齐次和非齐次线性方程组的解法整理定稿

.word.word..线性方程组解的构造〔解法〕一、齐次线性方程组的解法【定义】r(A)=r<n，假设AX=0〔A为mxn矩阵〕的一组解为g,g，…,g，且满足：12n-r⑴g，g，…,g线性无关；12n-AX=0的)任一解都可由这组解线性表示.那么称g,g，…,g为AX=0的根底解系.12n-称X=kigi+kg+・・・+kn-rgn-r为AX=0的通解。其中翠2,…,.为任意常数).齐次线性方程组的关键问题就是求通解，而求通解的关键问题是求根底解系.【定理】假设齐次线性方程组AX=0有解，那么假设齐次线性方程组AX=0〔A为mxn矩阵〕满足r(A)二n，那么只有零解；齐次线性方程组有非零解的充要条件是r(A)<n.〔注：当m=n时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式|A|=0・〕注：1、根底解系不唯一，但是它们所含解向量的个数一样，且根底解系所含解向量的个数等于n-r(A).2、非齐次线性方程组AX=B的同解方程组的导岀方程组〔简称“导岀组"〕为齐次线性方程组AX=O所对应的同解方程组。由上述定理可知，假设m是系数矩阵的行数〔也即方程的个数〕，n是未知量的个数，那么有：当m<n时，r(A)<m<n，此时齐次线性方程组一定有非零解，即齐次方程组中未知量的个数大于方程的个数就一定有非零解；〔2〕当m=n时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式|A|=0;〔3〕当m=n且r(A)二n时，假设系数矩阵的行列式|A|丰0，那么齐次线性方程组只有零解；〔4〕当m>n时，假设r(A)<n，那么存在齐次线性方程组的同解方程组；假设r(A)>n，那么齐次线性方程组无解。1、求AX=0〔A为mxn矩阵〕通解的三步骤〔1〕AC〔行最简形〕；写岀同解方程组CX=0・求出CX=0的根底解系g,g，…,g;12n-r写出通解X=气g1+kg+…+kn-rgn-r其中k*k2,…,kn_r为任意常数.

\o"CurrentDocument"x1x【例题1】解线性方程组ix1x1解法一：将系数矩阵A化为+3x-x+5x=0,23\o"CurrentDocument"x1x【例题1】解线性方程组ix1x1解法一：将系数矩阵A化为+3x-x+5x=0,234+x+2x-x=0,234+x-3x+6x=0,234-2x+4x-7x=0.2343-112A=1-31-245-16-74-7-1014431670267-431-27000显然有r(A)=4=n，那么方程组仅有零解，即x=x=x=x=0.1234解法二：由于方程组的个数等于未知量的个数〔即m=n〔注意：方程组的个数不等于未知量的个数〔即m主n〕不可以用行列式的方法来判断〕，从而可计算系数矩阵A的行列式:IA=3-1512-6=327工0，知方程组仅有零解，即x=x=x=x=0.1-361234-24-7x+x+x1233x+2x+x【例题2】解线性方程组123x+2x235x+4x+3x123解：将系数矩阵A化为简化阶梯形矩阵j111_113211-3x(5)+仃0-1A=rx(-3)+r012261015433-10-1注：此法仅对n较小时方便+x+x=0,45+x-3x=0,45+2x+6x=0,45+3x-x=0.45111_r+r■10-1-1-5_-6-r2-+r1-、012262-2r2+r3r2x(-1)+r4(2-1)xr242226000002-2-600000x二V1x二2x3=-2x3+x4-2x4+5x,5-6x.5〔其中x3,x4,x5为自由未知量〕令x=1，x=0，x=0，得x1=1,x=-2；34512令x=0，x=1，x=0，得x=1,x=-2；34512令x3=0，x4=0，x=1，得x1=5,x=-6，2

于是得到原方程组的一个根底解系为g=一「—21,g=一「—20,g=一5「—60123010001所以，原方程组的通解为X=kE+kg+kg〔k,k,keR〕・112233123二、非齐次线性方程组的解法求AX=b的解〔Ar(A)=r〕mxn,用初等行变换求解，不妨设前r列线性无关(Ab)cc1112

c(Ab)cc1112

c22…c1r

…c••2r••••crr…c1n…c•2n■…crn其中c主0(i=1,2,...,r),所以知ii0r+1d丰0时，原方程组无解.r+1d=0,r=n时,原方程组有唯一解.r+1d=0,r<n时，原方程组有无穷多解.r+1其通解为X=n+k©+k©+…+k©,k,k，…,k为任意常数。01122n-rn-r12n-r其中：©,©,••・,©为AX=b导出组AX=0的根底解系，n为AX=b的特解,12n—r【定理1】如果耳是非齐次线性方程组AX=b的解，a是其导出组AX=0的-个解，那么a+n是非齐次线性方程组AX=b®解。【定理2】如果n0是非齐次线性方程组的一个特解，a是其导出组的全部解，那么n0+a是非齐次线性方程组的全部解。由此可知：如果非齐次线性方程组有无穷多解，那么其导出组一定有非零解，且非齐次线性方程组的全部解可表示为：n+Ca+Ca+…+Ca01122n—rn—r其中：n是非齐次线性方程组的一个特解，a,a,…,a是导出组的一个根底解系。012n—r【例题3】判断以下命题是否正确,A为mn矩阵・

