均方分布介绍

均方分布介绍第一页，共二十四页，2022年，8月28日正态分布密度的性质

(1)在x=处取到最大值故f(x)以μ为对称轴，令x=μ+c,

x=μ-c(c>0),

分别代入f(x),

可得且f(μ+c)=f(μ-c)f(μ+c)≤f(μ),f(μ-c)≤f(μ)x=μσ为

f(x)

的两个拐点的横坐标.(2)正态分布的密度曲线位于x轴的上方,且关于x

=对称，对密度函数求导：=

0，

(3)密度曲线

y

=

f(x)

有拐点即曲线

y

=

f(x)

向左右伸展时,越来越贴近

x

轴.当x

→

∞时，f(x)→

0+,决定了图形中峰的陡峭程度若固定，改变

的值，反之亦然，则密度曲线左右整体平移.

(4)f(x)以x轴为水平渐近线;正态分布N(

,

2

)的密度函数图形的特点:两头低,中间高,左右对称的

“峰”

状若固定

，改变

的值，决定了图形的中心位置

决定图形的中心位置;

第二页，共二十四页，2022年，8月28日大量的随机变量都服从或者近似服从正态分布.但每个因素所起的作用不大.经济学中的股票价格、产品的销量等等，都服从或近似服从正态分布.正常条件下各种产品的质量指标，如零件的尺寸；纤维的强度；射击目标的水平或垂直偏差，测量误差，

如某地的年降雨量,某地区成年男子的身高、体重，农作物的产量，小麦的穗长、株高；生物学中同一群体的形态指标，电子元器件的信号噪声、电压、电流；有很多分布还可以用正态分布近似.而正态分布自身还有很多良好的性质.若影响某一数量指标的随机因素很多，每一因素独立，服从正态分布在自然现象和社会现象中,第三页，共二十四页，2022年，8月28日若随机变量X～N(

,

2

)，则正态分布的分布函数X的分布函数下面我们介绍一种最重要的正态分布

——标准正态分布

=0,

=1的正态分布称为标准正态分布.其密度函数和分布函数常用

(x)

和

(x)表示：可查表得其值

！第四页，共二十四页，2022年，8月28日标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.求P(X

<

0.

5),P(X

>

2.

5)及Y

~N(0,1)设X～N(

,

2

)，P(-1.64

X

<

0.82).解P(X

>

2.

5)=

1-(2.

5)

P(X

<

0.

5)=F(0.

5)查表得=0.6915;=1

-

0.

9938=0.

0062;P(-1.64

X

<

0.82)

=(0.

82)-

(-1.

64)

=(0.

82)-[1-

(1.

64)]=0.7434;=

即若X～N(

,

2

)

=

只需将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决正态分布的概率计算问题.例7(P64.例20)设X～N(0

,1

)，

！第五页，共二十四页，2022年，8月28日

X的概率密度为其中和2都是常数,任意,>0整个概率密度曲线都在

x轴的上方以μ为对称轴在

x=μ处达到最大值f(

x)以

x轴为渐近线

x=μσ为f(

x)的两个拐点的横坐标正态分布通过线性变换可转化为标准正态分布最重要的正态分布——标准正态分布X

～N(0,1)正态分布X

～N(

,

2

)！第六页，共二十四页，2022年，8月28日并求该地区明年

8

月份降雨量超过250mm的概率.例8(P65.例22)

某地区8月份降雨量

X

服从

=185mm

,

=

28mm

的正态分布，∵

X～N(185

,282)，写出X的概率密度，解所求概率为P(X

>

250)

=1-

P(X

250)

=1-(2.

32)

=1-

0.

9898=0.0102.再看几个应用正态分布的例子我们已经看到，当n很大，p接近0或1时，二项分布近似泊松分布;可以证明，如果n很大，而p不接近于0或1时，二项分布近似于正态分布.第七页，共二十四页，2022年，8月28日例9

公共汽车车门高度是按男子与车门顶头碰头机会在

0.01以下来设计的.问门高度应如何确定?解

设车门高度为hcm,按设计要求应有P(X≥h)≤0.01或P(X<h)≥0.99，下面求满足上式的最小

h：若男子身高X～N(170,62),∵X～N(170,62),查表得(2.33)

=

0.9901>0.99，

h=170+13.98184.设计车门高度为184mm时，可使男子与车门顶碰头机会不超过0.01.若X～N(

,

2

)时，要求满足P(X

>x0)=p

的

x0：

P(X

>x0)=p

第八页，共二十四页，2022年，8月28日如果某考生得48分,求有多少考生名列该考生之前?已知1987年全国普通高校统考物理成绩

XN(42,36),这表明有16%的考生成绩超过48分，例10

(确定超前百分位数、排定名次)解由条件知即求P(X

>

48)，查表可知即84%的考生名列该考生之后.=

1

-

(1),第九页，共二十四页，2022年，8月28日即成绩高于甲的人数应占考生的16.9%,对于录取考试人们最关心的是①自己能否达到录取分数线？②自己的名次？某公司招工300名(正式工280,临时工20名),例11(预测录取分数和考生名次)

解

166,∴

X

N(166,932)，(1)(预测分数线)

考生甲得256分,问他能否被录用？如录用能否被录为正式工？考后由媒体得知：考试总平均成绩为166分,360分以上的高分考生有31人.有1657人参加考试,考试满分为400分.高于此线的考生频率为300/1657∵高于360分的考生频率为(2)(预测甲的名次)当X=256时,P(X>256)这表明高于256分的频率应为0.169,排在甲前应有甲大约排在283名.故甲能被录取,但成为正式工的可能性不大.∴

P(X>360)设考生成绩为X,最低分数线为

x0,第十页，共二十四页，2022年，8月28日类似计算可得，=

0.

