辅助角公式与图像变换

专题17辅助角公式与图像变换模块一：辅助角公式辅助角公式：，其中，所在的象限由的符号确定．考点1：辅助角公式例1.（1）函数的最小值和最小正周期分别是A．， B．， C．， D．，例2.设．（Ⅰ）求的单调递增区间；（Ⅱ）把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求的值．例3.已知函数，其图象过点，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在，上的最大值和最小值．例4.已知函数．（Ⅰ）将函数化简成，，，的形式，并指出的周期；（Ⅱ）求函数上的最大值和最小值．模块二：图像变换对函数的图象的影响⑴对的图象的影响．函数的图象，可以看做是把图像上的各点向左或向右平移个单位而得到的．（可简记为左右）即平移个单位得⑵对的图象的影响．函数的图象，可以看做是把的图象上的各点的横坐标都缩短或伸长到原来的倍（纵坐标不变）而得到的．即的横坐标到原来的倍得．⑶对的图象的影响函数（且）的图象，可以看做是的图象上各点的纵坐标都伸长或缩短到原来的倍（横坐标不变）而得到的．即的纵坐标到原来的倍得．考点2：图像变换例5.（1）要得到函数的图象，需要将函数的图象A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度（2）将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，则的最小值为A． B． C． D．（3）为了得到函数的图象，需对函数的图象所作的变换可以为A．先将图象上所有点的横坐标压缩为原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位B．先向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标压缩为原来的，纵坐标不变C．先向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标压缩为原来的，纵坐标不变D．先向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变（4）若函数，的图象如图所示，则为了得到图象，只需将函数的图象A．向左平移个长度单位 B．向左平移个长度单位 C．向右平移个长度单位 D．向右平移个长度单位课后作业：1．要得到函数的图象，只需将函数的图象A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位2．为了得到函数的图象，只需把的图象上所有的点A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度3．求函数的最大值和最小值．4．已知函数．（1）求函数的最小正周期；（2）将函数的图象右移个单位得到的图象，求函数的单调递增区间．5．已知函数．（1）求的单调递增区间；（2）求函数在区间，上的最大值和最小值．考点1：辅助角公式例1.（1）函数的最小值和最小正周期分别是A．， B．， C．， D．，【解答】解：函数，故函数的最小正周期等于，当，时，函数有最小值等于．故选：．例2.设．（Ⅰ）求的单调递增区间；（Ⅱ）把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求的值．【解答】解：（Ⅰ），令，求得，可得函数的增区间为，，．（Ⅱ）把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得的图象；再把得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，．例3.已知函数，其图象过点，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在，上的最大值和最小值．【解答】解：函数，又因为其图象过点，．解得：由（1）得，，当时，取最大值；当时，取最小值．例4.已知函数．（Ⅰ）将函数化简成，，，的形式，并指出的周期；（Ⅱ）求函数上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）．故的周期为．（Ⅱ）由，得．因为在上是减函数，在上是增函数．故当时，有最小值；而，，所以当时，有最大值．模块二：图像变换对函数的图象的影响⑴对的图象的影响．函数的图象，可以看做是把图像上的各点向左或向右平移个单位而得到的．（可简记为左右）即平移个单位得⑵对的图象的影响．函数的图象，可以看做是把的图象上的各点的横坐标都缩短或伸长到原来的倍（纵坐标不变）而得到的．即的横坐标到原来的倍得．⑶对的图象的影响函数（且）的图象，可以看做是的图象上各点的纵坐标都伸长或缩短到原来的倍（横坐标不变）而得到的．即的纵坐标到原来的倍得．考点2：图像变换例5.（1）要得到函数的图象，需要将函数的图象A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度【解答】解：，要得到函数的图象，需要将函数的图象向右平移个单位．故选：．（2）将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，则的最小值为A． B． C． D．【解答】解：将函数的图象向左平移个单位得到的图象，而已知得到函数的图象，，，的最小值为，故选：．（3）为了得到函数的图象，需对函数的图象所作的变换可以为A．先将图象上所有点的横坐标压缩为原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位B．先向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标压缩为原来的，纵坐标不变C．先向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标压缩为原来的，纵坐标不变D．先向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变【解答】解：的图象先将图象上所有点的横坐标压缩为原来的，纵坐标不变，得到：，再向右平移个单位，得到即：函数的图象．故选：．（4）若函数，的图象如图所示，则为了得到图象，只需将函数的图象A．向左平移个长度单位 B．向左平移个长度单位 C．向右平移个长度单位 D．向右平移个长度单位【解答】解：由题意，，，，，将，代入可得，解得：，，解得：，，，，可得：，为了得到图象，只需将函数的图象向左平移个单位长度即可．故选：．课后作业：1．要得到函数的图象，只需将函数的图象A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位【解答】解：要得到函数的图象，只需将函数向左平移个单位即可，即．故选：．2．为了得到函数的图象，只需把的图象上所有的点A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度【解答】解：只需把的图象上所有的点向左平移个单位长度，即可得到函数的图象，故选：．3．求函数的最大值和最小值．【解答】解：，，，．4．已知函数．（1）求函数的最小正周期；（2）将函数的图象右移个单位得到的图象，求函数的单调递增区间．【解答】解：（1）函数，故函数的周期．（2）将函数的