(1)假设AX=0只有零解，那么AX=b有唯一解•答:错，因r(A)=n,r(A)=n=r(A|b)?⑵假设AX=0有非零解，那么AX=b有无穷多解•答:错，因r(A)<n,r(A)=r(A|b)?假设AX=b有唯一解，那么AX=0只有零解•答:对,r(A)=r(A|b)=n.假设AX=0有非零解，那么AtX=0也有非零解.答:错,A为mn,r(A)=m<n,r(AT)=m,这时AtX=0只有零解.例如A为34,R(A)=3<4,r(AT)=3=m.⑸假设r(A)=r=m,那么AX=b必有解.答:对,r(A)=r=m=r(A|b).⑹假设r(A)=r=n,那么AX=b*有唯一解•答:错,A为mn,当mn时，可以r(A|b)=n+1.⑴唯一解：r(A)二r(A)二nO线性方程组有唯一解【例题4】解线性方程组彳2x+x2—x2+【例题4】解线性方程组彳2x+x2—x2+x+2x3+2x3+4x=1,=-4,=—2.r1121[r112112—12—4[X(-2)+g〉0—3—2—6r.+(—4)+行414—2130—3—4—6解：A=(A|B)=123-100-「宁(—3、-100-「0—30—6010200100010勺x(-2r3X2+；2r3X(—3)+r1可见r(A)二r(A)二3，那么方程组有唯一解，所以方程组的解为Sx=1x=2x=3-12,0.+x+x=1,23—2x+x=—2,23+x—2x=4.r+123—2x1【例题5】解线性方程组⑵无解：r(A)丰r(A)r+123—2x1【例题5】解线性方程组I211rr-1—21[0—21—2-1—21—21o2〃2+石0—33-3—33—311—24彳x(—1他03—36」[0003解：A=(A|B)=1xI1可见r(A)二3丰r(A)二2，所以原方程组无解.⑶无穷多解：r(A)二r(A)<nO线性方程组有无穷多解【例题6】解线性方程组彳解：A=(A|B)=rx2+r213>rx1+r21r2x(-1)12

-2x12x1—2x1+x2+x2—x+2x=3,34—3x=1,4—2x+10x=4.34—123[r11—10—31qx(—2)+1、怦+叮〉0—12—210402—4—5—2-7500那么方程组有无穷多解，其同解方程组为1102-7141-203-510可见r(A)二r(A)二2<4,x=1x=2-25-x3+2x3+5x,4

