转本高数练习第四章定积分

第四积本章主要知识一、定积分计定积分计算主要依 ：设f(x)dxF(x)C，bf(x)dxF(bF(aF(x)ba x(ta

1(a

bfb

t

(

f(

tdtln4.1．e1ln1e解：原式(e解：原式(

ln1)dln1)dlnx=((lnx)2lnx)|e x例4.2．3 x 1t1t

2t2

2t3

xt2

2tdt=

1t

dt=3

t3t2)|21314.3．2xsin01

1解：原式= 2xdcos2x=2

xcos2x|020

2cos2=4

0sin2x|20 二、特殊类函数的定积分计含绝对20的点，去掉绝对值，直接积分即可。4.41|x1|dx2 x 解：原式1(1x)dx1(x1)dx2(2x|12021)24.52(|x1||x2 解：原式2(|x1||x1|)dx1(|x1||x1|)dx1(|x1|| =2(x1x1)dx1(x11x)dx1(x1 2xdx

12dx 2xdx=x21

4x2

1

=(14)4(41)分段函x2,x 4.6f(x)x1x01f

1 x

13解：原式1f(x)dx0f(x)dx1(x1)dx0=(11)1=

dx=2

x)|13x 2x1,x 4.7f(x)

x,x

2f(x ux1 解：原式2f(x1)dx1f(u)du1f(u)du

f 11udu2(2u1)du0(u2u)262 1奇函数积如果f(x为定义在aa的奇函数，则

f(x)dx0 24.821

arctanxdx01x4x333sin2

x444

ex解：原式01exdxex1e x

(x1)(x

x4sin2x

2

解：原式00

2xexdx(xexex)

e2

1)e2

a4.11f(x为[-a,a]上的连续函数，计算af(xf(xln(xa

x2解：f(x)f(x),ln(x x21)为奇函数，原式 In2sinnxdx2cosnxdx 2n12n12n 2(n12

2(n 2

2n1 2n 4.12．2sin2xcos60解：原式 2(1cos2x)cos60 5317531

642 8642

4.13．2sin7xcos2022解：原式2sin7xcos2xdx2II 0一些特殊的含有特定技巧的积 例 sin2(11解：令tx1

原式＝I＝11et

tdt11ex IJ1sin2xdx1I＝1 4.15．4ln(1tan0解：令

x, 原式＝I＝ln(1 444＝ln2II＝ln2

0

sin 1sin2解：令tx原式＝I＝－0(tsin(t)dt( ＝ sin dtI01sin222 222I＝201sin2xdx 2三、变限积

ft

fx（axx是一个非常重要 ，它提供了利用导数来研究它的工具．更一般的结论是x1d1

2xftdtf

xxf

xxx0sinx0sintln14tx2tan(12xx

dx

x解：原式lim0sintln14tx

limsinxln14xlimx4xx

x

x

4.18

tanxt3(e20x

sin20

et

2t

x

tan22

1sec2

x3

x2解：原式lim lim

2x0esin2xsin22x22sinxcos

x

4x4 04.19．已知fxxt2et2dt，研究fx的单调性，凹凸性0fxfx2xex2x2ex22x2x1x2fx0,fx0x0xx,01fffx

d24.20p(x)

f(x2t)dt，其中f(x)是已知一阶可导函数， dxu解：p(x)

15

f(u)du

1

f2 25 d2 (f(x)5f(5x))

f(2

f(24.21.已知函数fx连续。且limfx2。设x1fxtdt，求xx的连续性

x0

(x)1f(xt)dtuxtx1f(u)du1xf； 0 x；1x0时，(x0f(0)dtfxf由limf(x)2f(0)0，(x)

x

0 x0xx0，(x)xf(x

f,hfh(0)lim(h)(0)lim hlim0f(u)dulimfh)1h h0 lim(x)limxf(x)0f(u)dulimf(x)lim

f

2limf(x)211(0)x0所以，(x)四、有关定积分的证明（1）变上限求导（3）恒等变形

taxa4.22f(x为[aaaf(x)dx0a

令t 证明af(x)dxaf(x)dx

f

af(t)dt

f af(t)dt0f(x)dx0f(t)dt

f 0f(x)dx

f(x)dx 4.23．证明：2f(sinx)dx2f(cos

f(xt证明：左2

f(sin(t))dt4.24f(x是以T0为周期的连续函数，那么对任何实数a f

f0

fxdx

fxdx由于 fx

taa

ft所以

fxdx00

fxdf2cos2x 4.25．证明：0

f2sin2xf2cos2x

dx

f x f2cos2t I原

2

f2sin2tf2cos2t2 f2cos2x20f2cos2xf2cos2x2I 0

f2sin2xf2cos2x ，f2sin2xf2cos2x，I4102102

1sin9112

dx

29

sin9 证明：当0x1

xsinxx，所

x14.27xxufuduxufx dxxufudu 0fuduxfxxfx

fuxxufuduxxfududxCxufxdxdu x0C0五、广义积分的敛散定义：

f

f(x)dx

收敛p

dxxpxp

（其中a04.28．研究

dxx(1x(1x(1xx2lim

2lim11xxuu2limxu

)2()

1

dxx(1

d1求x2 4x2 解：左边k

k()

k2

2 4.30．当k为何值时，广义积分

x(lnx)k

收敛？当k又当k为何值时，广义积分取得最小值？k1时，有

(ln

(ln

,k x(lnx)k

1

1

2(ln

k1, k

xln

x)2k12

x(lnx)k

k1f(x)

k

k1，f(k)

(k1)2(k1)2f(k)0k0

1lnln2kk0f(k)0kk0f(k)01kk01lnln2时，广义积分取极小值，也就是最小值。注：类似可研究函数积分，即瑕积分。假设a为f(x)的瑕点，1f(x)dx f(x)dx 例5.26．1 dx0x(x解：原式＝lim1111)dx

11(lnx2)1)0

x

lim((lnx 0 例4.27．1 dx1 x(411解：原式＝

dxlim

lim

x)01x(41x(4x

4

＝arctan(2六、定积分应面bS阴影b

f(xg(xdxy1、指数、对数、sinxcosxx4.28yx2xy2所围图形面积。x22xx1x2 x3S 2xxdx2x

3 2114289 3 4.29yln2xxexe2ox

ee S

lnx

xe2eexe2e

ln 4ee2xlnx

2e24.30ysin

0x,y1,y

2 S

12arcsinxarcsin 233232

212arcsin23212133212132xarcsin212yy3 3

1

31x231x2123 2 23 31

3

1

3 32 3 3xx

上点1,1的切线与抛物线本身及x轴所围图形的面积12解：切线l的方程：y12ky112y11x2

x2y1Sy22y01 = y3

y)03

4.32．过00yx21两切线，求两切线与抛物线本身所围图形的面积.。解；设切点为x,x21 kyx02x0y2xx0 x212x2x1，切线方程为y 0S211x201x 3 11x 3

旋转体体x轴旋转所得图形的体积（aVxa

bf2y轴旋转所得图形的体积（bVy2axfby轴旋转所得图形的体积（cVyc

d2x轴旋转所得图形的体积（dVx2cd

4.33yx2yxxy

1x2x40 51120 5

1

y2y201110 6 6 4.34y4x

xy（1）y42x0x2,y4切点为24y0（2）S244xx20402x224021x 2 V2424xx220 0322x48x316x20322525235 5

832224 4.35ysinx(0xxxy

（1）Vx

xdx2