大数定理和中心极限定理

大数定理和中心极限定理第一页，共五十二页，2022年，8月28日6.1

大数定理

学校有10000个学生，平均身高为a；若随意观察1个学生的身高X1，则X1与a可能相差较大。若随意观察10个学生的身高X1,

X2,…,

X10，则10个数据的均值(X1+X2+…+X10)/10与a较接近；若随意观察100个学生的身高X1,

X2,…,

X100，则100个数据的均值(X1+X2+…+X100)/100与a更接近；若随意观察n(n＜10000)个学生的身高X1,

X2,…,

Xn，则n个数据的均值(X1+X2+…+Xn)/n，随着n的增大而与a接近。第二页，共五十二页，2022年，8月28日定义设X1，X2，…

，Xn,…是随机变量序列，如果存在一个常数序列{an}，对，有则称随机变量序列{Xn}服从大数定律。第三页，共五十二页，2022年，8月28日定理1

(辛钦大数定理)

设X1,

X2,…,

Xn…是独立同分布的随机变量，记它们的公共均值为a，又设它们的方差存在，并记为2，随机变量的频率为，则对任意给定的＞0，有定理1的意义：随着n的增大，依概率意义越来越接近a；而不接近a的可能性越来越小。

(该定理的证明需要用契比雪夫不等式。）第四页，共五十二页，2022年，8月28日6.1.1马尔科夫不等式若X是只取非负值的随机变量，则对任意常数>0，有证明

第五页，共五十二页，2022年，8月28日6.1.2契比雪夫不等式若D(X)存在，则对任意常数>0，有证明第六页，共五十二页，2022年，8月28日定理1的证明：第七页，共五十二页，2022年，8月28日6.1.3伯努利大数定理(频率收敛于概率)

设pn是n重伯努利试验中事件A出现的频率(pn=Xn/n)，在每次试验中P(A)=p是常数，设Xn~B(n，p)，其中n=1,2,…，(0＜p＜1)则对任意正数＞0，有伯努利大数定理的意义：随着n的增大，依概率意义讲，频率pn越来越接近概率p，而pn不接近p的可能性越来越小。但不能说：。因为可能有pnp

情形(虽然这些例外情形出现的概率趋于0)。第八页，共五十二页，2022年，8月28日证明：第九页，共五十二页，2022年，8月28日6.2中心极限定理设X1,

X2,…,

Xn

…是一系列随机变量，通常把论证和函数X1+X2+…+Xn的分布收敛于正态分布的这类定理叫做“中心极限定理”。定理2(莱维－林德伯格(Levy-Lindberg)定理)、

(独立同分布的中心极限定理)

设X1,

X2,…,

Xn…是独立同分布的随机变量，它们有相同的均值E(Xi)=a，和相同的方差为D(Xi)=2(0<<+),则对任意实数x，有第十页，共五十二页，2022年，8月28日(证明略)说明：和函数Yn=X1+X2+…+Xn

E(Yn)=E(X1)+E(X2)+…+E(Xn)=naD(Yn)=D(X1)+D(X2)+…+D(Xn)=n2

将Yn“标准化”：“标准化”后的和函数的分布函数Fn(x):第十一页，共五十二页，2022年，8月28日

和函数X1+X2+…+Xn在“标准化”后的分布函数Fn(x)，随着n的增大，Fn(x)逐渐趋向于标准正态分布函数。

值得注意的是，每个Xi的概率分布可以是未知的，不一定是正态分布。定理2的意义：若有无数多种因素X1,

X2,…,

Xn

…对事物产生影响，每个因素的影响都很小，所有这些因素的综合影响可认为是Y=X1+X2+…+Xn+…,则这些因素综合影响的结果呈现出正态分布。所以在自然界中很多问题都可用正态分布研究。第十二页，共五十二页，2022年，8月28日定理2的等价形式1}{Xn}独立同分布，2)DXn<∞。则当n较大时，第十三页，共五十二页，2022年，8月28日例6-1