-7x.4〔其中x3,x4为自由未知量〕令x=0,x34-0,得原方程组的一个特解耳=又原方程组的导出组的同解方程组为｛II2令x=1,x=0，得x=一1,x=2；令x34123于是得到导出组的一个根底解系为E=1-2500—x+5x,342x—7x.34=0，x=1，〔其中X3,X4为自由未知量〕得x=5,x=—7,12r-「r5_2，g=—7120_0_1k所以，原方程组的通解为x=n+kg+kg2{2x+x—x+x=1,1234<x+2x+x—x=2,的全部解.1234x+x+2x+x=3.gR〕.2例题7】求线性方程组：1234211〔k1解：A=(A|B)=2-1—3-1121-11I為+°[x(1)込_>2-3-11-31-1322-3111-3-12321-3r2x(-3)+r3—3-1-63-2-34-1-6001001T（-0010011r3勺/-3）rxi22可见r(A)二r(A)二3<4，所以方程组有无穷多解，其同解方程组为3x—1—一x,1243<x——x,2241x—1——x.324〔其中x4为自由未知量〕令x4二0，可得原方程组的一个特解⑴10103-三x,243又原方程组的导出组的同解方程组为｛x2又原方程组的导出组的同解方程组为｛x22441——X.=3,x=3,x=—3,x=1,3令x4=—2〔注：这里取-2为了消去分母取单位向量的倍数〕，得x12于是得到导出组的一个根底解系为E=3—31—2所以，原方程组的通解为X=n+kg〔keR〕.x+3x+3x—2x+x=3TOC\o"1-5"\h\z123452x|6x|x3x—2【例题8】求非齐次线性方程组｛123一4—|的全部解。x+3x—2x—x—x——1123453x+9x+4x—5x+x—512345解：r133-213、r133-213、r133-213、261-30200-51-2-400-51-2-4A=13-2-1-1-1T00-51-2-4T000000<394-515丿<00-51-2-4丿<000000丿因为r(A)二r(A)二2<5，所以非齐次线性方程组有无穷多组解，取自由未知量为x,x,x245Ix+3x+3x-2x+x=3=E原方程组与方程组彳1/345同解I-5x+x-2x=-4345厂0、取自由未知量x,x,x为0，得原方程组的一个特解:24510丿r34、1=—，0,7,0,00155丿再求其导出组的根底解系，其导出组与方程组x+3x+3x-2x+x12345—5x+x—2x=03450同解(1丿丿对自由未知量x,x,x分别取024510丿代入上式得到其导出组的一个根底解系为：〔-3、(、7(、155100a=0,a=十,a=—212535010001JU丿2丿J丄丿那么原方程组的全部解为：三、证明与判断【例题9】叫弋弋是齐次线性方程组AX=0的-个根底解系，证明W1+1，U+l+n3也是齐次线性方程组AX=O的一个根底解系。证：由可得：齐次线性方程组AX=0的根底解系含有3个解向量，并且由齐次线性方程组解的性质可知l,l+l,l+l+l都是AX=O的解；因此只要证明耳,l+l,l+l+l线性无关即可。112123112123设存在数k,k,k使123kl+k(1+l)+k(1+l+l)二0成立。112123123整理得：(k+k+k)1+(k+k)1+k1=0〔1〕12312323311，12，13是齐次线性方程组AX=0的-个根底解系，即得11，12，13线性无关，那么由(1)得k+k+k=0TOC\o"1-5"\h\z123<k+k二o，解得：k=k=k=0所以耳，耳+n，耳+n+n线性无关。23123112123k二0J3即q,q+耳q+丄也是齐次线性方程组AX=O的一个根底解系。112123【例题io】t,e,e,e是齐次线性方程组ax=o的-个根底解系，假设1234n=e+te,n=e+te,n=e+te,n=e+tt112223334441讨论t满足什么条件时,q,n2,n3,n4是齐次线性方程组ax=o的一个根底解系1234解：首先，ni,n2,n3,n4是齐次线性方程组ax=o的解，只须nni,n2,n3,n4线性无关.〔100t、由有：(n1，叩3叫=气,e2，-e,<3e)4t01t0100100t1丿100t100t因为：片铁叫叫线性无关Ot01t0100丰0，即t01t0100=1-14hO,00t100t1TOC\o"1-5"\h\z所以当ti时，n,n,n,n是齐次线性方程组ax=o的一个根底解系1234【例SIHn阶矩阵A的各行元素之和均为零，且r(A)=n-1,求线性方程组AX=0的通解.解：由r(A)=n-1知AX=0的根底解系有一个非零解向量.又a+a+•••+a=°,i=1,2,•••,n，即a•1+a•1+•••+a•1=0i1i2ini1i2inX=k(1,1,…,1)t,〔k为任意常数〕为所求通解.【例题12】设人心,…,Xt是非齐次线性方程组AX=b0的解向量,证明：对于X=kX+kX+…+kX01122tt当k+k+…+k=1时,X是AX=b的解；当k+k+…+k=0时,X是AX=0的解.TOC\o"1-5"\h\z12t012t0证:AX=A(kX+kX+・・・+kX)=kAX+kAX+・・・+kAX=kb+kb+・・・+kb=(k+k+・・・+k)b01122tr1122tt12t'12t故：当k+k+…+k=1时,AX=b12t0当k+k+…+k=0时,AX=012t0由此可见，非齐次方程组的解对于线性组合并不一定封闭,只有组合系数的和等于1的时候，解向量组的线性组合才是非齐次方程组的解！【例题13】nm为AX=p的两个不同解，e,e是AX=0的一个根底解系.k,k为任意常数•那么1222AX=P的通解为〔〕答案B(A)ke+k(e+e.⑻ke+k(e-e.112122112122(C)ke+k(n+n)+叫_耳2.(D)ke+k(n-n)+叫+3.112122112122【例题14】设n,n,n是四元非齐次线性方程组Ax=b的三个解向量，且矩阵a的秩为3,123n=G,2,3,4》，n+n=(o,1,2,3》,求Ax=b的通解。TOC\o"1-5"\h\z123解：因为A的秩为3,那么AX=0的根底解系含有4-3=1个解向量。由线性方程组解的性质得：n+n—2n=(n-n)+(n-n)是