形，材料失去抵抗变形能力。塑性屈服如：铸铁的拉伸、扭转；如：低碳钢的拉伸、压缩、扭转等通常塑性材料——呈现塑性屈服破坏脆性材料——呈现脆性断裂破坏第七页，共四十二页，2022年，8月28日二、强度理论概念※材料本身的属性※危险点所处应力状态构件强度破坏的因素◎单向应力状态、纯剪切的强度条件,既强度表达式为

◎它们应力状态较为简单由以实验可直接得到◎复杂应力状态下的强度表达式，难以用实验的方法得到。人们在对材料破坏现象观察和分析的基础上，提出对材料破坏原因的各种假说及相应的判别式，统称为强度理论。第八页，共四十二页，2022年，8月28日

§14.2、3四种常用强度理论强度理论分类：（1）解释断裂破坏原因的强度理论（2）解释屈服破坏原因的强度理论（第一、二强度理论）（第三、四强度理论）1.最大拉应力理论（第一强度理论）该理论认为无论材料内各点的应力状态如何，只要最大拉应力σ1达到单向拉伸断裂时的极限应力σb，材料即发生脆性断裂破坏。引起材料脆性断裂破坏的原因：危险点的最大拉应力σ1

（2）断裂准则：（1）理论的内容：（3）强度条件：（a）（14-1）其中：（4）适用性：脆性材料：铸铁、玻璃、岩石等，应力状态：①单、二向拉伸，②拉-压二向应力状态；（5）局限性：没有考虑σ2、σ3的影响；不适用于主应力中没有拉应力的情况。（17世纪，Galileor提出;Lame、Rankine修正）第九页，共四十二页，2022年，8月28日2.最大伸长线应变理论（1）理论的内容：引起材料脆性断裂破坏的原因：最大伸长线应变即，认为无论什么应力状态，只要最大伸长线应变ε1达到单向拉伸断裂时的极限值ε0，材料即发生脆性断裂破坏。（2）断裂准则：由广义Hooke定律上述断裂准则变为：（e）（3）强度条件：（14-2）其中：（4）适用性：（第二强度理论）石料、混凝土等脆性材料：单向受压；铸铁：拉—压二向应力，且压力较大时；（5）局限性：石料、混凝土加载面有润滑剂石料、混凝土加载面无润滑剂不适用于二向受压的情形；不能证明二向受拉比单向受拉安全的情况；（而与第一强度理论符合较好）（1682年，E.Mariotto,Navier提出;19世纪，Saint-Vanant.修正）第十页，共四十二页，2022年，8月28日与第一强度理论比较：两者结果相差不多；有些情况更条符合第一强度理论；第一强度理论的强度条件简洁，使用方便。3.最大切应力理论（第三强度理论）注：第一、二强度理论均属以脆性断裂为标志的强度理论，主要适用于脆性材料。（1）理论的内容：引起材料屈服破坏的原因：最大切应力τmax

即，认为无论什么应力状态，只要最大切应力τmax达到与材料性质有关的某一极限值时，材料即发生屈服破坏。（2）屈服准则：单向拉伸屈服时，45°斜面上最大切应力任意应力状态下，最大切应力故屈服准则为：即：（c）（3）强度条件：（14-3）其中：第十一页，共四十二页，2022年，8月28日（4）适用性：比较圆满地解释了由于屈服引起的破坏现象。如：低碳钢拉伸沿45°方向的滑移线；其他塑性材料屈服破坏时最大切应力接近于某一常量等。（5）局限性：忽略了σ2对材料强度的影响；二向应力状态下，结果偏安全。4.形状改变比能理论（第四强度理论）（1）理论的内容：引起材料屈服破坏的原因：形状改变比能uf

