第8章立体几何初步知识点总结-2022学年人教A版高中数学必修第二册同步讲义

第八章立体几何初步知识总结8知识索引知识索引索引1：异面直线所成的角索引1：异面直线所成的角定义（1）做法：经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b（2）结论：我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)范围：记异面直线a与b所成的角为θ，则0°<θ≤90°特殊情况当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b索引2：直线与平面所成的角一条直线1与一个平面相交,但不与这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线,斜线和平面的交点A叫做斜足.过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂线PO,过垂足O和斜足A的直线A0叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角,叫做这条直线和这个平面所成的角索引3：空间中平面、直线的位置关系1.直线与平面(1)直线在平面内，有无数个公共点，如图直线与平面相交，有且只有一个公共点如，如图（3）直线与平面平行，没有共同点，如图2.平面与平面的位置关系①两个平面平行——没有公共点如图②两个平面相交——有一条公共直线．如图索引4：棱柱的分类与表示1.表示(1)表示:棱柱用表示底面各顶点的字母来表示(2)分类:底面是三角形四边形、五边形....的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱五棱柱2.分类------直棱柱、斜棱柱、正棱柱和平行六面体(1)侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱(2)侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱(3)底面是正多边形的直校柱叫做正校柱(4)底面是平行四边形的四棱柱也叫做平行六六面体索引5：柱、锥、台的体积(1)长方体的体积V长方体＝abc＝Sh.(其中a、b、c为长、宽、高，S为底面积，h为高)(2)柱体(圆柱和棱柱)的体积V柱体＝Sh.其中，V圆柱＝πr2h(其中r为底面半径)．(3)锥体(圆锥和棱锥)的体积V锥体＝Sh.其中V圆锥＝1∕3πr2h,r为底面半径．(4)台体的体积公式V台＝h(S＋＋S′)．其中V圆台＝1∕3πR3注：h为台体的高，S′和S分别为上下两个底面的面积．索引6：直线、平面平行和平面、平面平行1.直线、平面平行：1.基本事实：平行于同一条直线的两条直线平行判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行性质定理：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行2.平面、平面平行：1.判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行2.性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行索引7：平面图形的斜三侧画法的步骤（1）建两个坐标系，注意斜坐标系夹角为450或1350；（2）与坐标轴平行或重合的线段保持平行或重合；（3）水平线段等长，竖直线段减半；简言之：“横不变，竖减半，平行、重合不改变。”8精例探究精例探究精例1如图，在正方体中，E为的中点，.求证：（1）平面；（2）平面.【答案】（1）解：在正方体中，平面，平面，，，，平面

（2）解：连接，在正方体中，且，四边形是平行四边形，且，分别为中点，，四边形是平行四边形，，平面，平面，平面.【考点】直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定【解析】【分析】（1）在正方体中，平面，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，即，又根据，从而利用线线垂直证出线面垂直，进而证出平面。

（2）连接，在正方体中，且，所以结合平行四边形的定义，推出四边形是平行四边形，所以利用平行四边形的定义，得出且，因为分别为中点，，所以利用平行四边形定义推出四边形是平行四边形，所以利用平行四边形的性质推出，再利用线线平行证出线面平行，进而证出平面。精例2已知四棱锥中，底面是矩形，侧面是正三角形，且侧面底面，，若四棱锥外接球的体积为，则该四棱锥的表面积为（

）A.

B.

C.

D.

【答案】B【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积，球的体积和表面积【解析】【解答】设四棱锥外接球的球心为，过作底面的垂线，垂足为，因为四边形是长方形，所以的底面中心，即对角线的交点，过作三角形的垂线，垂足为，所以是正三角形外心，设外接球半径为，外接球的体积为，所以，即，过作，则是的中点，连接，所以，，因为平面平面，平面平面，所以平面，所以，所以平面，所以，所以四边形是平行四边形，即，设，则，，所以，由勾股定理得，即，解得，所以，，因为，所以平面，平面，所以，，，因为，，作于，所以为的中点，所以，所以，，所以。故答案为：B.