某保险公司对一种电视机进行保险，现有3000个用户，各购得此种电视机一台，在保险期内，这种电视机的损坏率为0.001，参加保险的客户每户交付保险费10元，电视机损坏时可向保险公司领取2000元，求保险公司在投保期内:(１)亏本的概率；(２)获利不少于10000元的概率。解第十四页，共五十二页，2022年，8月28日第十五页，共五十二页，2022年，8月28日(１)亏本的概率：第十六页，共五十二页，2022年，8月28日(２)获利不少于10000元的概率：第十七页，共五十二页，2022年，8月28日定理3(棣莫弗-拉普拉斯(DeMoivre－Laplace)定理)

设X1,

X2,…,

Xn

…是独立同分布(0-1分布)的随机变量，P(Xi=1)=p,P(Xi=0)=1-p，(0＜p＜1)，i=1,2,…则对任意实数x，有

证明由于E(Xi)=p,D(Xi)=p(1-p)i=1,2,….代入定理2的公式，a=p,=有定理3是定理2的特例，定理3用正态分布逼近两项分布。第十八页，共五十二页，2022年，8月28日

设Yn是n重伯努利试验中事件A出现的次数，在每次试验中P(A)=p是常数(0＜p＜1),Yn～B(n,p)。设Xi是第i次试验时A出现的次数，则Xi服从0-1分布，

P(Xi=1)=p,P(Xi=0)=1-p,

(0＜p＜1),i=1,2,…Yn=X1+X2+…+Xn,所以定理3的另一种描述方式：定理3的另一说法(棣莫弗-拉普拉斯定理)

设Yn是n重伯努利试验中事件A出现的次数，在每次试验中P(A)=p是常数(0＜p＜1),Yn～B(n,p)，则对任意实数x，有第十九页，共五十二页，2022年，8月28日

这说明：若Yn服从二项分布B(n,p)，计算P(t1≤Yn≤t2)可用正态分布近似计算。(即Xn～B(n,p)，则当n较大时，)。若X1,

X2,…,

Xn…是独立的0-1分布的随机变量，

P(Xi=1)=p,P(Xi=0)=1-p,

(0＜p＜1),i=1,2,…

计算P(t1≤X1+X2+…+Xn≤t2)可用正态分布近似计算。

对此查正态分布表第二十页，共五十二页，2022年，8月28日当n较小时，误差较大，公式可修正为

(对上式查正态分布表)第二十一页，共五十二页，2022年，8月28日例6-2

设某地区原有一家小电影院，现拟筹建一所较大的电影院。根据分析，该地区每天平均看电影者约有n=1600人，预计新电影院开业后，平均约有3/4的观众将去新电影院。现计划其座位数，要求座位数尽可能多，但“空座达到200或更多”的概率不能超过0.1，问设多少座位为好？解设每天看电影的人编号1,2,3,…,1600,且令

假设各观众去不去电影院是独立选择的。第二十二页，共五十二页，2022年，8月28日则X1,

X2,…,

X1600是独立的0-1分布的随机变量。设座位数是m，按要求有

P(X1+X2+…+X1600≤m-200)≤0.1要在此条件下m最大，就是在上式取等号时。第二十三页，共五十二页，2022年，8月28日解法2设n=1600人中去新影院的人数为X，每个观众选择去新影院的概率为3/4，则X～B(1600,3/4)。设座位数是m，按要求有:P(X≤m-200)≤0.1要在此条件下m最大，就是在上式取等号时。第二十四页，共五十二页，2022年，8月28日例6-3(合作问题)

设有同类设备200台，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是0.01，并且一台设备的故障可由一个人来处理，试求由4个人共同负责维修200台设备时，设备发生故障而不能及时维修的概率。解

设Y为200台设备中在同一时间内发生故障的台数，则Y～B(200,0.01)np=2000.01=2,npq=20.99=1.98

设备发生故障而不能及时维修的概率为

第二十五页，共五十二页，2022年，8月28日直接用两项分布计算=0.0517可见用泊松分布近似的结果更好一些。但用泊松分布要查多个泊松分布表的数值，而用中心极限定理来近似只需查一个或两个正态分布表的值。第二十六页，共五十二页，2022年，8月28日例6-4

已知一大批种子的良种率是1/6，现从中任意选出600粒，求这600粒种子中，良种所占的比例值与1/6之差的绝对值不超过0.02的概率。解从一大批种子中任选600粒，内含良种的粒数为随机变量X，有X～B(600,1/6)。所求概率可表为