9974

例12解求

P(|X-|

<

k)k=1,2,3.

P(|X-|

<

3)

=

P(

-

3

<

X<

+

3

)这表明

X的取值几乎全部集中在区间[-

3,

+3]内，这在统计学上称作

3准则(三倍标准差原则).超出这个范围的可能性不到0.3

%

，从而可以忽略不计.为应用方便，下面引入标准正态分布分位数的概念：(P64.例21)

设X～N(

,

2

)，第十一页，共二十四页，2022年，8月28日由三

原则,可认为X落在(-3,3)内,

(x)x-3

3若某校有200名初一学生,按能力分成

5

组参加某项测验,求各组分别应有多少人?例13(按能力分组)

学生学习能力一般服从正态分布,解设学习能力XN(0,1),由三

原则,则每组应占6/5的范围,查表可知由对称性可知A组和E

组应有200×0.03458≈7(人),B组和D组应有200×0.23837≈47(人),C

组应有200-47×2-7×2=92(人).现分成组距相同的五组A,B,C,D,E(如图),-1.8

-0.6

0.61.8A

BCD

E为应用方便，更一般地可以建立标准正态分布分位数的概念：

第十二页，共二十四页，2022年，8月28日则称满足等式

P(X>u

)

=

的数

u

为标准正态分布的上侧

分位数；定义4(P66.定义14)设X～N(0

,1

)，0<<1,P(X

>u

)=1-P(Xu

)称满足等式

P(|X|>u/2

)

=

的数

u/2

为标准正态分布的双侧

分位数；

(x)O

xu

(x)O

x

/

2

/

2-u/2u/2=，

=1-(u)

(u)=

1-

，

可查表得值类似可得

(u/2

)=

1-

/2

，

若X～N(

,

2

)时，要求满足

P(X

>x0

)=

的

x0

：(u)=

1-

u

第十三页，共二十四页，2022年，8月28日已知圆轴截面直径d

的分布，求截面面积A=

的分布.§4随机变量函数的分布第十四页，共二十四页，2022年，8月28日再如,求功率

W=V2/R

(R为电阻）的分布等.已知t=t

0

时刻噪声电压V的分布,0V在实际中，人们常常对随机变量

X

的函数Y=g(X)所表示的随机变量

Y

更感兴趣

设随机变量X

的分布已知,又Y=g(X)

(设g是连续函数)无论在实践中还是在理论上都是重要的如何由X

的分布求出Y

的分布？通过实例找方法第十五页，共二十四页，2022年，8月28日例1(P67例24)

(X取某值与Y取其对应值是相同的事件,两者的概率应相同)一、离散型随机变量函数的分布解

Y=2X-1-3-1135pk1/101/52/51/51/10则Y=g(

X

)的分布列为

X取值分别为-2,-1,

0,

1,

2时,Y=2X+1对应值为-3,-1,

1,

3,

5.求Y=2X+1,Y=X

2

的分布列.

XY=X

2-2

4-1

10

01

1

2

4X

-2-1

012pk1/10

1/52/51/51/10-2,2

4-1,1

10

0

Y=X

2

014pk2/5

2/51/5一般地，离散型随机变量X的分布列为Xx1

x2

…

xn…pkp1

p2

…

pn…Y=g(X)g(x1)

g(x2)

…

g(xn)

…pkp1

p2

…

pn

…将它们对应的概率相加后和并成一项即可若g(xk)中有相等值,第十六页，共二十四页，2022年，8月28日则FY(y)=P(Y

y)解设Y的分布函数为FY(y)，例2(P69例25)设X

具有概率密度求Y=-2X

+

8的概率密度.于是Y的概率密度为二、连续型随机变量函数的分布注意到0

<x<4时，即0

<

y

<

8时，此时②①=P(-2X+8

y),第十七页，共二十四页，2022年，8月28日设X具有概率密度求导可得当y

>

0时,注意到Y

=

X

2

0，故当y

0时，FY

(

y)=0;

解

设Y和X的分布函数分别为FY(y)和

FX(x)，例3则Y=X

2的概率密度为②①Y服从自由度为

1的分布求Y=X

2

的概率密度.(P70

例26)第十八页，共二十四页，2022年，8月28日从上述两例中可看到，在求P{Yy}的过程中,关键是第一步中:设法从{

g(X)

y

}中解出X,

从而得到与

{

g(X)y

}等价的关于

X的不等式.用代替{X

2

y}即利用已知的

X

的分布,求出

X

的函数的分布用代替{

-2

X

+

8

y

}求连续型随机变量的函数的分布的常用方法如例2中,如例3中,定理第十九页，共二十四页，2022年，8月28日

则

Y=g(X)是一个连续型随机变量,其概率密度为又y=g(x)处处可导,且有g

(x)>0

(或恒有g

(x)<0),类似可证g

(x)<0时,定理的证明与前面的解题思路完全类似.设连续型随机变量

X具有概率密度fX(x),定理(P71

Th2.4)下面求Y的分布函数FY(y):

证由于g

保号

h(

y)是g(x)

的反函数综合以上即有结论成立.abab第二十页，共二十四页，2022年，8月28日试证X的线性函数

Y=aX+b(a≠0)也服从正态分布.证

X的概率密度为例4(P72例27)

设随机变量X～N(,2),显然y

=

g(x)

=

a

x+b可导且g

=a

保号Y=aX+b的概率密度为由定理知∴Y=aX+b～(a

+b,(|a|)2

)即注取,①验证函数可导且单调②求反函数及其导数④

代入定理公式即得函