【分析】设四棱锥外接球的球心为，过作底面的垂线，垂足为，因为四边形是长方形，所以的底面中心，即对角线的交点，过作三角形的垂线，垂足为，所以是正三角形外心，再利用球的体积公式结合已知条件，进而求出球的半径长，过作，则是的中点，连接，所以，，因为平面平面，再利用面面垂直的性质定理推出线面垂直，所以平面，所以，所以平面，所以，所以四边形是平行四边形，即，设，再利用勾股定理结合已知条件，进而求出x的值，所以，再利用三角形面积公式结合，所以平面，平面，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，即，，再利用等面积法结合三角形面积公式，进而结合勾股定理，进而结合中点的性质求出PH的长，再利用三角形面积和矩形面积公式结合求和法，进而求出该四棱锥的表面积。精例3下列命题正确的是（

）

三点确定一个平面

B.

一条直线和一个点确定一个平面

C.

梯形可确定一个平面

D.

圆心和圆上两点确定一个平面【答案】C【考点】平面的基本性质及推论【解析】【解答】对于A选项，三个不在同一条直线上的点，确定一个平面，A选项错误.对于B选项，直线和直线外一点，确定一个平面，B选项错误.对于C选项，两条平行直线确定一个平面，梯形有一组对边平行，另一组对边不平行，故梯形可确定一个平面，所以C选项正确.对于D选项，圆的直径不能确定一个平面，所以若圆心和圆上的两点在直径上，则无法确定一个平面.所以D选项错误.故答案为：C【分析】根据公理对选项逐一分析，由此确定正确选项.8课堂反馈课堂反馈练习1.如图，四面体中，O是的中点，点G、E分别在线段AO和BC上，，，，.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面.练习2长方体中，=12，=10，=6，过作长方体的截面使它成为正方形，（1）求截面将正方体分成的两部分的体积比；（2）求练习3.、为不重合的平面，、为两条直线，下列命题正确的为（

）A.

若，，，则

B.

若，，则

C.

若，，则

D.

若，，，则练习4.如图所示的是水平放置的三角形直观图，是中边上的一点，且离比离近，又轴，那么原的、、三条线段中（

）A.

最长的是，最短的是

B.

最长的是，最短的是

C.

最长的是，最短的是

D.

最长的是，最短的是8参考答案.参考答案练习1.【答案】（1）证明：连接并延长，交于，连接，在中，为BD中点，在AO上，，∴为的重心∴，又∴∴，∵平面，平面，∴平面；

（2）证明：在中，为中点，，，∴∴，在中，，为中点，连接，则，又，∴，∴由，，，平面，得平面，又平面，∴平面平面.【考点】直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定【解析】【分析】（1）连接并延长，交于，连接，在中，为BD中点，在AO上，，所以为的重心，再利用重心的性质得出对应边成比例，所以两直线平行，即，再利用线线平行证出线面平行，进而证出平面。

（2）在中，为中点，，，所以，再利用勾股定理求出的值，在中，，为中点，连接，则，又，再利用勾股定理证出线线垂直，所以，再由，，证出线面垂直，即平面，再利用线面垂直证出面面垂直，从而证出平面平面。

练习2.【答案】（1）解：是正方形，=12，=10，=6，，截面将正方体分成的两部分为三棱柱和四棱柱，且高相等均为长方体侧棱长，

（2）解：过点B作直线BG平行于交于点G，过G作的垂线交于H，如图：则BG平行于平面，则点B到面的距离即为点G到面的距离，易证平面，即GH即为点G到面的距离【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【解析】【分析】（1）截面将正方体分成的两部分为三棱柱和四棱柱，且高相同，利用只需要求出底面积的比值即可.(2)过点B作直线BG平行于交于点G,则点B到面的距离即为点G到面的距离，过G作的垂线交于H，则易证GH即为点G到面的距离，再代入即可.练习3【答案】D【考点】空间中直线与平面之间的位置关系，平面与平面之间的位置关系【解析】【解答】对于A选项，若，，，则与平行或异面，A选项错误；对于B选项，若，，则或，B选项错误；对于C选项，若，，则、、或与斜交，C选项错误；对于D选项，设直线、的方向向量分别为、，由于，则平面的一个法向量为，，则平面的一个法向量为，因为，则，因此，，D选项正确.故答案为：D.

【分析】由已知条件结合题意即可判断出直线a与