第二十七页，共五十二页，2022年，8月28日如不用中心极限定理，则应如下求解：第二十八页，共五十二页，2022年，8月28日书面作业：P103~104

6-16-26-56-76-9第二十九页，共五十二页，2022年，8月28日作业评讲：1.第三十页，共五十二页，2022年，8月28日2.第三十一页，共五十二页，2022年，8月28日3.第三十二页，共五十二页，2022年，8月28日4.第三十三页，共五十二页，2022年，8月28日5.第三十四页，共五十二页，2022年，8月28日8.第三十五页，共五十二页，2022年，8月28日10.第三十六页，共五十二页，2022年，8月28日例题讲解一、设随机变量X和Y独立，其分布列分别为则下列各式正确的是

。X=Y(2)P(X=Y)=1/2(3)P(X=Y)=0(4)P(X=Y)=1解虽然X和Y是相同的分布，但不写成X=Y；

P(X=Y)=P(X=1,Y=1)+P(X=-1,Y=-1)=P(X=1)P(Y=1)+P(X=-1)P(Y=-1)=0.50.5+0.50.5=0.5选答案(2)第三十七页，共五十二页，2022年，8月28日二、设X,Y满足D(X+Y)=D(X-Y),则X,Y必有

。解：因为D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X,Y)D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2cov(X,Y)

由于D(X+Y)=D(X-Y)

得2cov(X,Y)=-2cov(X,Y)cov(X,Y)=0∴X,Y不相关。第三十八页，共五十二页，2022年，8月28日三、设随机变量X和独立同分布,且P(X=k)=1/3,k=1,2,3又设X=max(X,),Y=min(X,)。(1)试写出(X,Y)的联合分布律；(2)求E(X)。解

(1)由于X=1,2,3,=1,2,3

所以，X=1,2,3；Y=1,2,3当i＞j时，P(X=i,Y=j)=P(max(X,)=i,min(X,)=j)=P(X=i,=j)+P(X=j,=i)=P(X=i)P(=j)+P(X=j)P(=i)=(1/3)(1/3)+(1/3)(1/3)=2/9当i=j时，P(X=i,Y=j)=P(max(X,)=i,min(X,)=j)=P(X=i,=i)=P(X=i)P(=i)=(1/3)(1/3)=1/9当i＜j时，P(X=i,Y=j)=P(max(X,)=i,min(X,)=j)=0第三十九页，共五十二页，2022年，8月28日(X,Y)的联合概率分布律：(2)XY12311/90022/91/9032/92/91/9第四十页，共五十二页，2022年，8月28日四、对随机变量X和Y，已知E(X)=-2,E(Y)=2,D(X)=1,D(Y)=4,X与Y的相关系数r=-0.5由契比雪夫不等式所能确定的最小正数c为何值(其中c满足不等式P{|X+Y|≥6}≤c)。解E(X+Y)=E(X)+E(Y)=-2+2=0D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X,Y)=D(X)+D(Y)+2r=1+4+2(-0.5)12=3P{|(X+Y)-E(X+Y)|≥6}≤D(X+Y)/62P{|X+Y|≥6}≤3/62=1/12c=1/12第四十一页，共五十二页，2022年，8月28日五、设某班车起点站上人数X服从参数为的泊松分布，且中途不再有人上车。而车上每位乘客在中途下车的概率为p(0<p<1)，且中途下车与否相互独立，以Y表示在中途下车的人数。试求

(1)(X,Y)的联合分布律；(2)求Y的分布律解

(1)X～P(),

当X=n时，Y～B(n,p)P(Y=k|X=n)=k=0,1,2,…,n

当n<k时，P(X=n,Y=k)=0

当n≥k时，P(X=n,Y=k)=P(X=n)P(Y=k|X=n)

第四十二页，共五十二页，2022年，8月28日(X,Y)的联合分布律为：X=n=0,1,2,3,…Y=k=0,1,2,3,…(2)第四十三页，共五十二页，2022年，8月28日六、设Xn～B(n,p).(0<p<1,n=1,2,…)则对任意实数x，有解第四十四页，共五十二页，2022年，8月28日七、(习题