《函数与导数》解题方法总结-教案

《函数与导数》解题方法总结教案解题策略1．讨论函数的性质时，必须坚持定义域优先的原则.对于函数实际应用问题，注意挖掘隐含在实际中的条件，避免忽略实际意义对定义域的影响.2．运用函数的性质解题时，注意数形结合，扬长避短.3．对于含参数的函数，研究其性质时，一般要对参数进行分类讨论，全面考虑.如对含参数的二次函数问题，应分a＝0和a≠0两种情况讨论，指、对数函数的底数含有字母参数a时，需按a＞1和0＜a＜1分两种情况讨论.4．解答函数性质有关的综合问题时，注意等价转化思想的运用.5．在理解极值概念时要注意以下几点：①极值点是区间内部的点，不会是端点；②若在（a，b）内有极值，那么在（a，b）绝不是单调函数；③极大值与极小值没有必然的大小关系；④一般的情况，当函数在［a，b］上连续且有有限个极值点时，函数在［a，b］内的极大值点和极小值点是交替出现的；⑤导数为0的点是该点为极值点的必要条件，不是充分条件（对于可导函数而言）.而充分条件是导数值在极值点两侧异号.6．求函数的最值可分为以下几步：①求出可疑点，即＝0的解x0；②用极值的方法确定极值；③将（a，b）内的极值与，比较，其中最大的为最大值，最小的为最小值；当在（a，b）内只有一个可疑点时，若在这一点处有极大（小）值，则可以确定在该点处了取到最大（小）值.7．利用求导方法讨论函数的单调性，要注意以下几方面：①＞0是递增的充分条件而非必要条件（＜0亦是如此）；②求单调区间时，首先要确定定义域；然后再根据＞0（或＜0）解出在定义域内相应的x的范围；③在证明不等式时，首先要构造函数和确定定义域，其次运用求导的方法来证明.8．函数、导数的综合问题往往以压轴题的形式出现，解决这类问题要注意：(1)综合运用所学的数学思想方法来分析解决问题；(2)及时地进行思维的转换，将问题等价转化；(3)不等式证明的方法多，应注意恰当运用，特别要注意放缩法的灵活运用；(4)要利用导数这一工具来解决函数的单调性与最值问题.典型例题考点一.函数的解析式、定义域、值域求法例1、函数的定义域为A．B．C．D．解：由.故选C例2、用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值，设=min{,x+2,10-x}(x0),则的最大值为（A）4（B）5（C）6（D）7【解析】：利用数形结合，画出函数的大致图象，如图所示，很容易的得到函数的最大值是当时，的最大值为6考点二.函数的零点例1、函数的零点个数为()A.0B.1C解:当时，令解得；当时，令解得，所以选C。【方法总结】：求函数的零点：①（代数法）求方程的实数根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．例2、设a为常数，试讨论方程的实根的个数。解：原方程等价于即构造函数和，作出它们的图像，易知平行于x轴的直线与抛物线的交点情况可得：①当或时，原方程有一解；②当时，原方程有两解；③当或时，原方程无解。【方法总结】：图象法求函数零点，考查学生的数形结合思想。数形结合，要在结合方面下功夫。不仅要通过图象直观估计，而且还要计算的邻近两个函数值，通过比较其大小进行判断。例3、已知a是实数，函数，如果函数在区间[-1，1]上有零点，求实数a的取值范围。解：当a=0时，函数为=2x-3，其零点x=不在区间[-1，1]上。当a≠0时，函数在区间[-1，1]分为两种情况：①函数在区间[─1，1]上只有一个零点，此时或解得1≤a≤5或a=②函数在区间[─1，1]上有两个零点，此时或解得a5或a<考点四.函数的图象例1、右图是函数的图象，给出下列命题： ①—3是函数的极值点；②—1是函数的最小值点； ③在处切线的斜率小于零；④在区间（—3，1）上单调递增。则正确命题的序号是 （） A．①② B．①④ C．②③ D．③④例2、函数()yyxo424-42-2-2xyo4-424-42-2-2xyy4o-424-42-2-26666yx-4-2o4224例3、方程()A、0B、1C、2D、3函数的图象答案：1、C2、A3、B考点五.利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围例1、已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－与x＝1时都取得极值（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间（2）若对x〔－1，2〕，不等式f（x）C2恒成立，求c的取值范围。