弹性体因形状改变而引起的单位体积应变能即，认为无论什么应力状态，只要形状改变比能uf达到与材料性质有关的某一极限值时，材料即发生屈服破坏。（2）屈服准则：单向拉伸屈服时，任意应力状态时，故屈服准则为：（e）（1885年，E.Beltrami提出;1904年，M.T.Nuber修正）第十二页，共四十二页，2022年，8月28日（3）强度条件：（14-4）其中：（4）适用性：对塑性材料的屈服破坏，比第三强度理论更符合实验结果。（5）局限性：三向等拉情况不符合；表达式没有第三强度理论简洁、使用方便，工程上常用第三强度理论。第十三页，共四十二页，2022年，8月28日二、强度条件的统一表达形式单向应力状态的强度条件：类似单向应力状态情况，将一般情况下的强度条件写成：——称为相当应力对应于四种强度理论σr表达式：三、强度理论的应用1.强度理论的选取脆性材料的脆性断裂破坏：第一、二强度理论；塑性材料的塑性屈服破坏：第三、四强度理论。常温静载条件下无论脆性还是塑性材料三向等拉：第一、二强度理论；三向等压：第三、四强度理论。第十四页，共四十二页，2022年，8月28日2.复杂应力状态强度计算步骤（1）确定危险点及其单元体，计算σ1、σ2、σ3；（2）选用适当的强度理论，计算σr；（3）确定[σ]，并与σr比较。第十五页，共四十二页，2022年，8月28日§14.4.1组合变形与叠加原理组合变形：构件受力作用后，产生两种或两种以上基本变形的组合。组合变形的形式：○拉伸或压缩与弯曲的组合；□拉伸或压缩与扭转的组合；□弯曲与扭转的组合；○弯曲与弯曲的组合（斜弯曲或双向弯曲）；□拉伸或压缩、扭转、弯曲的组合。第十六页，共四十二页，2022年，8月28日◎组合变形的分析方法：（1）将作用于构件的载荷分解，得到与原载荷静力等效的几组载荷，使构件在每一组载荷作用下只产生一种基本变形；（2）分别计算构件在每一组产生基本变形载荷下的内力、应力、变形；（3）将各种基本变形载荷下的应力、变形叠加得总的应力、变形；（4）根据强度理论作强度计算。必要时进行刚度分析计算。理论基础：在小变形情况下，材料处于线弹性状态，叠加原理成立。第十七页，共四十二页，2022年，8月28日§14.4.2拉伸或压缩与弯曲的组合（书§11.8）将P分解产生轴向拉伸产生弯曲变形NMz轴力引起截面上的正应力：任意截面的应力弯矩引起截面上的正应力：总应力：第十八页，共四十二页，2022年，8月28日NMz危险截面的应力强度条件：第十九页，共四十二页，2022年，8月28日例简易起重机，最大吊重P=12kN，[σ]=100MPa。试为AB梁选择适当的工字钢。解求梁的受力，作出内力图，确定危险截面；ABCMzN危险截面：C点左侧截面可先不考虑轴力，只按弯曲强度确定抗弯截面系数查型钢表，16＃工字钢：再按弯曲与压缩的组合变形校核强度第二十页，共四十二页，2022年，8月28日ABCMzN再按弯曲与压缩的组合变形校核强度最大应力略小于许用应力，说明所选工字钢是合适的。第二十一页，共四十二页，2022年，8月28日例压力机框架如图，P=11kN，b=250mm，材料为铸铁，[σt]=30MPa，[σc]=120MPa，立柱横截面形状如图。试校核框加的强度。（偏心拉伸）解将立柱载荷向立柱轴线简化，立柱为弯曲与拉伸的组合变形。截面的几何参数：分别计算各种载荷下的应力，并叠加故框架满足强度要求。第二十二页，共四十二页，2022年，8月28日例图示斜梁，在跨中受P=25kN的力作用，试求梁内的最大压应力。解将P分解由梁的平衡可求得：梁内力图AC段：压缩与弯曲组合变形；BC段：只弯曲。——C为危险截面第二十三页，共四十二页，2022年，8月28日PPh540例图示杆件，P=12kN，[σ]=100MPa，应力集中影响不计，求槽口的允许深度h。第二十四页，共四十二页，2022年，8月28日cdzycdzy二、偏心压缩（以矩形截面为例）：abAB截面上任意点应力截面上最大拉应和最大压应力任意截面上内力：第二十五页，共四十二页，2022年，8月28日§14.4.3弯曲与弯曲组合变形（书§11.7）zC1.固定端A截面上弯矩：2.截面上任意一点的正应力：y总的正应力：第二十六页，共四十二页，2022年，8月28日DA3.截面上最大拉应力和最大压应力4.截面中性轴位置（方程）（以下不讲）设y0、z0为中性轴上的点，则有——中性轴的直线方程中性轴的直线方程的斜率：P中性轴一般地，第二十七页，共四十二页，2022年，8月28日例矩形截面木檩(lin)条，载荷及截面尺寸如图。弯曲许用应力[σ]=12MPa，弹性模量E=9GPa，容许挠度[f]=l/200，试校核檩条的强度。解截面几何性质：内力（弯矩）：强度校核：满足强度要求。第二十八页，共四十二页，2022年，8月28日§14.4.4扭转与弯曲的组合1.内力分析（限于圆截面轴）考虑轴AB的变形：将P等效移到B点Pm=Pa——引起弯曲变形——引起扭转变形TxPaMx2Pa危险截面：A截面2.应力分析与强度计算K1K2危险点：K1、K2危险点K1的应力状态：第二十九页，共四十二页，2022年，8月28日危险点主应力：按第三强度理论，强度条件为代入得TxPaMx2Pa（14.5）将其代入式（14.5），有圆轴的强度条件：由第三强度理论得到的圆轴强度条件K1K2圆轴弯扭组合变形危险点相当应力：第三十页，共四十二页，2022年，8月28日TxPaMx2Pa将（14.6）将代入由第四强度理论得到的圆轴强度条件K1K2按第四强度理论，强度条件为代入，得即，危险点的相当应力：第三十一页，共四十二页，2022年，8月28日例空心圆轴的外径D=200mm，内径d=160mm。在端部有集中力P=60kN，作用点为切于圆周的A点。[σ]=80MPa，试用第三强度理论校核轴的强度。解Pl=500mmAPAPl=500mmAm将力P简化至截面形心：作出内力图，确定危险截面；TxMx危险点：K1、K2K1K2空心圆轴的抗弯截面系数：第三十二页，共四十二页，2022年，8月28日Pl=500mmAPAPl=500mmAmTxMxK1K2按第三强度理论，其相当应力：该圆轴满足强度要求。若按第四强度理论，其相当应力注：第三十三页，共四十二页，2022年，8月28日例直径d=20mm的圆截面水平直角折杆，受铅垂力P=0.2kN作用，已知［σ］=170MPa。试用第三强度理论确定a的许可值。解ABC分析BC部分：只有弯曲变形；AB部分：既有弯曲变形，又有扭转变形；内力图：M图Pa2PaT图Pa危险截面：A轴的抗弯截面系数：圆轴弯扭组合变形强度条件（按第三强度理论）：a的许可值：第三十四页，共四十二页，2022年，8月28日例圆截面水平直角折杆，直径d=60mm，垂直分布载荷q=0.8kN/m;［σ］=80MPa。试用第三强度理论校核其强度。第三十五页，共四十二页，2022年，8月28日传动轴的强度分析：载荷与结构简化；AB段：只有扭转变形；BE段：扭转加双向弯曲；EC段：双向弯曲；作内力图，确定危险截面扭矩：xz平面内的弯矩：xy平面内的弯矩：——E截面对圆截面轴，任一过形心纵向平面为对称平面，因而，可My、Mz