复变函数第十二讲

§第十二讲《§２留数》§２留数留数的定义及留数定理如果函数在的某个邻域内解析，则根据柯西—古萨定理知：其中为在的这个邻域内的任意一条闭曲线。如果是的孤立奇点，那末，在的某个去心邻域内包含在内的任意一条正向简单闭曲线的积分一般不为零。因此，将函数在内展开成洛朗级数对上式两端沿曲线积分，右端各项的积分除留下的一项等于外，其余各项的积分全为零，所以定义称为函数在处的留数。记为，即从而有也就是说在处的留数就是在以为中心的环形域内的洛朗级数中负幂项的系数。定理（留数定理）设函数在区域内除有限个孤立奇点外，处处解析。是内包含诸奇点的一条正向简单闭曲线，那末证明（略）留数定理将函数沿闭路的积分转化为求被积函数在中的各孤立奇点处的留数。如何求函数在各孤立奇点处的留数？一般说来，只须求出函数在以孤立奇点为中心的环形域内的洛朗级数中的系数就可以了。但如果知道孤立奇点的类型，求其留数更为方便。二、留数的求法１．可去奇点、本性奇点处留数的求法如果是的可去奇点，则。因为在处的洛朗展开式中，。如果是的本性奇点，则只能用将在处展开为洛朗级数的办法求了。例1是函数的可去奇点，所以。而是函数的本性奇点，其洛朗展开式为所以。2.极点处留数的计算规则规则I如果是的一级极点，那末例2计算解因为，所以是函数的一级极点。根据规则I，有规则如果是的级极点，那末证明因为是的级极点，所以所以对上式两边求阶导数，得令，两边求极限，得所以从而即规则成立。当时，即为规则I.例3计算解显然的二级极点。根据规则，得规则设函数在都解析。如果且，那末是的一级极点，并且有证明因为及，所以为的一级零点，从而是的一级极点。，所以其中在处解析且。又因为，所以其中在处解析且。故是的一级极点。由规则知，，而，所以令，即得。例4计算积分，其中为正向圆周：。解函数在圆周内有两个奇点，。因为在处不等于零，，但，所以是函数的一级极点。由规则I，得根据留数定理得函数在处的留数也可以借助于规则求。对此例来说，利用规则III要比用规则I求留数容易。例5计算积分，其中为正向圆周：。解被积函数在圆周内有四个一级极点：。根据规则得，，由留数定理得例6计算积分，其中为正向圆周：。解显然是被积函数的一级极点，是被积函数的二级极点。而所以以上我们介绍了求极点处留数的若干公式。用这些公式解题一般说来是比较简单的，但是对某些特殊情况未必尽然。例如求函数在处留数。首先应确定是被积函数的几级极点。因为所以是的三级零点。由的表达式知，是的三级极点。利用规则。得由此可见，往下的计算要先对一个分式函数求二阶导数，然后对求导的结果求极限，计算十分复杂。对这类问题，我们可以直接利用已知函数的洛朗展开式求。因为所以注：如果函数在极点处级数不是，它的实际级数要比低，这时两边同乘以得从而所以一般说来，在应用公式时，为了计算方便不要把取得比实际级数高。但对一些特殊情况把取得比实际级数高，计算反而方便。上边例子中的留数可以用下述方法求。由此可见解决问题的关键在于根据具体问题灵活地选择方法，不要拘泥于套公式。三．无穷远点的留数设函数在圆环域内解析，为圆环域内绕原点的任一条正向简单闭曲线，那末积分的值与无关，我们称此定值为函数在点的留数，记作值得注意的是这里积分曲线的方向是负的，也就是取顺时针方向。当时，有所以也就是说，在点的留数等于它在处的去心邻域内洛朗级数展开式中的系数变号。由上述讨论可得下面的定理。定理二如果函数在扩充复平面内只有有限个孤立奇点，那末在所有各奇点（包括点）处的留数的总和必等于零。证明设函数的有限奇点分别为，无穷远点。作绕原点的正向闭曲线，并将包含在它的内部。根据留数定理和在无穷远点处留数的定义，有关于在无穷远点处的留数，我们有如下的规则。规则证明（略）例7计算积分，其中为正向圆周