解：（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，f（x）＝3x2＋2ax＋b由f（）＝，f（1）＝3＋2a＋b＝0得a＝，b＝－2f（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1），函数f（x）的单调区间如下表：x（－，－）－（－，1）1（1，＋）f（x）＋0－0＋f（x）极大值极小值所以函数f（x）的递增区间是（－，－）与（1，＋），递减区间是（－，1）（2）f（x）＝x3－x2－2x＋c，x〔－1，2〕，当x＝－时，f（x）＝＋c为极大值，而f（2）＝2＋c，则f（2）＝2＋c为最大值。要使f（x）c2（x〔－1，2〕）恒成立，只需c2f（2）＝2＋c，解得c－1或c考点六抽象函数例1、定义在R上的单调函数满足=log3且对任意x，y∈R都有=+．(1)求证为奇函数；(2)若f(k·3)+f(3-9-2)＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．解：(1)：=+(x，y∈R)，①令x=y=0，代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即f(0)=0．令y=-x，代入①式，得f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，则有0=f(x)+f(-x)．即f(-x)=-f(x)对任意x∈R成立，所以f(x)是奇函数．(2)：f(3)=log3＞0，即f(3)＞f(0)，又f(x)在R上是单调函数，所以f(x)在R上是增函数，又由(1)f(x)是奇函数．f(k·3)＜-f(3-9-2)=f(-3+9+2)，k·3＜-3+9+2，3-(1+k)·3+2＞0对任意x∈R成立．令t=3＞0，问题等价于t-(1+k)t+2＞0对任意t＞0恒成立．R恒成立．【方法总结】：利用抽象条件，通过合理赋值(赋具体值或代数式)、整体思考、找一个具体函数原型等方法去探究函数的性质。如奇偶性、周期性、单调性、对称性等，再运用相关性质去解决有关问题，是求解抽象函数问题的常规思路。其中合理赋值起关键性的作用。对抽象函数问题的考查在近几年高考中有逐年增加数量的趋势。考点七：利用导数研究导数的单调性例1、已知函数（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，讨论的单调性.解（1）当所以因此,即曲线又所以曲线（2）因为,所以,令当时，所以当时，>0，此时，函数单调递减；当时，<0，此时，函数单调递增.当时，由，即，解得.①当时，，恒成立，此时，函数在（0，+∞）上单调递减;②当时，，时，,此时,函数单调递减时，<0,此时,函数单调递增时，，此时，函数单调递减③当时，由于,时，,此时,函数单调递减：时，<0,此时,函数单调递增.综上所述：当时，函数在上单调递减;函数在上单调递增当时,函数在上单调递减当时，函数在上单调递减；函数在上单调递增；函数在上单调递减.【方法总结】：利用导数研究函数单调性的一般步骤。（1）确定函数的定义域；（2）求导数；（3）①若求单调区间（或证明单调性），只需在函数的定义域内解（或证明）不等式＞0或＜0。②若已知的单调性，则转化为不等式≥0或≤0在单调区间上恒成立问题求解。考点八：导数与不等式的综合例1、设在上是单调函数.求实数的取值范围；解：（1）若在上是单调递减函数，则须这样的实数a不存在.故在上不可能是单调递减函数.若在上是单调递增函数，则≤，由于.从而0<a≤3.例2、已知为实数，函数若函数的图象上有与轴平行的切线，求的取值范围解：， 函数的图象有与轴平行的切线，有实数解，，所以的取值范围是考点九：导数与向量的结合例1、设平面向量若存在不同时为零的两个实数s、t及实数k，使（1）求函数关系式；（2）若函数在上是单调函数，求k的取值范围。解：（1）（2）则在上有由；由。因为在t∈上是增函数，所以不存在k，使在上恒成立。故k的取值范围是。专题练习：1、已知函数(Ⅰ)证明：曲线（Ⅱ）若求a的取值范围。【解析】(Ⅰ)，，故x=0处切线斜率，又即，当，故曲线（Ⅱ），令，故2、设函数（Ⅰ）求单调区间（Ⅱ）求所有实数，使对恒成立，注：为自然对数的底数【解析】：（Ⅰ）因为所以由于所以的增区间为，减区间为。（Ⅱ）由题意得即。由（Ⅰ）知在单调递增，要使对恒成立，只要解得4、设。（Ⅰ）求的单调区间和最小值；（Ⅱ）讨论与的大小关系；（Ⅲ）求的取值范围，使得＜对任意＞0成立。解（Ⅰ）由题设知，∴令0得=1，当∈（0，1）时，＜0，故（0，1）是的单调减区间。当∈（1，+∞）时，＞0，故（1，+∞）是的单调递增区间，因此，=1是的唯一值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为(II)设，则，当时，即，当时，因此，在内单调